高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.4 求导法则及其应用练习

专题二  求导法则及复合函数求导

基本公式

一、导数运算法则

1．和差的导数：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．

2．积的导数：(1)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(2)[cf(x)]′＝cf′(x)．

3．商的导数：＝，g(x)≠0.

二、复合函数的导数：

复合函数的概念及求导法则

例题分析

一、导数运算法则的应用

例1   根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

(1)y＝x2－2x－4ln x；(2)y＝x·tan x；(3)y＝；

(4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；

(5)y＝x＋sin cos .

(对应训练一)求下列函数的导数：(1)y＝x2·ex；(2)y＝cos 2x；(3)y＝ln 8x；(4)y＝.

(对应训练二)(1)设函数f(x)＝x3＋x2＋tan θ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是(　　)

A．[－2,2]　　　　 B．[，]          C．[，2]         D．[，2]

(2)已知f(x)＝，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________．

二、复合函数的导数

例2   写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数．

(1)y＝；(2)y＝cos(2 008x＋8)；(3)y＝21－3x；(4)y＝ln(8x＋6)．

(对应训练)求下列函数的导数：

(1)y＝；(2)y＝e2x＋1；(3)y＝ln(3x－1)；(4)y＝sin；(5)y＝esin(ax＋b)；

(6)y＝5log2(2x＋1)。

三、复合函数与导数运算法则的综合应用

例3   函数y＝x2cos 2x的导数为(　　)

A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x         B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x

C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x         D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x

(对应训练)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′.

四、与切线有关的综合问题

例4   已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，求实数a的值．

(对应训练一)已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.

(1)求直线l2的方程；

(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．

(对应训练二) (1)函数y＝2cos2x在x＝处的切线斜率为________．

(2)已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)，

①求f(1)＋f′(1)．

②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．

专题训练

1．f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 017(x)＝(　　)

A．sin x　 B．－sin x  C．cos x  D．－cos x

2．函数y＝(2 016－8x)3的导数y′＝(　　)

A．3(2 016－8x)2　  B．－24x    C．－24(2 016－8x)2  D．24(2 016－8x2)

3．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　)

A．3　　　　  B．2　　　　  C．1　　　　  D.

4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝(　　)

A．e－1           B．－1        C．－e－1          D．－e

5．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)

A．－        B.        C．－       D.

6．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为(　　)

A．(0，＋∞)  B．(－1,0)∪(2，＋∞)

C．(2，＋∞)  D．(－1,0)

7．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，则f′(1)＝(　　)

A．－3        B．2e      C．        D．

8．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　)

A.  B．2  C．3    D．0

9．设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f′(0)＝________．

10．曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是____________．

11．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.

12．求下列函数的导数：

(1)y＝xsin2x; (2)y＝；(3)y＝； (4)y＝cos x·sin 3x.

13．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．

14．已知函数f(x)＝ex(cos x－sin x)，将满足f′(x)＝0的所有正数x从小到大排成数列{xn}，证明：数列{f(xn)}为等比数列．

15．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．

16．设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.

(1)求fn′(2)；

(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－＜.

17．已知曲线y＝e2x·cos 3x在点(0,1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．