2021学年6.1.4 求导法则及其应用当堂达标检测题

6.1.4　求导法则及其应用

基础过关练

题组一　导数的四则运算法则

1.(2020重庆一中高二期末)函数f(x)=sin x+1的导数是f'(x)=(　　)

A.cos x B.-cos x+1

C.cos x+1 D.-cos x

2.(2020江西南昌第一中学高二期末)函数y=2sin xcos x的导数为(　　)

A.y'=cos x B.y'=-sin 2x

C.y'=2(sin2x-cos2x) D.y'=2cos 2x

3.(2020河北邯郸第一中学高二月考)下列求导结果正确的是(　　)

A.(1-x2)'=1-2x B.(cos 30°)'=-sin 30°

C.(x-2+x2)'=0   D.(

4.(2020浙江湖州中学高二月考)已知函数f(x)=,则该函数的导函数为f'(x)=(　　)

A. B.-

C.- D.

5.(2020陕西延安高二期末)若函数f(x)=x2-,则f'(1)=(　　)

A.1 B.2 

C.3 D.4

6.函数f(x)=xcos x-sin x的导函数(　　)

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.是非奇非偶函数

7.已知f(5)=5, f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,若h(x)=,求h'(5)的值.

8.(2020吉林长春高二期末)求下列函数的导数:

(1)y=sin x+ln x;

(2)y=cos x+x;

(3)y=xsin x;

(4)y=;

(5)y=3x2+xcos x;

(6)y=.

题组二　复合函数的求导法则

9.(2020天津南开中学滨海生态城学校高二月考)函数y=(ex+e-x)的导数是(　　)

A.y'=(ex-e-x) B.y'=(ex+e-x)

C.y'=ex-e-x D.y'=ex+e-x

10.(2020北京中央民族大学附属中学高二期末)已知f(x)=x·sin 2x,则f'=(　　)

A.-π B.- C.   D.π

11.设函数f(x)=(1-2x3)10,则f'(1)=(　　)

A.0 B.60 C.-1 D.-60

12.(2020湖南长沙长郡中学高二月考)函数y=cos2(π-3x)的导数为　　　　　　. 

13.(2020江西南昌二中高二期末)已知函数f(x)=sin,则f'=　　　　. 

题组三　求导法则的应用

14.若f(x)=x2-2x-4ln x,则f'(x)>0的解集为(　　)

A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞)

C.(2,+∞) D.(-1,0)

15.在如图所示的四个图像中,其中一个图像是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数f'(x)的图像,则f(-1)=(　　)

A.    B.- 

C.    D.-或

16.(2020湖北荆州中学高二期末)曲线y=x3-2x+3在点处的切线的倾斜角α为(　　)

A.    B. 

C. D.

17.(2020广西南宁高二期末)函数f(x)=-2x+ln x的图像在x=1处的切线方程为(　　)

A.x+y+1=0 B.x-y+1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y-1=0

18.(2020山东潍坊第一中学高二月考)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则(　　)

A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1

C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1

19.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

20.若f(x)=(2x+a)2,且f'(2)=20,则a=　　　　. 

21.已知f(x)=(x≠0),若f'(x0)+f(x0)=0,则x0=　　　　. 

22.(2020江西九江第十一中学高二月考)已知函数f(x)=x3+1.求:

(1)曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程;

(2)过点(1,1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程.

23.曲线f(x)=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且与直线l之间的距离为,求直线l的方程.

能力提升练

题组一　导数运算法则的应用

1.(2020天津双菱中学高二月考,)已知f(x)=x2+2xf'(1),则f'(3)=(　　)

A.-4 B.-2 C.1 D.2

2.(2020辽宁师范大学附属中学高三开学考试,)已知函数f(x)=sin x-cos x,且f'(x)=f(x),则tan 2x=(　　)

A.- B.- C.  D.

3.(2020吉林长春高二期末,)已知f(x)=xln x,若f'(x0)=2,则x0=(　　)

A.e2 B. C.e D.ln 2

4.(2020江苏南京外国语学校高二月考,)设f(x)=aex+bln x,且f'(1)=e, f'(-1)=,则a+b=　　　. 

5.(2020重庆一中高二期中,)已知函数f(x)=+x3,其导函数为f'(x),则f(2 020)+f(-2 020)+f'(2 019)-f'(-2 019)=　　　　. 

题组二　导数运算法则在切线中的应用

6.()若函数f(x)=exsin x,则此函数图像在点(4, f(4))处的切线的倾斜角为(　　)

A.  B.0 C.钝角 D.锐角

7.(2020河北邢台一中高二月考,)设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-2)x的导函数是f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为(　　)

A.y=-2x B.y=3x

C.y=-3x D.y=-4x

8.(2020宁夏石嘴山平罗中学高二月考,)若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线x-y-2=0的最小距离为(　　)

A. B. 

C.    D.3

9.(多选)(2020河北保定第三中学高二月考,)若直线l为曲线C1:y=x2与曲线C2:y=x3的公切线,则直线l的斜率为(　　)

A.0 B.2 

C.    D.

10.(2020广西南宁第四中学高二月考,)已知f(x)为偶函数,当x<0时, f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是　　　　　　. 

11.(2020山东菏泽高三期末,)已知函数f(x)=ax2+2ln(2-x)(a∈R),设曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线为l.

(1)求切线l的方程;

(2)若直线l与圆C:x2+y2=相切,求实数a的值;

(3)若直线l与圆C:x2+y2=相交,求实数a的取值范围.

题组三　导数运算法则的综合应用

12.(2020江西南昌莲塘第一中学高二月考,)在等比数列{an}中,a1=2,a8=4,若函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f'(0)=(　　)

A.26 B.29 C.212 D.215

13.(2020安徽黄山屯溪一中高二期中,)已知函数f(x)为R上的可导函数,其导函数为f'(x),且f(x)=·sin x+cos x,在△ABC中, f(A)=f'(B)=1,则△ABC的形状为(　　)

A.等腰锐角三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.等腰钝角三角形

14.(2020天津南开中学滨海生态城学校高二月考,)设曲线f(x)=-ex-2x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,若总有曲线g(x)=ax+2cos x上某点处的切线l2,使得l1⊥l2,求实数a的取值范围.

答案全解全析

6.1.4　求导法则及其应用

基础过关练

1.A　f'(x)=(sin x+1)'=(sin x)'+1'=cos x.

2.D　∵y=2sin xcos x,∴y'=2(cos 2x-sin2x)=2cos 2x.

3.D　对于A,(1-x2)'=-2x,故A错误;

对于B,(cos 30°)'=0,故B错误;

对于C,(x-2+x2)'=(x-2)'+(x2)'=-2x-3+2x,故C错误;

对于D,(,故D正确.

4.B　因为f(x)=,所以f'(x)=.

5.C　∵f(x)=x2-,∴f'(x)=2x+,

∴f'(1)=3.

6.B　f'(x)=(xcos x)'-(sin x)'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.

令F(x)=-xsin x,x∈R,则F(-x)=xsin(-x)=-xsin x=F(x),

所以f'(x)是偶函数.

7.解析　由题意知

h'(x)=,

∵f(5)=5, f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,

∴h'(5)=.

8.解析　(1)y'=(sin x)'+(ln x)'=cos x+.

(2)y'=(cos x)'+x'=-sin x+1.

(3)y'=x'sin x+(sin x)'x=sin x+xcos x.

(4)y'=.

(5)y'=(3x2)'+(xcos x)'=6x+cos x-xsin x.

(6)y'=.

9.A　y'=(ex-e-x).

10.A　因为f(x)=x·sin 2x,

所以f'(x)=sin 2x+2xcos 2x,

所以f'=0+πcos π=-π.

11.B　因为f(x)=(1-2x3)10,所以f'(x)=10(1-2x3)9(1-2x3)'=10(1-2x3)9×(-6x2)=-60x2(1-2x3)9,

所以f'(1)=-60×12×(1-2×13)9=60.

12.答案　y'=-3sin 6x

解析　因为y=cos 2(π-3x)=cos 6x,

所以y'=·(-sin 6x)·(6x)'=-3sin 6x.

13.答案　1

解析　∵函数f(x)=sin,

∴f'(x)=2cos,

∴f'=2cos =1.

14.C　∵f(x)=x2-2x-4ln x,∴f'(x)=2x-2-,令f'(x)>0,即>0,解得-1<x<0或x>2.又x>0,∴x>2.故f'(x)>0的解集为(2,+∞).

15.B　∵f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1,

∴f'(x)=x2+2ax+a2-1,

∴导函数f'(x)的图像是开口向上,对称轴为直线x=-a的抛物线,

∴其图像必为③.

由③的图像特征知f'(0)=0,且-a>0,

∴a=-1, f(x)=x3-x2+1,∴f(-1)=-,故选B.

16.D　由y=x3-2x+3,得y'=x2-2,

所以曲线在点处的切线的斜率为12-2=-1,

即tan α=-1,又α∈[0,π),所以α=.

17.A　当x=1时, f(1)=-2+0=-2,所以切点坐标为(1,-2).

由题意得f'(x)=-2+,所以函数f(x)的图像在x=1处的切线的斜率k=f'(1)=-2+=-1,

所以切线方程为y+2=-1·(x-1),即x+y+1=0.

18.D　∵y=aex+xln x,∴y'=aex+ln x+1,

∴曲线在点(1,ae)处的切线的斜率k=ae+1=2,∴a=e-1,∴切点为(1,1),

将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,解得b=-1,故选D.

19.D　∵y=,∴y'=.

∵ex+≥2当且仅当ex=,即x=0时,等号成立,∴ex++2≥4,

∴y'∈[-1,0),即tan α∈[-1,0),又α∈[0,π),∴α∈.

20.答案　1

解析　设y=f(x),令u=2x+a,则y=u2,

则y'x=y'u·u'x=(u2)'(2x+a)'=4u=4(2x+a),

则f'(2)=4×(2×2+a)=20,解得a=1.

21.答案　

解析　因为f(x)=,所以f'(x)=(x≠0).

由f'(x0)+f(x0)=0,得=0,解得x0=.

22.解析　由f(x)=x3+1,得f'(x)=3x2.

(1)曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率k=f'(0)=0,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=1.

(2)设切点的坐标为(x0,+1),则所求切线的斜率为3,则所求切线方程为y-((x-x0),

将点(1,1)的坐标代入,得-(1-x0),解得x0=0或x0=.

当x0=时,所求直线方程为27x-4y-23=0;

当x0=0时,所求直线方程为y=1.

综上,过点(1,1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程为27x-4y-23=0或y=1.

23.解析　∵f(x)=e2xcos 3x,

∴f'(x)=(e2xcos 3x)'=(e2x)'cos 3x+e2x(cos 3x)'

=2e2xcos 3x-3e2xsin 3x=e2x(2cos 3x-3sin 3x),

∴f'(0)=2.

∴曲线f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0.

由直线l与切线平行,可设直线l的方程为2x-y+c=0(c≠1),

两平行线间的距离d=,解得c=6或c=-4.

∴直线l的方程为2x-y+6=0或2x-y-4=0.

能力提升练

1.D　∵f(x)=x2+2xf'(1),

∴f'(x)=2x+2f'(1),

令x=1,则f'(1)=2+2f'(1),∴f'(1)=-2,

∴f'(x)=2x+2f'(1)=2x-4,令x=3,则f'(3)=2.

2.D　因为函数f(x)=sin x-cos x,

所以f'(x)=cos x+sin x,

又因为f'(x)=f(x),

所以cos x+sin x=(sin x-cos x),

所以sin x=-3cos x,

所以tan x=-3,

所以tan 2x=.

3.C　因为f(x)=xln x,所以f'(x)=ln x+1,则f'(x0)=ln x0+1=2,即ln x0=1,解得x0=e,故选C.

4.答案　1

解析　因为f(x)=aex+bln x,所以f'(x)=aex+,又f'(1)=e, f'(-1)=,所以ae+b=e,,解得a=1,b=0,故a+b=1.

5.答案　3

解析　∵f(x)=+x3,∴f(-x)=-x3,∴f(-x)+f(x)=3,

∴f(2 020)+f(-2 020)=3.

∵f'(x)=+3x2,

∴f'(-x)=-+3x2=f'(x),

∴f'(2 019)-f'(-2 019)=0,

∴f(2 020)+f(-2 020)+f'(2 019)-f'(-2 019)=3+0=3.

6.C　∵f(x)=exsin x,

∴f'(x)=exsin x+excos x=ex(sin x+cos x),

∴f'(4)=e4(sin 4+cos 4).

∵π<4<,∴sin 4<0,cos 4<0,∴f'(4)<0.

由导数的几何意义,知此函数图像在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为钝角.

7.A　因为f(x)=x3+ax2+(a-2)x,所以f'(x)=3x2+2ax+a-2,

又f'(x)是偶函数,所以2a=0,即a=0,

所以f'(x)=3x2-2,则f'(0)=-2,

所以曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=-2x.

8.A　若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则当曲线在点P处的切线和直线x-y-2=0平行时,点P到直线x-y-2=0的距离最小.

易知直线x-y-2=0的斜率为1,

由y=x2-ln x,得y'=2x-,令y'=1,解得x=1或 x=-(舍去),当x=1时,y=1,

故曲线y=x2-ln x上和直线x-y-2=0平行的切线的切点坐标为(1,1).

点(1,1)到直线x-y-2=0的距离d=,

故点P到直线x-y-2=0的最小距离为.

9.AD　曲线C1:y=x2,则y'=2x,曲线C2:y=x3,则y'=3x2,

设直线l与曲线C1的切点坐标为(a,a2),则切线方程为y=2ax-a2,

设直线l与曲线C2的切点坐标为(m,m3),则切线方程为y=3m2x-2m3,

∴2a=3m2,a2=2m3,∴m=0或m=,

∴直线l的斜率为0或.

10.答案　y=-2x-1

解析　当x>0时,-x<0,则f(-x)=ln x-3x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln x-3x(x>0),所以f'(x)=-3(x>0),

则f'(1)=-2,所以所求切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.

11.解析　(1)由题意得f(1)=a, f'(x)=2ax+(x<2),所以f'(1)=2a-2,

所以切线l的方程为y-a=(2a-2)(x-1),

即2(a-1)x-y+2-a=0.

(2)若直线l与圆C:x2+y2=相切,则圆心C(0,0)到直线l的距离等于半径,即,解得a=.

(3)若直线l与圆C:x2+y2=相交,

则圆心C(0,0)到直线l的距离小于半径,

即,

解得a>,即实数a的取值范围为.

12.C　f'(x)=[x(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]'

=x'[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]+x[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]'

=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+x[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]',

∴f'(0)=a1a2…a8,

又a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=2×4=8,

∴f'(0)==84=212.

13.D　f'(x)=cos x-sin x,

则f'cos

=,

则,则f'=1,

则f'(x)=cos x-sin x=2cos,

f(x)=sin x+cos x=2cos,

又f(A)=f'(B)=1,

所以f'(B)=2cos=1,

即cos,

又B∈(0,π),所以B+,解得B=,

f(A)=2cos=1,

即cos,

又A∈(0,π),所以A-,则A=,则C=π-,

则B=C,即△ABC是等腰钝角三角形.

14.解析　∵f(x)=-ex-2x,∴f'(x)=-ex-2,易知f'(x)<-2.设切线l1的斜率为k1,则有k1<-2,

∴-k1>2,∴-∈.

∵g(x)=ax+2cos x,∴g'(x)=a-2sin x.设切线l2的斜率为k2,则有k2∈[a-2,a+2].

∵l1⊥l2,∴k1k2=-1,∴-=k2.∵曲线f(x)=-ex-2x上任意一点处的切线为l1,总有曲线g(x)=ax+2cos x上某点处的切线l2,使得l1⊥l2,

∴∴-≤a≤2,∴实数a的取值范围为.