高中数学人教版新课标A必修52.4 等比数列第2课时同步训练题

第2课时　等比数列的性质

课时过关·能力提升

基础巩固

1在等比数列{an}中,a2=8,a5=64,则公比q为(　　).

A.2 B.3 C.4 D.8

答案:A

2对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(　　).

A.a1,a3,a9成等比数列 

B.a2,a3,a6成等比数列

C.a2,a4,a8成等比数列 

D.a3,a6,a9成等比数列

答案:D

3已知等差数列a,b,c三项之和为12,且a,b,c+2成等比数列,则a等于(　　).

A.2或8 B.2

C.8 D.-2或-8

解析:由已知

解

故a=2或a=8.

答案:A

4已知等比数列{an}的公比q=an}是(　　)

A.递增数列 B.递减数列

C.常数数列 D.摆动数列

解析:由于公比q=

所以数列{an}是摆动数列.

答案:D

5已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=　　　　　,d=　　　　　. 

解析:由题意

解

答案:

6若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=　　　　. 

答案:50

7

解析:设此三个数为x,y,z,即数.

由等比数列的性质可知xz=y2

设公比为q,又知y为该数列的第三项,

∴y

∴xyz=36×6=216.

答案:216

8有四个实数,前三个数依次成等比数列,它们的积是-8,后三个数依次成等差数列,它们的积为-80,求出这四个数.

解由题意设此四个数

则

所以这四个数为1,-2,4,10

9已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值.

分析要求出等比数列中的某一项,可先求出其他一项和q,再利用an=amqn-m求解.

解∵数列{an}为等比数列,∴a1a9=a3a7=64.

又a3+a7=20,

∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根.

解方程,得t1=4,t2=16,

∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4.

当a3=4时,a3+a7=a3+a3q4=20,

∴1+q4=5.∴q4=4.

∴a11=a3q8=4×42=64.

当a3=16时,a3+a7=a3(1+q4)=20,

∴1+q4

∴a11=a3q8=16

综上可知,a11的值为64或1.

能力提升

1已知等比数列{an}的公比q>0,且a3a9=a2=1,则a1等于(　　)

A

解析:∵a3.

又q>0,∴qa

答案:B

2在等比数列{an}中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则a9a10a11的值等于(　　).

A.48 B.72 C.144 D.192

解析:

∴a9a10a11=a6a7a8·q9=24×8=192.

答案:D

★3若数列{an}是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是(　　).

A.{lg an} 

B.{1+an} 

C

解析:当an=-1时,lg an,1+an=0,则选项A,B,D都不符合题意;选项C中,设an=a1qn-1(q是公比),

则bn

则,

即数.

答案:C

4在等比数列{an}中,a2=2,a6=16,则a10=　　　　　. 

解析:∵a2,a6,a10成等比数列,

答案:128

5在等比数列{an}中,a888=3,a891=81,则公比q=　　　　　. 

解析:∵a891=a888q891-888=a888q3,

∴q3

答案:3

6某厂生产电脑,原计划第一季度每月增加的台数相同,在实际生产过程中,一月份的产量与原计划相同,二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月的产量正好成等比数列,而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台,问该厂第一季度实际生产电脑多少台?

解设该厂第一季度原计划三个月生产的电脑台数分别为x-d,x,x+d(d>0),

则实际上三个月生产的电脑台数分别为x-d,x+10,x+d+25.

由题意,

解

故(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=3×90+35=305(台),

所以该厂第一季度实际生产电脑305台.

★7若数列{an}是公差d≠0的等差数列,{bn}是公比q≠1的等比数列,已知a1=b1=1,且a2=b2,a6=b3.

(1)求d和q;

(2)是否存在常数a,b,使对一切n∈N*都有an=logabn+b成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.

解(1)由题意

解

(2)假设存在常数a,b.

由(1)得an=3n-2,bn=4n-1,代入an=logabn+b得3n-2=loga4n-1+b,

即(3-loga4)n+(loga4-b-2)=0对一切n∈N*都成立,

∴存在常数a.