人教版新课标A必修52.2 等差数列同步练习题

等 差 数 列

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差d为 (　　)

A.2   B.3   C.-2   D.-3

【解析】选C.由等差数列的定义,得d=a2-a1=-1-1=-2.

2.(2019·嘉兴高一检测)等差数列{an}中,已知a3=7,a5=13,则a7= (　　)

A.16   B.17   C.18   D.19

【解析】选D.由等差数列的性质可得2a5=a3+a7,

所以a7=2a5-a3=19.

3.已知数列{an}是等差数列,a4=25,a7=13,则过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率为

 (　　)

A.4  B.   C.-4   D.-

【解析】选C.由已知数列{an}是等差数列,所以an是关于n的“一次函数”,其图象是一条直线上的等间隔的点(n,an),所以过点P(3, a3),Q(5,a5)的直线,即过点(4,25),(7,13)的直线,所以直线斜率k==-4.

4.等差数列{an}中,若a4=3,则a2+a3+a7= (　　)

A.6   B.9   C.12   D.15

【解析】选B.因为a4=3,所以a2+a3+a7=a4-2d+a4-d+a4+3d=3a4=3×3=9.

5.(2019·上海高一检测)已知数列是等差数列,数列分别满足下列各式,其中数列必为等差数列的是              (　　)

A.bn=|an|   B.bn=

C.bn=   D.bn=-

【解析】选D.设数列的公差为d,

选项A,B,C,都不满足bn-bn-1=同一常数,所以三个选项都是错误的;

对于选项D,bn-bn-1=-+==-,

所以数列必为等差数列.

6.在数列{an}中,a1=2,2an+1-2an=1,则a101的值为 (　　)

A.49   B.50   C.51   D.52

【解析】选D.因为an+1-an=,

所以数列{an}是首项为2,公差为的等差数列,

所以an=a1+(n-1)·=2+,

所以a101=2+=52.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.设等差数列{an}满足:a1+a2=7,a1-a3=-6,则a5=________. 

【解析】因为等差数列{an}满足:a1+a2=7,a1-a3=-6.

所以,

解得a1=2,d=3,

所以a5=a1+4d=2+4×3=14.

答案:14

8.等差数列1,-1,-3,-5,…,-89的项数为________. 

【解析】因为a1=1,d=-1-1=-2,

所以an=a1+(n-1)d=-2n+3.

由-2n+3=-89,得n=46.

答案:46

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2019·临沂高二检测)已知等差数列满足a1+a2=10,a4-a3=2.

(1)求首项及公差;

(2)求的通项公式.

【解析】(1)设等差数列的公差为d.

因为a4-a3=2,所以d=2.

又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.

(2)由(1)可知an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).

10.(1)若{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求a75.

(2)已知递减等差数列{an}的前三项和为18,前三项的乘积为66.求数列的通项公式,并判断-34是该数列的项吗?

【解析】(1)设{an}的公差为d.

由已知得

解得

所以a75=a1+74d=+74×=24.

(2)由已知

所以

解得或

因为数列{an}是递减等差数列,所以d<0,a1=11,d=-5,

所以an=11+(n-1)·(-5)=-5n+16,

即等差数列{an}的通项公式为an=-5n+16.

令an=-34,即-5n+16=-34,得n=10,

所以-34是数列{an}的第10项.

(45分钟　75分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.(2019·蚌埠高一检测)已知等差数列{an}的前三项依次为-1,1,3,则此数列的通项公式为 (　　)

A.an=2n-5   B.an=2n-3

C.an=2n-1   D.an=2n+1

【解析】选B.等差数列{an}中,a1=-1,a2=1,可得d=a2-a1=2,

由通项公式可得an=a1+(n-1)×d=-1+2(n-1)=2n-3.

2.(2019·乌鲁木齐高一检测)若三角形的三个内角成等差数列,则第二大的角度数为 (　　)

A.30度   B.45度

C.60度   D.75度

【解析】选C.设三个角依次为A、B、C且A<B<C,则有,解得B=60°,因此,第二大的角度数为60度.

3.在等差数列{an}中,a2,a14是方程x2+6x+2=0的两个实根,则= (　　)

A.-   B.-3   C.-6   D.2

【解析】选A.由于a2,a14是方程x2+6x+2=0的两个实根,所以a2+a14=2a8=-6,a8=-3,a2·a14=2,

所以==-.

4.在等差数列{an}中,已知a1=,a2+a5=4,an=33,则n等于 (　　)

A.48   B.49   C.50   D.51

【解析】选C.因为a1+d+a1+4d=4,且a1=,

所以d=,

又因为an=a1+(n-1)d=+(n-1)×=33,

即n=50.

5.设{an}是等差数列,下列结论中正确的是 (　　)

A.若a1+a2>0,则a2+a3>0

B.若a1+a3<0,则a1+a2<0

C.若0<a1<a2,则a2=

D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0

【解析】选C.对a1=2,a2=-1,a3=-4,选项A,B不成立.选项C,由等差中项的定义知,a2=,故C正确.选项D,(a2-a1)(a2-a3)=-d2≤0,不正确.

二、填空题(每小题5分,共20分)

6.已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a3=________. 

【解析】因为{an}为等差数列,a2=2a3+1,a4=2a3+7,

所以,

解得a1=-10,d=3,

所以a3=a1+2d=-10+6=-4.

答案:-4

7.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列为等差数列,则a5=________. 

【解析】由数列为等差数列,

则有+=,可解得a5=.

答案:

8.数列满足:log2an+1=1+log2an,若a3=10,则a8=________. 

【解析】log2an+1=1+log2an,

所以log2an+1-log2an=1,

所以为等差数列,公差为1,第三项为log210,

所以log2a8=log210+5,

所以a8=320.

答案:320

9.在等差数列{an}中,若a1+a2=3,a3+a4=5,则a7+a8等于________. 

【解析】设公差为d,则因为a1+a2=3,a3+a4=5,

所以2a1+d=3,2a1+5d=5,

所以d=,即得a1=,

所以a7+a8=2a1+13d=2×+13×=9.

答案:9

三、解答题(每小题10分,共30分)

10.已知数列{an}中,a1=-1,an+1·an=an+1-an且Cn=,证明{Cn}是等差数列.

【证明】因为an+1·an=an+1-an,

所以-=1,

即-=-1,

故Cn+1-Cn=-1,

因此{Cn}是等差数列.

11.已知等差数列{an}中,a15=33,a61=217,试判断153是不是这个数列的项,如果是,是第几项?

【解析】设首项为a1,公差为d,

由已知得,

解得,

所以an=-23+(n-1)×4=4n-27,

令an=153,即4n-27=153,

解得n=45,

所以153是该数列的第45项.

12.已知数列{an}满足a1=3,an·an-1=2an-1-1.

(1)求a2,a3, a4;

(2)求证:数列{}是等差数列,并求出{an}的通项公式.

【解析】(1)因为an·an-1=2an-1-1,a1=3,

所以a2=,a3=,a4=.

(2)证明:易知an-1≠0,an=2-.

当n≥2时,

-=-=-=-=1,

所以{}是以=为首项,以1为公差的等差数列,

=+(n-1)·1=n-,

所以an=+1=.

【补偿训练】

　　 已知数列{an}满足:a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N*).求数列{an}的通项公式.

【解析】因为a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N*),

所以数列{an}的奇数项、偶数项均是以-2为公差的等差数列.

当n为奇数时,an=a1+×(-2)=11-n,

当n为偶数时,an=a2+×(-2)=7-n,

所以an=