2021学年2.4 等比数列同步训练题

这是一份2021学年2.4 等比数列同步训练题，共5页。

1．等比数列{an}的公比q＝－eq \f(1,4)，a1＝eq \r(2)，则数列{an}是( )
A．递增数列B．递减数列
C．常数数列D．摆动数列
【解析】 因为等比数列{an}的公比为q＝－eq \f(1,4)，a1＝eq \r(2)，故a2<0，a3>0，…所以数列{an}是摆动数列．
【答案】 D
2．(2014·重庆高考)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
【解析】 设等比数列的公比为q，因为eq \f(a6,a3)＝eq \f(a9,a6)＝q3，即aeq \\al(2,6)＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.
【答案】 D
3．在等比数列{an}中，a3a4a5＝3，a6a7a8＝24，则a9a10a11的值为( )
A．48 B．72 C．144 D．192
【解析】 ∵eq \f(a6a7a8,a3a4a5)＝q9＝8(q为公比)，
∴a9a10a11＝a6a7a8q9＝24×8＝192.
【答案】 D
4．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是( )
A．3B．27
C．3或27D．15或27
【解析】 设此三数为3，a，b，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝3＋b，,a－62＝3b，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝15，,b＝27.))所以这个未知数为3或27.
【答案】 C
5．已知等比数列{an}各项均为正数，且a1，eq \f(1,2)a3，a2成等差数列，则eq \f(a3＋a4,a4＋a5)等于( )
A.eq \f(\r(5)＋1,2) B.eq \f(\r(5)－1,2)
C.eq \f(1－\r(5),2)D．eq \f(\r(5)＋1,2)或eq \f(\r(5)－1,2)
【解析】 由题意，得a3＝a1＋a2，即a1q2＝a1＋a1q，
∴q2＝1＋q，解得q＝eq \f(1±\r(5),2).
又∵{an}各项均为正数，∴q>0，即q＝eq \f(1＋\r(5),2).
∴eq \f(a3＋a4,a4＋a5)＝eq \f(a1q2＋a1q3,a1q3＋a1q4)＝eq \f(1,q)＝eq \f(\r(5)－1,2).
【答案】 B
二、填空题
6．(2015·青岛高二检测)在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于 ．
【解析】 因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，
所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29＝512.
因为a8＝a3·q5，所以q＝2.所以a7＝eq \f(a8,q)＝256.
【答案】 256
7.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x＋y＋z的值为 ．
【解析】 ∵eq \f(x,2)＝eq \f(2,4)，∴x＝1.
∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6.
同理，第二行后两格中数字分别为2.5,3.
∴y＝5·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3，z＝6·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4.
∴x＋y＋z＝1＋5·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＋6·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＝eq \f(32,16)＝2.
【答案】 2
8．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是 ．
【解析】 由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均增长率只需利用eq \f(a12,a1)＝m，所以月平均增长率为eq \r(11,m)－1.
【答案】 eq \r(11,m)－1
三、解答题
9．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比. 【导学号：05920071】
【解】 设该数列的公比为q.
由已知，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q－a1＝2，,4a1q＝3a1＋a1q2，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q－1＝2，,q2－4q＋3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,q＝3.))(q＝1舍去)
故首项a1＝1，公比q＝3.
10．(2015·福建高考改编)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，求p＋q的值．
【解】 不妨设a>b，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝p>0，,ab＝q>0，))∴a>0，b>0，则a，－2，b成等比数列，a，b，－2成等差数列，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝－22，,a－2＝2b，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝1，))∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9.
[能力提升]
1．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝( )
A．±2B．±4
C．2D．4
【解析】 ∵T13＝4T9.
∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9.
∴a10a11a12a13＝4.
又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4.∴a8a15＝±2.
又∵{an}为递减数列，∴q>0.∴a8a15＝2.
【答案】 C
2．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－aeq \\al(2,7)＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝( )
A．16B．14
C．4D．49
【解析】 ∵2a3－aeq \\al(2,7)＋2a11＝2(a3＋a11)－aeq \\al(2,7)＝4a7－aeq \\al(2,7)＝0，
∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝beq \\al(2,7)＝16.
【答案】 A
3．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝ .
【解析】 由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，说明{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，由于{an}中连续四项至少有一项为负，∴q<0.
又∵|q|>1，∴{an}的连续四项为－24,36，－54,81.
∴q＝eq \f(36,－24)＝－eq \f(3,2)，
∴6q＝－9.
【答案】 －9
4．在等差数列{an}中，公差 d≠0，a2是a1与a4的等比中项．已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，求数列{kn}的通项kn.
【解】 依题设得an＝a1＋(n－1)d，aeq \\al(2,2)＝a1a4，
∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d，
∵d≠0，∴d＝a1，得an＝nd.
∴由已知得d,3d，k1d，k2d，…，knd，…是等比数列．
又d≠0，∴数列1,3，k1，k2，…，kn，…也是等比数列，首项为1，公比为q＝eq \f(3,1)＝3，由此得k1＝9.
等比数列{kn}的首项k1＝9，公比q＝3，
∴kn＝9×qn－1＝3n＋1(n＝1,2,3，…)，即得到数列{kn}的通项为kn＝3n＋1.