人教版新课标A必修52.4 等比数列示范课ppt课件

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主题1　等比数列的概念及等比中项1.观察下面的数列,它们有什么共同特点?(1)1,2,4,8,16,…(2)3,9,27,81,243,…(3)-2,8,-32,128,-512,…
提示:从第2项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数.
2.若把满足上述特点的数列我们称之为等比数列,试判断满足G2=ab的三个数a,G,b是否组成等比数列(其中a,b≠0)?反之是否成立?提示:因为G2=ab≠0,故 ,所以a,G,b组成等比数列;反之亦成立,即若a,G,b成等比数列,则G2=ab.
结论:1.等比数列:(1)定义:一般地,如果一个数列从________,每一项与它的前一项的比等于_________,那么这个数列叫做等比数列.(2)公比及表示:这个_____叫做等比数列的公比,公比通常用字母________表示.
2.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,这三个数满足关系式_____.
【对点训练】1.下列各数列成等比数列的是(　　)A.1,-2,-4,-8,-16,…B.1, …C.-1,1,-1,1,-1,…D.0,0,0,0,0,…
【解析】选C.由等比数列的定义知C是等比数列.
2.在等比数列{an}中,a1,a5为方程x2-10x+16=0的两根,则a3=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.4B.5C.±4D.±5
【解析】选A.因为a1,a5为方程x2-10x+16=0的两根,所以a1a5=16,在等比数列{an}中, =a1a5=16,所以a3=±4,又因为a1,a5为正数,奇数项同号,所以a3=4.
3.已知等差数列{an}的公差为3,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=________. 
【解析】设公差为d,因为等差数列{an}的公差为3,a1,a3,a4成等比数列,所以(a1+6)2=a1(a1+9).所以a1=-12,所以a2=-9.答案:-9
主题2　等比数列的通项公式1.根据等比数列的定义,对于等比数列{an}你能得出任意相邻两项的关系吗?提示:对于等比数列{an}中任意相邻两项的关系为 =q(n≥2,q≠0),即an=an-1·q(n≥2,q≠0).
2.根据等比数列的定义,类比等差数列通项公式的推导方法,如何推导出等比数列的通项公式?提示:由等比数列定义知 =q(n≥2,q≠0),故 =q, =q,…, =q,以上各式相乘得: =qn-1,因此an=a1·qn-1.
结论:等比数列的通项公式:首项为a1,公比是q(q≠0)的等比数列{an}的通项公式为:________________.
an=a1·qn-1(q≠0)
【对点训练】1.已知等比数列{an}中,a1=32,公比q=- ,则a6=(　　)　　　　　　 　　　　　　 A.1B.-1C.2D. 【解析】选B.a6=a1·q5=32× =-1.
2.在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=3,a9=a2a3a4,则公比q的值为(　　)A. B. C.2D.3
【解析】选D.由a9=a2a3a4得a1q8= q6,所以q2= ,因为等比数列{an}的各项都为正数,所以q=a1=3.
3.已知数列{an}中,an+1=3an,a1=2,则a4等于(　　)A.18B.54C.36D.72【解析】选B.数列{an}中,an+1=3an,a1=2,所以数列{an}是等比数列,公比q=3.则a4=2×33=54.
类型一　等比数列中基本量的计算【典例1】(1)在等比数列{an}中,a1= ,q= ,an= ,则项数n为(　　)　　　　　　　　　　　　　A.3B.4C.5D.6
(2)在等比数列{an}中,若a2+a6=3,a6+a10=12,则a8+a12=(　　)A.12 B.24C.24 D.48
【解题指南】(1)利用等比数列的通项公式列出关于n的方程,求解即可.(2)设等比数列{an}的公比为q,利用等比数列的通项公式得出q2=2,再求值即可.
【解析】(1)选C.因为an=a1qn-1,所以 ,故n=5.(2)选B.设等比数列{an}的公比为q,且q≠0,因为a2+a6=3,a6+a10=12,所以q4=4,所以q2=2,所以a8+a12=q6(a2+a6)=24.
【方法总结】1.求等比数列某项的方法先建立关于a1和q的两个方程,从而求出a1和q,再求相应的项.
2.等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.
【跟踪训练】已知数列{an}是等比数列,公比q<1,若a2=2,a1+a2+a3=7.(1)求{an}的通项公式.(2)设bn=lg2an,求数列{bn}的前n项和.
【解析】(1)由已知得, 则 或 (舍去)所以an=4× =23-n.
(2)因为bn=lg2an=lg223-n=3-n.所以数列{bn}是首项为2,公差为-1的等差数列.设数列{bn}的前n项和为Tn,所以Tn=
【补偿训练】已知等比数列{an}中,a1+a2=1,a4+a5=-8,则公比q=(　　)A.-2　　　　B.2　　　　C.- 　　　　D.
【解析】选A.等比数列的通项公式为an=a1qn-1,原等式变为a1+a1q=1,a1q3+a1q4=-8,两式相除得 =-8,解得q=-2.
类型二　等比中项及应用【典例2】(1)若a=5+2 ,c=5-2 ,则a与c的等比中项为________. (2)已知1既是a2与b2的等比中项,又是 与 的等差中项,求 的值.
【解题指南】(1)利用等比中项的定义去求.(2)结合等差中项及等比中项的定义求解.
【解析】(1)设a与c的等比中项为b,则b2=ac=(5+2 )(5-2 )=1,即b=±1.答案:±1
(2)由题意得,a2b2=(ab)2=1, =2,所以 或 因此 =1或- .
【方法总结】等比中项应用的三个关注点(1)由等比中项的定义可知 ⇒G2=ab⇒G=± ,所以当a,b同号时,a,b的等比中项有两个,异号时,没有等比中项.
(2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. =an-1·an+1.(3)a,G,b成等比数列等价于G2=ab(ab>0).
【补偿训练】已知a-1,a+1,a+4三个数成等比数列,则公比q=______. 【解析】由题意得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,故q= 答案:
类型三　等比数列的判定【典例3】(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列.(2)求{an}和{bn}的通项公式.
【解题指南】(1)可通过题意中的4an+1=3an-bn+4以及4bn+1=3bn-an-4对两式进行相加和相减即可推导出数列{an+bn}是等比数列以及数列{an-bn}是等差数列;
(2)可通过(1)中的结果推导出数列{an+bn}以及数列{an-bn}的通项公式,然后利用数列{an+bn}以及数列{an-bn}的通项公式即可得出结果.
【解析】(1)由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1= (an+bn).又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为 的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
(2)由(1)知,an+bn= ,an-bn=2n-1.所以an= [(an+bn)+(an-bn)]= +n- ,bn= [(an+bn)-(an-bn)]= -n+ .
【方法总结】证明一个数列为等比数列的三种方法(1)定义法:验证 =q(常数)是否成立.(2)等比中项法:证明 =anan+2,注意an≠0.(3)通项公式法:证明an=a1qn-1,这里a1≠0且q≠0.提醒:利用等比数列的定义证明数列为等比数列时必须说明 为同一常数.
【跟踪训练】已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+n-1,记bn=an+n.(1)求b1,b2,b3.(2)判断{bn}是否为等比数列,并说明理由.
【解析】(1)因为a1=1,所以a2=2a1+0=2,a3=2a2+2-1=5,从而b1=2,b2=a2+2=4,b3=a3+3=8.(2){bn}是等比数列.因为an+1=2an+n-1,所以an+1+(n+1)=2(an+n),所以 =2,即 =2,所以{bn}是等比数列,且首项b1=2,公比为 2.
【补偿训练】已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn= (an-1).(n∈N*)(1)求a1,a2.(2)求证:数列{an}是等比数列.
【解析】(1)由S1= (a1-1),得a1= (a1-1),所以a1=- ,又S2= (a2-1),即a1+a2= (a2-1),得a2= .
(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1= (an-1)- (an-1-1)得 ,又 故{an}是首项为- ,公比为- 的等比数列.