人教B版 (2019)必修 第二册4.2.1 对数运算课前预习ppt课件

4.2　对数与对数函数

4.2.1　对数运算

知识点1　对数的定义及相关概念

1．对数的概念

在表达式ab＝N(a＞0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数．

2．对数恒等式a＝N.

3．常用对数

以10为底的对数称为常用对数，并把log10N记为lg N.

4．自然对数

在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln N.

如何准确理解指数式与对数式的关系？

[提示]　(1)指数式和对数式的关系如图所示：

(2)指数式和对数式各部分的名称：

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4. (　　)

(2)对数式log32与log23的意义一样． (　　)

(3)因为1a＝1，所以log11＝a.  (　　)

(4)log(－2)(－2)＝1．  (　　)

[提示]　(1)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；

(2)×.log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；

(3)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(3)错；

(4)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，真数应大于0，所以(4)错．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．2＝________.

3　[由对数恒等式得，2＝3.]

知识点2　对数的性质

3.若log3(log2x)＝0，则x＝________.

　[∵log3(log2x)＝0，∴log2x＝30＝1，∴x＝2，即x＝.]

类型1　对数的概念

【例1】　(1)对数式lg(2x－1)中实数x的取值范围是________．

(2)对数式log(x－2)(x＋2)中实数x的取值范围是____________．

[思路探究]　根据对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0求解．

(1)　(2)(2,3)∪(3，＋∞)　[(1)由题意可知对数式lg(2x－1)中的真数大于0，即2x－1>0，解得x>，所以x的取值范围是.

(2)由题意可得解得x>2，且x≠3，所以实数x的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．]

在对数式中，对数的底数与真数有什么要求？

[提示]　根据对数的概念，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0.

1．对数式log(2x－3)(x－1)中实数x的取值范围是____________．

∪(2，＋∞)　[由题意可得解得x>，且x≠2，所以实数x的取值范围是∪(2，＋∞)．]

类型2　指数式与对数式的互化

【例2】　(1)将下列指数式与对数式互化：

①log216＝4；②logx＝6；③43＝64；

④3－2＝；⑤lg 1 000＝3.

(2)(对接教材P18例4)设a＝log310，b＝log37，求3a－b的值．

[思路探究]　(1)根据ax＝N⇔logaN＝x(a>0且a≠1，N >0)求解；

(2)由于a，b是对数，所以可考虑用指数式表示出a，b，再把它们代入式子中．

[解]　(1)①因为log216＝4，所以24＝16.

②因为logx＝6，所以()6＝x.

③因为43＝64，所以log464＝3.

④因为3－2＝，所以log3＝－2.

⑤因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.

(2)因为a＝log310，b＝log37，所以3a＝10,3b＝7.

则3a－b＝＝.

1．指数式与对数式互化的方法技巧

(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．

(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．

2．互化时应注意的问题

(1)利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变．

(2)对数式的书写要规范：底数a要写在符号“log”的右下角，真数正常表示．

2．(1)将下列各等式化为相应的对数式或指数式：

①10－3＝；②ln 2＝x.

(2)已知a>0且a≠1，loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．

[解]　(1)①因为10－3＝，所以lg＝－3.

②因为ln 2＝x，所以ex＝2.

(2)根据条件loga3＝n及对数的定义可得an＝3，

由loga2＝m及对数的定义可得am＝2，

所以a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22×3＝12.

类型3　对数的性质与对数恒等式

1．是不是所有的实数都有对数？

[提示]　负数和0没有对数．

2．根据对数的定义及对数与指数的关系，你能求出loga1，logaa分别等于什么吗？

[提示]　因为a0＝1，所以loga1＝0；因为a1＝a，所以logaa＝1．

3．你能推出对数恒等式a＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？

[提示]　因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得a＝N.

【例3】　(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x－e－x，则f(ln 6)＝(　　)

A．－ln 6＋6　　 B．ln 6－6

C．ln 6＋6 D．－ln 6－6

(2)有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；

②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝100；

④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是(　　)

A．①③ B．②④

C．①② D．③④

[思路探究]　(1)根据奇偶性先将f(ln 6)化为－f(－ln 6)再代入求解．

(2)根据对数的性质逐一判断即可．

(1)C　(2)C　[(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(ln 6)＝－f(－ln 6)＝－(－ln 6－eln 6)

＝－(－ln 6－6)＝ln 6＋6.

(2)因为lg 10＝1，所以lg(lg 10)＝0，故①正确；

因为ln e＝1，所以ln(ln e)＝0，故②正确；

由10＝lg x，得1010＝x，故x≠100，故③错误；

由e＝ln x，得ee＝x，故x≠e2，所以④错误．]

1．利用对数性质求解的两类问题的解题方法

(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．

(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．

2．对数恒等式a＝N的应用

(1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可．

(2)不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．

3．计算：log2＝________.

－　[log2＝log22＝－.]

4．已知log5(log3(log2a))＝0，计算36的值．

[解]　因为log5(log3(log2a))＝0，所以log3(log2a)＝1，即log2a＝3.所以a＝23＝8.所以原式＝(62)＝6＝a2＝64.

1．把对数式x＝lg 2化为指数式为(　　)

A．10x＝2　　　　 B．x10＝2

C．x2＝10 D．2x＝10

A　[根据指数式与对数式的互化可知x＝lg 2化为指数式为10x＝2.]

2．若log8x＝－，则x的值为(　　)

A． B．4

C．2 D．

A　[∵log8x＝－，

∴x＝8＝2－2＝，故选A．]

3．若3x＝2，则x等于(　　)

A．log23　　　　 B．log32

C．32 D．23

B　[由指数式化为对数式可知x＝log32.]

4．计算2＝________.

20　[2＝22·2log25＝4×5＝20.]

5．在对数式b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是________．

(2,3)∪(3,5)　[要使对数式有意义，则需解得2＜a＜5且a≠3.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．对数与指数有怎样的关系？

[提示]　指数式与对数式的互化(其中a＞0且a≠1)：

(1)对数运算是指数幂运算的逆运算；

(2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键．

2．对数有哪些性质？

[提示]　(1)负数和零没有对数．

(2)1的对数是0.

(3)底数的对数是1．

3．对数概念中，有哪些容易出错的地方？

[提示]　对数式中容易忽视底数与真数的范围．