沪教版沪教版七年级第一学期同步第4讲、第5讲：幂的运算（一）（二）（学生版 + 教师版）

《整式的乘除》是整式加减的延续和发展，也是后续学习因式分解、分式运算的基础．整式的乘法运算包含单项式乘法、单项式与多项式乘法和多项式乘法，它们最后都转化为单项式乘法．单项式的乘法又以幂的运算为基础．“整式的乘法”的内容和逻辑线索是：同底数幂的乘法——幂的乘方——积的乘方——单项式乘单项式——单项式乘多项式——多项式乘多项式——乘法公式（特例）．

由此可见，同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是整式乘法的逻辑起点，是该章的起始课．作为章节起始课，承载着单元知识以及学习方法、路径的引领作用．

1、幂的运算概念：求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中， 叫做底数，叫做指数．

含义：中，为底数，为指数，即表示的个数，表示有个连续相乘．

特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号．

2、“奇负偶正”口诀的应用：

口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：

（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：；．

（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号．

（3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正．

3、特别地：当为奇数时，；而当为偶数时，．

 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．

 正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”．

4、运算法则：

（1）同底数幂相乘．

同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．

用式子表示为：（都是正整数）．

（2）幂的乘方．

幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．

用式子表示为：（都是正整数）．

（3）积的乘方．

积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

用式子表示为：（是正整数）．

（4）同底数幂相除．

 同底数幂相除，底数不变，指数相减．

 用式子表示为：（，，都是正整数）．

（5）规定；（，是正整数）．

一、选择题

1. 化简，结果是（  ）

A．    B．    C．     D．

【难度】★

【答案】D

【解析】．

【总结】本题主要考查同底数幂的运算，运算中注意式子符号．

2. 下列各式计算过程正确的是（  ）

A．      B．

C．      D．

【难度】★

【答案】D

【解析】A的正确结果是，B的正确结果是，C的正确结果是．

【总结】本题主要考查幂的运算的基本法则，熟练掌握相关法则．

3. 下列计算：①；②；③；④；⑤；⑥；其中错误的有（   ）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个 

【难度】★

【答案】C

【解析】①②③本题主要考查幂的乘方运算，底数不变，指数相乘，①②错误；④⑤⑥主要考查积的乘方运算，底数相乘，指数不变，④⑤错误．

【总结】本题主要考查幂的运算法则，计算时需要注意法则的准确运用．

4. 下列计算中，运算错误的式子有（  ）

 （1）；（2）；（3）；（4）．

 A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

【难度】★

【答案】C

【解析】本题主要考查幂的运算和合并同类项相关知识，一定注意运算中是乘号还是加号，分清楚是幂的运算还是合并同类项计算，故（2）（3）错误．

【总结】本题主要考查幂的运算法则，计算时需要注意法则的准确运用．

5. 计算所得的结果是（   ）

A．－2    B．2    C．    D．

【难度】★★

【答案】D

【解析】原式=．

【总结】本题在计算时要注意“奇负偶正”的运用．

6. 计算的结果是（  ）

A．  B．  C．  D．

【难度】★★

【答案】B

【解析】．

【总结】本题在计算时要将底数全部化作相同，按照同底数幂的运算法则计算．

7. 当是正整数时，下列等式成立的有（  ）

 （1）  （2）  （3）  （4）

 A．4个  B．3个  C．2个  D．1个

【难度】★★

【答案】B

【解析】（1）（2）根据幂的乘方运算法则，正确；（3）正确，左侧式子确定为非负数；（4）              不能确定正负．

【总结】本题主要考查幂的乘方的运算及其逆用，注意法则的准确运用．

8. 计算：的结果为（   ）

  A．    B．    C．    D．

【难度】★★ 

【答案】D

【解析】

【总结】本题主要考查同底数幂和幂的乘方的运算法则．

9. 如果，则（  ）

 A．     B．    C．   D．

【难度】★★

【答案】B

【解析】，由已知，可知

【总结】本题主要考查同底数幂相除的运算，但是要注意39.48与0.3948的关系．

二、填空题

（1）=________；（2）=_________．

【难度】★

【答案】（1）；（2）0

【解析】（1）原式；（2）原式．

【总结】本题主要考查同底数幂的运算法则．

10. 计算：．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式=．

【总结】本题主要考查同底数幂运算法则的逆用，．

11. 计算：=_______________．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式=．

【总结】本题一方面考查同底数幂运算法则的运用，另一方面考查负底数幂的运算．

12. 比较大小：（1）；（2）．

【难度】★

【答案】（1）=；（2）>．

【解析】（1）因为，因此；

 （2）因为，因此．

【总结】本题主要考查负底数幂的运算，当底数为负数，但指数是偶数时，结果为正数；当              底数为负数，但指数是奇数时，结果为负数．

13. 计算：=_______________．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式=．

【总结】本题主要考查同底数幂相乘的运算法则，但是要注意先要将底数化为相同．

14. 长为米，宽是厘米，高是米的长方体的体积为____________．

【难度】★★

【答案】

【解析】，．

【总结】本题一方面考查长方体的体积公式，另一方面考查同底数幂相乘的法则．

15. 若，，则=_______________．

【难度】★★

【答案】360．

【解析】．

【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则．

16. 已知，，则=__________．

【难度】★★

【答案】72

【解析】．

【总结】本题主要考查同底数幂相乘和幂的乘方的运算法则，注意有时要对法则进行逆用．

17. 若，则=_______________．

【难度】★★

【答案】8

【解析】由，得，故．

【总结】本题一方面考查同底数幂的运算法则，另一方面考查整体代入思想的运用．

18. 设，，，比较，，的大小，用号连接：________________．

【难度】★★

【答案】．

【解析】因为，，，

 所以．

【总结】本题主要考查如何运用幂的乘方将三个数字化作指数相同的幂的运算．

19. 若，，则a、b的大小关系，用号连接：_________________． 

【难度】★★

【答案】．

【解析】因为，又，所以．

【总结】本题主要考查如何运用幂的乘方将三个数字化作指数相同的幂的运算．

20. 已知：，其中、、是自然数，则=_________________．

【难度】★★

【答案】1

【解析】因为，又、、是自然数，故可得 ，代入可得．

【总结】本题一方面考查幂的乘方的逆用，另一方面考查对1998的分解．

三、简答题

21. 计算：

（1）；     （2）；

（3）；     （4）．

【难度】★

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．

【解析】（1）原式；  （2）原式；

 （3）原式；      （4）原式．

【总结】本题主要考查乘方的概念．

22. 计算：

（1）；     （2）；

（3）；  （4）．

【难度】★

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【解析】（1）原式； （2）原式；

 （3）原式； 

 （4）原式．

【总结】本题主要考查幂的运算，并作合并同类项运算，注意运算符号．

23. 计算：

【难度】★

【答案】．

【解析】原式=．

【总结】本题主要考查同底数幂的运算法则和积的乘方的运算法则，注意符号的变化．

24. 计算：．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式=．

【总结】本题主要考查积的乘方和同底数幂相乘的运算法则，注意符号的变化．

25. 当是正整数时，求.的值．

【难度】★

【答案】0

【解析】因为是正整数，所以是偶数，是奇数，所以； 所以原式=．

【总结】本题主要考查负底数幂的乘方，注意指数是奇数和偶数时的区别．

26. 比较大小：，，，．

【难度】★

【答案】．

【解析】因为，所以；又因为，

 ，所以，所以．

【总结】本题主要考查幂的乘方，计算时先确定正负，再根据有理数大小比较法则判断大小．

27. 已知，，，，，试比较、、、、的大小关系．

【难度】★★

【答案】．

【解析】根据幂的乘方运算法则，可得；又， 可得；由此．

【总结】本题主要是考查幂的乘方的运算法则，底数不变，指数相乘．

28. 计算：（1）；     （2）．

【难度】★★

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）原式=；

（2）原式=．

【总结】本题主要考查同底数幂的乘法和积的乘方运算的逆用．

29. 计算：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式=．

【总结】本题主要考查同底数幂相乘的运算法则，注意将底数化作相同．

30. 已知：，，求．

【难度】★★

【答案】225．

【解析】．

【总结】本题主要考查幂的运算以及整体思想的应用．

31. 已知，，、是正整数且．求下列各式的值：（1）；（2）．

【难度】★★

【答案】（1）81；（2）216．

【解析】（1）； （2）．

【总结】本题主要考查幂的运算以及整体思想的应用．

32. 若，，求的值．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式=．

【总结】本题主要考查幂的乘方的逆用．

33. 已知，，，求的值．

【难度】★★

【答案】2304

【解析】．

【总结】本题主要考查幂的乘方的逆用以及整体思想的应用．

34. 已知，，求的值．

【难度】★★

【答案】10

【解析】因为，由，可得，所以．

【总结】本题主要考查同底数相乘法则的逆用．

35. 若，求的值．

【难度】★★

【答案】，

【解析】由，得；所以

 ．

【总结】本题主要考查幂的乘方以及整体思想的应用．

36. 已知：，，求．

【难度】★★

【答案】64．

【解析】由方程组，可解得，

 所以．

【总结】本题主要考查幂的乘方法则的运用．

37. 已知，求的值．

【难度】★★

【答案】20．

【解析】原式=．

【总结】本题主要考查幂的运算以及整体思想的应用．

38. 已知：，求．

【难度】★★

【答案】．

【解析】

【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则的逆用在解方程中的运用．

39. 解方程：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】

【总结】本题主要考查同底数幂相乘的法则的逆用在解方程中的运用．

40. 已知，求的值．

【难度】★★

【答案】．

【解析】因为，所以，则．

【总结】本题一方面考查同底数幂的相乘，另一方面考查积的乘方的逆用．

41. 如果比的次数大1，那么的值是多少？

【难度】★★

【答案】．

【解析】因为第一个单项式次数为，第二个单项式次数为

 ，依题意有，解得．

【总结】本题一方面考查单项式的次数的概念，另一方面考查同底数幂相乘的运算法则．

42. 比较，，，这个数的大小关系．

【难度】★★

【答案】．

【解析】因为，

 又，所以，即．

【总结】本题主要是利用幂的乘方运算法则，将这些幂化作指数相同，比较底数大小即可．