【期末满分冲刺】2022-2023学年-北师大版数学七年级上册——第一课《整式概念+代数式应用篇》期末复习精讲精练（教案）

第一课  整式概念+代数式应用篇

一、“双基目标”

①代数式概念

②理解单项式及次数；

③理解多项式的项、次数、最高次项；

④理解整式以及其它相关概念.

⑤理解“同类项”概念.

二、能力目标

体会不同情境中的建模思想，并能运用“数→式”建模思想分析、解决问题。

①列代数式，并理解其规范；

②运用代数式的相关知识解决一些常见应用问题

1、看课件，复习知识体系和基本方法；

2、学习例题，完成变式练习；

3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。

代数式的概念

1、定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，像a+b,x的二次方-1，s/t,ab ,a等都是代数式。

【说明】(1)单独一个数或一个字母也是代数式，如-3，a.

{2}代数式中只能有运算符号，不应含有“=”或不等号‘‘>”“<”“≧”“≦”。也就是说，等式或不等式不是代数式，但代数式中可以含有括号。

（3）代数式中的字母表示的数必须使这个代数式有意义，即在实际问题中，字母表示的数要符合实际问题。

2.如何正确书写代数式

（1）在代数式中的出现的乘号，通常以“·”表示或者省略不写，如v×t应写作v·t或vt;

 (2) 数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如a×5应写作5·a或5a;

 (3) 数字与数字相乘，一般仍用“×”号；

（4）带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘，如ab ×2 1/2应写作5/2·ab或5/2ab；

 (5) 在代数式出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如ab ÷5应写作ab/5;

 (6) 在一些实际问题中，表示某一数量的代数式往往是有单位名称的.如果代数式是积或商的形式,就将单位名称写在代数式后面即可;如果代数式是和或差的形式,那么必须把代数式括起来,再将单位名称写在后面,如s千米,（10x＋5y）元.

【例1】 指出下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？

特别注意：不论单项式还是多项式，分母中都不能含有字母。

【例2】

1. 单项式m2n2的系数是_____,次数是_____, m2n2是____次单项式.

2.如果-5xym-1为4次单项式,则m=____.

3.若-ax2yb+1是关于x、y的五次单项式，且系数为-，则a=____,b=____.

4、单项式－        的系数与次数分别是（      ）

A.－2, 6          B.2, 7    C.－, 6          D.－ , 7

【答案】1、  1 ；4  ； 四 ；

        2、4  ；

3、a=;  b=2;  

4、D

【例3】

1. 多项式3m3-2m-5+m2的常数项是____,一次项是_____, 二次项的系数是_____.

2.多项式－3a2b3 +5a2b2－4ab－2 共有几项，多项式的次数是多少？第三项是什么，它的系数和次数分别是多少？

3、如果多项式

求a、b的值.

【解析】1、 -5   ； -2m   ； 1  ；

2、一共4项；最高次数是5次；第三项是-4ab,系数是-4，次数为2次.

3、由题意得：a-1=0, b+3=0 所以a=1,   b=-3.

【例4】

1、如果3x2my3与 x2yn+1是同类项，则m，n的值为（      ）           

A. m=1，n=2                        B. m=﹣1，n=3                

C. m=﹣1，n=﹣2                 D. m=1，n=﹣3

2.若单项式-x2m-3y4  与 3x5yn+2 的和仍是单项式，则 mn=           .

3、若3xm+5y2 与 23x8yn 的差是一个单项式，则代数式-mn的值为（     ）           

A. -8           B. 9            C. -9            D. -6

【答案】1、A；

2、mn=8；

3、C

【例5】一个三位数，个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，则这个三位数是（    ）           

A. abc             B. 100c+10b+a            C. 100a＋10b＋c       D. a＋b＋c

【答案】C

【例6】用式子表示十位上的数是a，个位上的数是b的两位数，再把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，计算所得的数与原数的和，这个数能被11整除吗？

【解析】解：原数为10a+b，新数为a+10b，

和为（10a+b）+（a+10b）=10a+b+a+10b=11a+11b

   =11（a+b）.

所以这个数能被11整除.

【跟踪练习】

 一个三位数x的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，得到一个新数y，试问x－y能被9整除吗？说明理由。

【解析】解：原数：100c+10b+a
新数：100a+10b+c
差：（100c+10b+a）－（100a+10b+c）
＝99c-99a
即差为原数的百位数与个位数差的99倍.

【例7】已知m，n互为相反数，p，q互为倒数，x的绝对值为2021，求

【解析】解：∵m、n互为相反数，p、q互为倒数，x的绝对值为2021，

∴m+n=0，pq=1，x=2021或-2021，

则原式=0 -2021×1-2021=-4042或原式= 0-2021×1+2021=0．

故答案为：-4042或0．

【例8】（数值转换机问题） 轩轩在数学学习中遇到一个有神奇魔力的“数值转换机”，按如图所示的程序计算．若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为41，则满足条件的x值最多有（　　）个．

A．1     B．2 C．3       D．4

【解析】解：由题意可得，

当输入x时，3x﹣1＝41，解得：x＝14，

即输入x＝14，输出结果为41；

当输入x满足3x﹣1＝14时，解得x＝5，

即输入x＝5，结果为14，再输入14可得结果为41，；

同理：

当输入9x﹣4时，3（9x﹣4）﹣1＝41，即：27x﹣13＝41，解得：x＝2，

当输入27x﹣13时，3（27x﹣13）﹣1＝41，即：81x﹣40＝41，解得：x＝1，

∵x为正整数，

∴x的值可取1或2或5或14，

故选：D．

【变式训练】乐乐按如图所示的程序进行计算，如果输入x的值是正整数，输出结果是214，那么所有满足条件的x的值为______．

【解析】解：当4x﹣2=214

解得x=54，

当4x﹣2=54时，

x=14；

当4x﹣2=14时，

x=4．

故答案为：54或14或4．

【例8】（分段收费问题）某市为鼓励市民节约用水，特制定如下的收费标准：若每月每户用水不超过10立方米，则按3元/立方米的水价收费，并加收0.2元/立方米的污水处理费；若超过10立方米，则超过的部分按4元/立方米的水价收费，污水处理费不变 ．   

（1）若小华家5月份的用水量为8立方米，那么小华家5月份的水费为      元；   

（2）若小华家6月份的用水量为15立方米，那么小华家6月份的水费为      元；   

（3）若小华家某个月的用水量为a（a＞10）立方米，求小华家这个月的水费（用含a的式子表示）．

【解析】解：（1）25.6；（2）53；

（3）解：3×10+4（a－10）+0.2a=30+4a－40+0.2a=4.2a－10．

∴小华家这个月的水费为（4.2a－10）元．

【例9】1.滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 

（1）若乘坐滴滴快车，行车里程为8公里，行车时间为15分钟，则需付车费      元．   

（2）若乘坐滴滴快车，行车里程为20公里，行车时间为30分钟，则需付车费      元．   

（3）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则小明应付车费多少元(用含a、b的代数式表示，并化简．)   

【解析】解：（1）14.9
（2）39
（3）解：当 时，小明应付车费：（1.3a+0.3b）元  

当 时，小明应付车费：1.3a+0.3b+0.4(a-`10)=(1.7a+0.3b-4)元

【例10】前进服装厂生产一种夹克和 恤，夹克每件定价200元， 恤每件定价100元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 

①买一件夹克送一件 恤；

②夹克和 恤都按定价的80%付款．

现某客户要到该服装厂购买夹克30件， 恤 件 ．

（1）若该客户按方案①购买，夹克和 恤共需付款      元（用含 的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克和 恤共需付款      元（用含 的式子表示）；   

（2）若 ，按方案①购买夹克和 恤共需付款多少元？按方案②购买夹克和 恤共需付款多少元，哪一种方案合算？   

（3）若两种优惠方案可同时使用，当 时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由．   

【解析】解：（1）(100x+3000)；(80x+4800)
（2）当x=40时，按方案①购买所需费用：100x+3000=7000（元）；

当x=40时，按方案②购买所需费用：80x+4800=8000（元），

因为7000＜8000，

所以按方案①购买较为合算；
（3）先按方案①购买夹克30件，再按方案②购买T恤10件更为省钱．理由如下：

先按方案①购买夹克30件所需费用=6000（元），

按方案②购买T恤10件的费用=100×80%×10=800（元），

所以总费用为6000+800=6800（元），小于7000元，

所以此种购买方案更为省钱．

【例11】某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价200元，茶碗每只定价20元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一套茶具送一只茶碗；方案二，茶具和茶碗按定价的九五折付款，现在某客户要到商场购买茶具30套，茶碗x只（x＞30）．   

（1）若客户按方案一，需要付款      元；若客户按方案二，需要付款      元．（用含x的代数式表示）   

（2）若x＝40，试通过计算说明此时哪种购买方案比较合适？   

（3）当x＝40，能否找到一种更为省钱的方案，如果能，写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能，说明理由．   

【解析】解：（1）（20x+5400）；（19x+5700）
（2）解：当x＝40时，

方案一：20x+5400＝800+5400＝6200，

方案二：19x+5700＝760+5700＝6460，

因为6200＜6460，

所以方案一更合适；
（3）解：可以有更合适的购买方式．

按方案一购买30套茶具赠30只茶碗，需要200×30＝6000（元），

按方案二购买剩余10只茶碗，需要10×20×0.95＝190（元），

共计6000+190＝6190（元）．

故此方案应付钱数为6190元．

【例13】如图，在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图③的小长方形后得图①、图②，已知大长方形的长为2a，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（    ）（用a的代数式表示）

A. ﹣a                                      B. a                     C. ﹣ a                                      D.  a

【答案】 A  

【考点】列式表示数量关系，整式的混合运算   

【解析】【解答】解：设长方形③的长为x，宽为y，
∴大长方形的宽=3y，大长方形长=2a=x+2y，x=2y，
∴y=a，
图①阴影部分周长=2y+2×2a=2y+4a，
图②阴影部分周长=2(2a-x+3y)+2y，
图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差= 2y+4a-2(2a-x+3y)-2y
=2y+4a-4a+2x-6y-2y
=2x-6y
=2(2a-2y)-6y
=4a-10y
=4a-5a
=-a.
故答案为：A.
【例14】如图 ，是由两个正方形组成的图形． 

（1）用图中所给的数字和字母列代数式表示出阴影部分的面积S．

     （结果要求化简）   

（2）当a＝4时，求阴影部分的面积． 

【解析】（1）解： ， 

，

（2）解：当a＝4时， ．  

【考点】列式表示数量关系，代数式求值   

【解析】【分析】（1）求出    ，  即可作答；
（2）将a=4代入计算求解即可。