【期末满分冲刺】2022-2023学年-北师大版数学七年级上册——《一元一次方程》期末复习精讲精练（教案）

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一元一次方程精讲

一、 双基目标
1、了解一元一次方程的意义及相关概念；
2、熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，各类解法；
3、熟练掌握各类常见的一元一次方程的应用问题解法，体会方程解实际问题的重要意义——建立方程模型解决问题.
二、能力目标
通过本章内容的系统复习与训练，进一步让学生体会“化归思想”解方程，体会利用一元一次方程模型解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，树立模型意识并提高分析问题、解决问题的能力。

1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
本章知识结构梳理





【例1】下列各组中是一元一次方程的是（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】
A.·含有两个未知数和y，∴是二元方程，不是一元一次方程;
B.∵.2x²的次数是2，∴是二次方程，不是一元一次方程;
C.一方程可化为2x-7=0，只含有一个未知数，且.的次数是1，∴是一元一次方程;
D. 是分式，不是整式，
∴是分式方程，不是整式方程，不是一元一次方程，故选C。

【例2】若关于x的方程mx|m|﹣m+3＝0是一元一次方程，则这个方程的解是（ ）
A. x＝﹣2 B. x＝4 C. x＝﹣2或x＝4 D. x＝2
【答案】 C
【考点】一元一次方程的定义
【解析】【解答】解：由题意得：m≠0，|m|＝1，
∴m＝±1，
故方程可化为：x﹣1+3＝0或﹣x+1+3＝0，
解得：x＝﹣2或x＝4．
故答案为：C．
【分析】先求出m＝±1，再求出x﹣1+3＝0或﹣x+1+3＝0，最后解方程求解即可
【例3】下列结论错误的是（  ）
A. 若a=b，则 am2+2bm2+2                                 
 B. 若 am-1=bm-1 ，则a=b
C. 若x=3，则x2=3x                                               
 D. 若ax+2=bx+2，则a=b
【答案】 D
【考点】等式的性质
【解析】【解答】解：A.∵m2+2≠0，∴等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍然成立，故正确，A不符合题意；
B.∵m-1≠0，∴等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立，故正确，B不符合题意；
C.∵x=3，∴x2=3x，故正确，C不符合题意；
D.当x=0时，ax+2=bx+2也成立，故错误，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据等式的性质可判断A、B正确；将x=3代入可判断C正确，当x=0时可判断D错误.
【例4】已知一元一次方程 3(2-x)2-3=2x-1 ，则下列解方程的过程正确的是（  ）
A. 去分母，得 3(2-x)-3=2(2x-1)           
B. 去分母，得 3(2-x)-6=2x-1
C. 去分母，去括号，得 6-3x-6=4x-2      
 D. 去分母，去括号，得 6+3x-6=2x+1
【答案】 C
【考点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】原式等号左右同乘2去分母，得 3(2-x)-6=4x-2 ，所以A，B不符合题意；原式去分母去括号后应是 6-3x-6=4x-1 ，所以D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】先找公分母，再去分母，然后去括号即可。
【例5】下列解方程去分母正确的是（ ）
A.由x/3-1=1−x/2,得2x-1=3(1-x)
B.由x−2/2-3x−2/4=-1,得2(x-2)-3x-2=-4
C.由y+1/2=y/3-3y−1/5,得3(y+1)=2y-(3y-1)
D.由4x/5−1=x+4/3,得12x-5=5x+20
【答案】C
解析
本题主要考查一元一次方程的解法。
A项，等号两边同乘以6得2x-6=3（1-x），故A项错误。
B项，等号两边同乘以4得2（x-2）-（3x-2）= -4，故B项错误。
C项，等号两边同乘以6得
3（y＋1）= 2y-（3g-1），故C项正确。
D项，等号两边同乘以15得
12x-15=5x＋ 20，故D项错误。故本题正确答案为C。
【例6】下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程： x2-x-16=1 ．
解：……，得 3x-(x-1)=6 ．    ……第一步
去括号，得 3x-x+1=6 ．    ……第二步
移项，得 3x-x=6+1 ．    ……第三步
合并同类项，得 2x=7 ．    ……第四步
方程两边同除以2，得 x=72 ．    ……第五步
填空：
（1）以上求解步骤中，第一步进行的是       ， 这一步的依据是      ；
（2）以上求解步骤中，第      步开始出现不符合题意，具体的不符合题意是      ；
（3）该方程正确的解为       ．
【答案】 （1）去分母；等式的基本性质2
（2）三；移项时没有变号
（3）x= 52
【考点】利用等式的性质解一元一次方程，解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的基本性质2；
（2）以上求解步骤中，第三步开始出现不符合题意，具体的不符合题意是移项时没有变号；
（3）第三步应该为3x-x=6-1
∴方程正确的解为x= 52 ．
【分析】利用等式的性质解一元一次方程的步骤作答即可，注意移项要变号。
【例7】






【答案】C
【分析】
根据解一元一次方程的一般步骤判断即可．
【详解】
解：A、等号右边漏乘分母的最小公倍数6，故错误；
B、去括号得2x−1＋3x＝5，故错误；
C、正确；
D、系数化为1得，故错误；故选C.
【例8】关于x的方程2x+a=1与方程3x-1=2x+2的解相同，则a的值为（ ）
A. -5 B. -3 C. 3 D. 5
【解析】3x-1=2x+2
解得：x=3，
将x=3代入方程可得关于a的一元一次方程：6+a=1，
解得：a=-5．
故选C．
根据方程解的定义，先求出方程3x-1=2x+2的解，代入可求得a的值．
本题考点：同解方程．
考点点评：已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解
【例9】已知关于x的方程5x+3k=24与5x+3=0的解相同，则k的值为　 　．
解：∵5x+3=0，
∴5x=-3，
∵方程5x+3k=24与5x+3=0的解相同，
∴-3+3k=34，
解得k=9，
故答案为9．
【例10】如果方程-6x=-3与关于x的方程7x-2k=4的解互为倒数，则k的值为（ ）
A．5 B．-5 C． D．
【详解】
解：∵-6x=-3，
∴x= ，
∵方程-6x=-3与关于x的方程7x-2k=4的解互为倒数，
∴方程7x-2k=4的解为2，
∴14-2k=4,
移项，得：-2k=4-14，
合并同类项，得：-2k=-10，
系数化为1，得：k=5．
故选A．
【例11】.解方程：
（1）2x-23(x+3)=-x+3 ；
（2）3y-14-1=5y-76
【答案】 （1）解：去分母得：6x-2（x+3）=-3x+9，
去括号得：6x-2x-6=-3x+9，
移项合并得：7x=15，
解得：x= 157

（2）解：去分母得：3（3y-1）-12=2（5y-7），
去括号得：9y-3-12=10y-14，
解得：y=-1
【考点】解含括号的一元一次方程，解含分数系数的一元一次方程
（3）
方程整理得：﹣＝1，
去分母得：30y﹣119+140y＝21，
移项合并得：170y＝140，
解得：y＝．
（4）



．
【例12】现规定一种运算法则※，对于任意两个有理数a，b，有a※b=2a-2b ，例如 1※3=2×1-1×3=-1。
（1）计算 -2※5 ；
（2）若 (x-1)※4=12※x ，求x的值．
【答案】 （1）解： -2※5=2×(-2)-(-2)×5=-4+10=6
（2）解：∵ (x-1)※4=12※x
∴ 2(x-1)-4(x-1)=2×12-12x
解得： x=23 ．
【考点】定义新运算
【解析】【分析】本题根据新定义运算法则代入即可求解
【变式训练】将方程 x3-1-x2=1 去分母，结果正确的是（   ）
A.  2x-3(1-x)=6           B. 2x-3(x-1)=6           C. 2x-3(x+1)=6          
 D. 2x-3(1-x)=1
【答案】 A
【考点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】 x3-1-x2=1 ，
方程两边都乘以6得 2x-3(1-x)=6 ．
故答案为：A．

【分析】方程两边同时乘以6，即可得到答案。
【例13】某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是（ ）
A. 160元 B. 180元 C. 200元 D. 220元
【分析】设这种衬衫的原价是x元，则进价为（0.6x+40）元，或（0.9x-20）元，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子应该相等，从而列出方程，求解即可.
【答案】 C
【考点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设这种衬衫的原价是x元，
依题意，得：0.6x+40=0.9x-20，
解得：x=200.
故答案为：C.
【例14】某种商品的进价为120元，若按标价九折降价出售，仍可获利20%，该商品的标价为（ ）
A. 140元 B. 150元 C. 160元 D. 170元
【分析】本题的关键是熟记公式：标价=进价+进价×利润率.
【答案】 C
【考点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】设该商品的标价为x元，
0.9x＝120×（1+20%），
解得：x＝160，
答：该商品的标价为160元，
故答案为：C．
【例15】某球队参加比赛，开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该队获胜的场数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】 C
【考点】一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】解：设该队获胜的场数为 x场，则根据比赛规则可得，
3x+(11-x)=23，
解得 x=6
故答案为：C．
【例16】我们知道，无限循环小数都可以转化为分数.例如：将 0.6 转化为分数时，可设 x=0.6 ，则 10x=6.6 ， 10x=6+0.6 ， 10x=6+x ，解得 x=23 ，即 0.6=23 .仿此方法，将 0.5 化成分数是________，将 0.45 化成分数是________.
【答案】 59；511
【考点】定义新运算，一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设x= 0.5 ，则 x=0．5555… ①，
根据等式性质得： 10x=5．5555… ②，
由②﹣①得： 10x-x=5．555…-0．5555…
即：10x﹣x=5，故9x=5
解方程得：x= 59
∴将 0.5 化成分数是 59 ；
设y= 0.45 ，则 y=0．4545… ③，
根据等式性质得： 100y=45．4545… ，
由④﹣③得： 100y-y=45．4545…-0．4545… ，
即：100y﹣y=45，
∴99y=45
解方程得：y= 4599=511 ．
∴将 0.45 化成分数是： 511
故答案为： 59 ； 511
【分析】设x= 0.5 ，则 x=0．5555… ①，根据等式性质得： 10x=5．5555… ②，再由②﹣①得方程10x﹣x=5，解方程即可；设y= 0.45 ，则 y=0．4545… ③，根据等式性质得： 100y=45．4545… ④，再由④﹣③得方程100y﹣y=45，解方程即可．

【例17】一个两位数，十位上的数比个位上的数的3倍大1，个位上的数与十位上的数的和等于9，这个两位数是（ ）
A. 54 B. 72 C. 45 D. 62
【答案】 B
【考点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】设个位上的数为x,则十位数字为 (3x+1)，由题意得：
x+(3x+1)=9，
解得：x=2，
十位数字为：6+1=7，
这个两位数是：72.
故答案为：B.
【例18】 新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品，某口罩厂有30名工人，每人每天可以生产900个口罩面或1200个口罩耳绳．一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（ ）
A. 2×1200（30﹣x）＝900x B. 1200（15﹣x）＝900x
C. 1200（30﹣x）＝900x D. 1200（30﹣x）＝2×900x
【答案】 D
【考点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】有x名工人生产口罩面，则有（30-x）人生产耳绳，
由题意可得： 1200(30-x)=2×900x ．
故答案为：D．

【分析】设有x名工人生产口罩面，则有（30-x）人生产耳绳，根据“为使每天生产的口罩刚好配套”，列出方程1200(30-x)=2×900x求解即可。
【例19】2020年武汉抗击疫情期间，全国各地加班加点为前线医护人员提供防护面罩和防护服.已知某车间有40名工人，每人每天生产防护服160件或防护面罩240个，一件防护服和一个防护面罩配成一套，若分配x名工人生产防护服，其他工人生产防护面罩，恰好使每天生产的防护服和防护面罩配套，则所列方程是( )

【答案】A
【分析】
若分配x名工人生产防护服，根据“某车间有40名工人，每人每天生产防护服160件或防护面罩240个，一件防护服和一个防护面罩配成一套”列出方程．
【详解】
解：设分配x名工人生产防护服，则分配（40−x）人生产防护面罩，
根据题意，得160x＝240（40−x）．
故选：A．
【例20】书架上，第一层的数量是第二层书的数量的 2 倍，从第一层抽 8 本到第二层，这时第一层剩下的数量恰比第二层的一半多 3 本，设第二层原有 x 本，则可列方程（  ）
A.  2x=12x+3            B. 2x=12(x+8)+3          
 C. 2x-8=12x+3          D. 2x-8=12(x+8)+3
【答案】 D
【考点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】由题意得，第一层原有的数量为2x本
因此， 2x-8=12(x+8)+3
故答案为：D．

【分析】根据题意可得出第一层书的数量为2x本，抽取后，第一层剩下的数量为（2x-8）本，第二层书的数量为（x+8），根据“第一层剩下的数量恰比第二层的一半多 3 本”列出方程即可。
【例21】 随着天气寒冷，为预防新冠病毒卷土重来，某社区组织志愿者到各个街道进行“少出门，少聚集”的安全知识宣传．原计划在甲街道安排18个志愿者，在乙街道安排11个志愿者，但到现场后发现任务较重，决定增派16名志愿者去支援两个街道，增派后甲街道的志愿者人数是乙街道志愿者人数的2倍，请问新增派的志愿者中有多少名去支援甲街道？
【答案】12
【分析】
设新增派的志愿者中有x名去支援甲街道，则有16-x名去支援乙街道．再根据题意可列出关于x的一元一次方程，解出x即可．
【详解】
设新增派的志愿者中有x名去支援甲街道，则有(16-x)名去支援乙街道．
根据题意可列方程：18+x=2(11+16-x)，
解得：x=12．
故新增派的志愿者中有12名去支援甲街道．
【例22】.某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；若每人做4个，则将比计划少做15个，现有下列四个方程：① 5m+9=4m-15 ；② n-95=n+154 ；③ n+95=n-154 ；④ 5m-9=4m+15 ．其中正确的是（  ）
A. ①②                  B. ②④                     C. ②③                    D. ③④
【答案】 D
【考点】根据数量关系列出方程
【解析】【解答】解：由某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；
可得：中国结的数量为： (5m-9) 个，
若每人做4个，则将比计划少做15个，
可得：中国结的数量为： (4m+15) 个，∴5m-9=4m+15
 故④符合题意，①不符合题意；
由某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；
可得：某小组有 n+95 人，
若每人做4个，则将比计划少做15个，
可得：某小组有 n-154 人，
∴n+95=n-154,  故②不符合题意，③符合题意；
故答案为： D.
【分析】根据若每人做5个，则可比计划多做9个；若每人做4个，则将比计划少做15个， 列方程求解即可。
【例23】我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个有趣的数学问题“今有五等诸侯，共分橘子 60 颗，人别加三颗，问五人各得几何？”题目大意是：诸侯五人，共同分 60个橘子，若后面的每个人总比他前一个人多分 3 个，问每个人各分得多少个橘子？若设中间的那个人分得x个橘子，依题意可列方程为 ．
【答案】 (x-6)+(x-3)+x+(x+3)+(x+6)=60 ，或 5x=60
【考点】根据数量关系列出方程
【解析】【解答】设中间的那个人分得 x 个橘子，
根据题意得 (x-6)+(x-3)+x+(x+3)+(x+6)=60 或 5x=60 ，
故答案为： (x-6)+(x-3)+x+(x+3)+(x+6)=60 ，或 5x=60 ．
【分析】根据诸侯五人，共同分 60 个橘子和 后面的每个人总比他前一个人多分 3 个， 列方程求解即可。
【例24】中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（  ）
A. 4(x-1)=2x+8          B. 4(x+1)=2x-8        C. x4+1=x+82          D. x4-1=x-82
【答案】 A
【考点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设有x辆车，
依题意，得：4（x-1）=2x+8．
故答案为：A．
【分析】根据今有若干人乘车，每4人乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘， 列方程求解即可。
【例25】A、B两地相距450千米，甲、乙两分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值是（ ）
A．2或2.5 B．2或10 C．10或12.5 D．2或12.5
【答案】A
【分析】
应该有两种情况，第一次应该还没相遇时相距50千米，第二次应该是相遇后交错离开相距50千米，根据路程=速度×时间，可列方程求解．
【详解】
解：设经过t小时两车相距50千米，根据题意，得120t+80t=450-50，或120t+80t=450+50，解得t=2或t=2.5．答：经过2小时或2.5小时相距50千米．故选：A．
【例26】儿子今年12岁，父亲今年39岁，（　　）父亲的年龄是儿子的年龄的2倍．
A．5年前 B．12年后 C．15年后 D．9年前
【答案】C
【分析】
设x年后父亲的年龄是儿子的年龄的2倍，然后根据题意给出的等量关系即可求出答案．
【详解】
解：设x年后父亲的年龄是儿子的年龄的2倍，
∴39+x=2（12+x），
解得：x=15，
故选：C．
【例27】这个星期周末，七年级准备组织观看电影《我和我的祖国》，由各班班长负责买票，每班人数都多于50人，票价每张20元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：50人以上的团体票有两个优惠方案可选择：
方案一：全体人员可打8折；方案2：若打9折，有7人可以免票．
（Ⅰ）2班有61名学生，他该选择哪个方案？
（Ⅱ）一班班长思考一会儿说我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，问你知道一班有几人吗？
【答案】 解：（Ⅰ）∵方案一：61×20×0.8＝976（元），
方案二：（61﹣7）×0.9×20＝972（元），
∴选择方案二．
（Ⅱ）假设1班有x人，根据题意得出：
x×20×0.8＝（x﹣7）×0.9×20，
解得：x＝63，
答：1班有63人．
【例28】某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一：
方式A：月租费：40元，上网费：1元/小时；方式B：上网费：3元/小时；
设某用户每月上网时间为x小时
（1）用含x 的式子分别写出两种收费方式下，该用户应付的上网费用；
方式A应付费用为： ;
方式B应付费用为： ;
（2）若该用户计划1个月上网50小时，应选用哪种上网方式比较划算？
（3）该用户每月上网多少小时的时候，两种上网方式的费用相等？
【答案】 （1）（40+x）；3x（2）解：当x=50时，方式A应付费用：40+50=90（元）
方式B应付费用：3×50=150（元）
∵90＜150
∴当上网50小时时，选择方式A 比较划算
（3）解：根据题意 ，解得：
答：当上网时间是20小时的时候，两种上网方式的费用相等
【例29】天河食品公司收购了200吨新鲜柿子，保质期15天，该公司有两种加工技术，一种是加工为普通柿饼，另一种是加工为特级霜降柿饼，也可以不需加工直接销售．相关信息见表：
品种
每天可加工数量（吨）
每吨获利（元）
新鲜柿子
不需加工
1000元
普通柿饼
16吨
5000元
特级霜降柿饼
8吨
8000元
由于生产条件的限制，两种加工方式不能同时进行，为此公司研制了两种可行方案：
方案1：尽可能多地生产为特级霜降柿饼，没来得及加工的新鲜柿子，在市场上直接销售；
方案2：先将部分新鲜柿子加工为特级霜降柿饼，再将剩余的新鲜柿子加工为普通柿饼，恰好15天完成．
请问：哪种方案获利更多？获利多少元？
【答案】 解：方案一：15×8×8000+（200﹣15×8）×1000＝1040000（元），
∴尽可能多地生产为特级霜降柿饼，没来得及加工的新鲜柿子，在市场上直接销售，可获利润1040000元；
方案二：设加工为特级霜降柿饼x吨，则加工为普通柿饼（200﹣x）吨，
由题意可得： x8+200-x16=15 ，
解得x＝40，
∴200﹣x＝160，
∴利润为：40×8000+160×5000＝1120000（元）
∴该公司可以加工为特级霜降柿饼40吨，加工为普通柿饼160吨，可获得利润为1120000元．
∵1120000＞1040000，
∴方案二获利更多，获利1120000元
【考点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】根据利润＝单价×数量可直接求出方案一所获利润；根据题意列方程求出方案二加工为特级霜降柿饼的吨数和加工为普通柿饼的吨数，然后根据利润＝单价×数量求出方案二所获利润，进行比较即可判断．
【例30】近期电影《我和我的家乡》受到广大青少年的喜爱，某校七年级1班2班的几名同学请他们的家长在网上买票，家长了解到某电影院的活动，设购买电影票的张数为n．

家长沟通后决定两个班的同学在期中考试结束后去观看．两个班共有102人，其中1班人数多于40不足50人．经过估算，如果两个班都以班为单位购买，则一共应付3815元．
（1）求两个班各有多少名学生？
（2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以节省多少钱？
（3）如果七年级1班同学作为一个团体购票，你认为如何购票才最省钱？可以节省多少钱？
【详解】
（1）设1班的人数为x人，则2班的人数为(102-x)人，
∵1班人数多于40不足50人，
∴40＜x＜50,52＜102-x＜62
由题意得：40x+35(102-x)=3815，
解得x=49，
则102-x=53，
答：1班有49名学生，2班有53名学生；
（2）团体购票所需的钱数为30×102=3060（元），则3815-3060=775（元），
答：可以节省755元；
（3）1班购买51张门票最省钱，理由如下：
购买49张门票所需费用为40×49=1960（元），
购买51张门票所需费用为35×51=1785（元），
因为1960＞1785，
所以购买51张门票最省钱，节省费用为1960-1785=175（元），
答：购买51张门票最省钱，可以节省175元．