沪教版七年级第一学期同步第13讲：因式分解综合 （教师版+学生版）

本部分内容包括因式分解的有关概念，因式分解的常用基本方法．因式分解在代数学习中具有基础作用，它在代数的恒等变换，分式的通分，约分以及解方程方面都起着重要作用．通过学习，可以培养学生的观察、分析、运算能力．

一、因式分解基本概念

1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也

可称为将这个多项式分解因式．

2、因式分解与整式乘法互为逆变形：

式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．

二、四种基本方法：

1、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面，

将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法．

提取公因式的步骤：

（1）找出多项式各项的公因式．

（2）提出公因式．

（3）写成与的乘积形式．

提取公因式法的几个技巧和注意点：

（1）一次提净．

（2）视“多”为“一”．

（3）切勿漏1．

（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变．

（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解．

（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．

2、逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法．

（1）平方差公式：

 由平方差公式反过来可得：，这个公式叫做因式分解的平方差公式；

（2）完全平方公式：

 由完全平方公式反过来可得：和，这两个公式叫做因式分解的完全平方公式．

3、十字相乘法：如果二次三项式中的常数项能分解成两个因式、的积，而且一次项系数又恰好是，那么就可以进行如下的分解因式，即：要将二次三项式分解因式，就需要找到两个数、，使它们的积等于常数项，和等于一次项系数, 满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：．

 这种利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．

4、分组分解法：

将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．

1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（  ）

A、    B、

C、   D、

2. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（  ）

A、     B、

C、     D、

3. 下列各式的分解因式：

①       ；②；

③；④其中正确的个数有（  ）

A、0     B、1     C、2     D、3

4. 多项式各项的公因式是（  ）

 A、    B、    C、    D、

5. 已知多项式分解因式为，则、的值为（  ）

A、  B、  C、  D、

6. 下列多项式中不能用平方差公式分解的是（  ）

 A、    B、   C、  D、

7. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（  ）

A、     B、
C、       D、

8. 已知正方形的面积是（），则正方形的边长是（  ）

A、  B、   C、   D、

9. 分解因式得（  ）

 A、       B、 

 C、      D、

10. 一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（  ）

 A、    B、    C、    D、

11. 若多项式能分解成，那么=（  ）

A、2     B、4     C、6     D、8

12. 如图①，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（                            ）

A、    

B、

C、      

D、

13. 直接写出因式分解的结果：

（1）_____________；（2）_____________．

14. 填上适当的式子，使等式成立：．
15. 的公因式是_____________．
16. 利用分解因式计算：

（1）=_____________；

（2）=_____________；

（3）=_____________．

17. 利用因式分解简便计算：___________．
18. 若，则=________，=________．

19. 分解因式：=________________．

20. 已知：若，则的值为________．

21. 计算的值为________．

22. 如果已知，，则的值为________．
23. 若，则=________，=________．
24. 若时，=________．

25. 若=，则________，________．

26. 已知两个正方形的周长差是96cm，面积差是960，则这两个正方形的边长分别是________________cm．
27. 已知正方形的面积是（），利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式________________．

28. 甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为．乙看错了，分解结果为，则=________，=________．

29. 在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？

（1）；     （2）；

（3）；    （4）．

30. 把下列各式因式分解：

（1）； （2）； （3）；

（4）；   （5）；   （6）．

31. 把下列各式因式分解：

（1）；         （2）；

（3）；      （4）．

32. 把下列各式因式分解：

（1）；          （2）；

（3）；      （4）．

33. 把下列各式因式分解：

（1）；         （2）；

（3）；       （4）．

34. 把下列各式分解因式：

（1）；        （2）；

（3）；      （4）．

35. 把下列各式因式分解：

（1）；      （2）；

（3）；       （4）．

36. 把下列各式因式分解：

（1）；       （2）；

（3）；     （4）．

37. 运有简便的方法计算：．

38. 利用简便方法计算下列各题：

（1）；      （2）．

39. 利用分解因式进行计算：．

40. 已知：，求的值．

41. 已知：，，求的值．

42. 已知：，求的值．

43. 能被198整除吗？能被200整除吗？说明你的理由．

44. 说明：当为正整数时，的值必为6的倍数．