【期末满分冲刺】2022-2023学年-北师大版数学七年级上册——《有理数及其运算》期末复习精讲精练（教案）

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有理数及其运算精讲

一、 双基目标
1、深刻理解有理数相关概念及其代数、几何意义；
2、理解并熟练掌握有理数的“＋、－、×、
÷、乘方”五类运算法则及运算方法；
3、熟练掌握有理数运算的各类应用.
二、能力目标
建立在有理数分类、数轴及相关概念基础上的有理数运算在整个初中阶段极其重要，运算能力强弱直接关乎后续八九年级的数学学习成绩的优劣，以及学生数学能力的发展潜力。所以，针对其中的运算能力、分类思想、数学结合思想等的培养和强化尤为关键！

1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。



本章知识结构梳理



【例1】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．大意是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升2m记作+2 m，则下降1m记作 m．
【例2】几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：
气体
氧气
氢气
氮气
氦气
液化温度℃
－183
－253
－195.8
－268
其中液化温度最高的气体是（  ）
A. 氦气                                     B. 氮气                                     C. 氢气                                     D. 氧气
【变式训练1】检测4个排球，其中超过标准的克数记为正数，低于标准的克数记为负数，从轻重的角度来看，最接近标准的球是（    ）
A.                B.                C.                D. 

【变式训练2】下列判断错误的是（  ）
A. 3＞﹣5                      B. ﹣3＞﹣5                      C. ﹣2.5＞﹣|﹣2.25|                      D. -35 ＞ -34

【变式训练3】如图，数轴上点A，B分别对应有理数a，b，则下列结论正确的是（ ）
A. a＞b B. |a|＞|b| C. a+b＞0 D. ﹣a＞b


【例3】下列说法中，错误的是（ ）
A. 数轴上表示 -3的点距离原点3个单位长度
B. 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
C. 有理数0在数轴上表示的点是原点
D. 表示十万分之一的点在数轴上不存在

【例4】在数轴上，点 A 表示 -2 ，从点A 出发，沿数轴移动5个单位长度到达点B，则点B表示的数是 ．
【例5】若数轴上点A 表示-1，且 AB=3 ，则点B 表示的数是（ ）
A. -4 B. 2 C. -3或3 D. -4或2


【例6】下列说法中，正确的是（ ）
A. -a 一定是负数 B. 若 ，则 a=0.5
C. -a 的倒数是 D. a与 -a 互为相反数
【例7】已知 a 、 b互为相反数， c 是绝对值最小的数， d 是负整数中最大的数，则 a+b-c+d= ．

【例8】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则求（a+b）2021 -（cd）2022值．


【例9】下列数中：2，1.0010001， 53 ，0，﹣π，有理数的个数是（  ）
A. 2个                                       B. 3个                                       C. 4个                                       D. 5个

【例10】在下列数： -56 ，＋1，6.7，－15，－1中，属于分数的有（    ）
A. 2个                                       B. 3个                                       C. 4个                                       D. 5个
【例11】|-2021| 等于（  ）．
A. -2021                                B. -12021                                C. 2021                                D. 12021
【例12】绝对值不大于2的整数有 个

【例13】“东风快递，使命必达！”东风-41是我国目前最先进的洲际战略导弹，假设其最快飞行速度是25马赫，若每马赫速度为340米/秒，则用科学记数法表示东风-41的最快飞行速度为（ ）
A. 8.5×103米/秒 B. 0.85×104米/秒 C. 8.5×104米/秒 D. 85×103米/秒


【例14】2021年5月15月07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅．地球与火星的最近距离约为5460万公里．“5460万”用科学记数法表示为（    ）

A. 5.46×102              B. 5.46×103              C. 5.46×106                D. 5.46×107

【例15】两个有理数的和为正数，那么这两个数一定（ ）
A. 都是正数 B. 至少有一个正数 C. 有一个是0 D. 绝对值不相等

【例16】下列计算中，正确的是（   ）
A. -5+(+2)=-7           B. -3×(-13)=-1           C. -(-2)3=-8        D. -3÷(-13)=9

【例17】下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（   ）
A. （﹣2）3和（﹣3）2               B. （﹣2）3和﹣23               C. （﹣2）2和﹣22               D. 23和32

【例18】在有理数 0 ， (-1)2 ， -(-32) ， -|-2| ， (-2)3 中正数有（    ）个
A. 4                                           B. 3                                           C. 2                                           D. 1

【例19】有理数 a 、 b 在数轴上的对应位置如图所示，则下列四个选项正确的是（）

A. a0                 D. a+b>0

【例20】如果a+b＞0，且ab＜0，那么（ ）
A. a＞0，b＞0 B. a＜0，b＜0
C. a、b异号 D. a、b异号且正数的绝对值较大

【例21】有理数a，b在数轴上的对应点如图，下列式子：① a>0>b ；② |b|>|a| ；③ ab<0 ；④ a-b>a+b ；⑤ ab<-1 ，其中错误的个数是（  ）

A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4

【例22】下列各式，计算正确的是（    ）
A. -|-3|+|-2|=1                                      B. -13-2÷(-12)=5
C. -43÷(-34)×43=43                                       D. -22-(-2)3+(-12)÷(-2)=414
【例23】计算：（1）-22-5×[(-1)2021-(-1+35×2)]



（2）计算： -24+(14-59+712)×(-72)


（3）




（4）


（5）



（6）(1112-56-724)×(-48)




（7）-12021-(1-0.5)×13×[3-(-3)3]





【例24】（1）已知|x|=3，|y|=2，且xy > 0，则x−y的值等于 .
（2）若∣a|＝7、b2＝4，且∣a－b∣＝∣a∣＋∣b|，则a＋b的值为 .

【例25】已知 |x|=6 ， y2=4 ，且 xy<0 ．则 x+y 的值为（  ）
A. 4                                  B. -4                                  C. 4 或 -4                                  D. 2 或 -2
【例26】（1）一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到      的距离．
（2）若 |a|=-a ，则 a       0．
（3）有理数 a ， b 在数轴上的位置如图所示，请化简 |a|+|b|+|a+b| ．

【例27】某路公交车从起点经过 A ， B ， C ， D 站到达终点，各站上、下乘客人数如下表所示（用正数表示上车的人数，负数表示下车的人数）
站点
起点
A
B
C
D
终点
上车人数
x
15
12
7
5
0
下车人数
0
-3
-4
-10
-11
-29
若此公交车采用一票制，即每位上车乘客无论哪站下车，车票都是2元，问该车这次出车共收入（    ）
A. 114元                                   B. 228元                                   C. 78元                                   D. 56元

【例28】2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因实际每天生产量相比有出入，表格是二月份某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个）．
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
+100
-200
+400
-100
-100
+350
+150
（1）根据记录可知前三天共生产多少个口罩；
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个；
（3）该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.2元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？




【例29】某公路检修队乘车从A地出发，在南北走向的公路上检修道路，规定向南走为正，向北走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：+2，-8，+5，-7，+10，-6，-7，+12．
（1）收工时，检修队在A 地的哪边？距 A地多远？
（2）在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油0.2升，则检修队从 A地出发到回到 A地，汽车共耗油多少升？
（3）请直接回答出在检修过程中，检修队最远离 A地多远？
【例30】“数形结合”是重要的数学思想．如： |3-(-2)| 表示 3 与 -2 差的绝对值，实际上也可以理解为 3 与 -2 在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B所对应的数分别用 a ， b 表示，那么A，B两点之间的距离表示为 AB=|a-b| ．利用此结论，回答以下问题：

（1）数轴上表示 -2 和 5 两点之间的距离是       ．
（2）|x-2| 可理解为      与      两数在数轴上所对应的两点之间的距离； |x+5| 可理解为      与       两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（3）若 |x-1|=3 ，则 x=        ．
（4）若 x 表示一个有理数， |x+2|+|x-4| 的最小值为       ．
（5）直接写出所有符合条件的整数x，使得 |x-2|+|x+5|=7 ， x 的值为       




















【变式训练】数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为 |AB|=|a-b| ．根据以上知识解题：

（1）若数轴上两点A、B表示的数为-2、3，则|AB|=      ；
（2）若数轴上两点A、B表示的数为x、-1，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为      ；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为      ；
（3）|x+1|+|x-2|的最小值为       ．