【期末满分冲刺】2022-2023学年-北师大版数学七年级上册——压轴题系列二《角的几何变换——折叠与旋转》期末复习精讲精练（教案）

压轴题系列二

      ——角的几何变换（折叠与旋转）

一、 双基目标

1、理解掌握角的“叠放、折叠、旋转”

           三种变换中的解题思路和计算方法。

2、注意角的分类讨论问题.

二、能力目标

通过此类问题的系统复习可以强化训练学生的分类讨论意识、逻辑推理能力，同时增强其综合分析、解决问题的能力.

1、看课件，复习知识体系和基本方法；

2、学习例题，完成变式练习；

3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。

【例1】（分类讨论）已知∠AOB=50°，∠BOC=30°，则∠AOC=                     ．

【解析】解：①当OC在∠AOB内部，

因为∠AOB=50°，∠BOC=30°，

所以∠AOC为20°；

②当OC在∠AOB外部，

因为∠AOB=50°，∠BOC=30°，

所以∠AOC为80°；

故∠AOC为20°或80°．

【分析】本题是角的计算的多解问题，求解时要注意分情况讨论，可以根据OC与∠AOB的位置关系分为OC在∠AOB的内部和外部两种情况求解．　

【例2】将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）

A．140° B．160° C．170° D．150°

【答案】B

【详解】

试题分析：根据∠AOD=20°可得：∠AOC=70°，根据题意可得：∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+70°=160°.

考点：角度的计算

【例3】如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOC＝130°，则∠BOD等于（  ） 

A. 30°                         B. 45°                                       C. 50°                                       D. 60°

【答案】 C  

【考点】角的运算   

【解析】【解答】∵∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝130°，∠AOB＝90°，∴∠BOC＝130°－90°＝40°，∵∠BOD＝∠COD－∠BOC，∠COD＝90°，∴∠BOD＝90°－40°＝50°，

故答案为：C.

 
【分析】利用∠BOD＝∠COD+∠BOA-∠AOC计算即可。

【例4】如图，若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置，则∠1的度数为( 　　 )

A．15°       B．20°   C．25°     D．30°

【答案】D

【分析】

根据∠1=∠BOD+EOC∠BOE，利用等腰直角三角形的性质，求得∠BOD和∠EOC的度数，从而求解即可．

【详解】

解：如图，

根据题意，有，

∴，，

∴；

故选：D.

【点睛】

本题考查了角度的计算，正确理解∠1=∠BOD+∠COE∠BOE这一关系是解决本题的关键．

【变式训练】（2016郑州）如图所示，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点与点O重合，则∠AOC+∠BOD=  

【答案】180°

【解析】∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，

∴∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠BOC+∠BOD，

 又∵∠BOC+∠BOD=∠COD，且∠AOB=∠COD=90°，

∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°．

【例5】把一副三角尺按如图所示拼在一起，其中B，C，D三点在同一直线上，CM平分∠ACB，CN平分∠DCE，则∠MCN=________°．

【答案】

【分析】

先容易求得∠ACE=75°，在根据CM、CN分别平分∠ACB，∠ECD由图可知所求角等于∠ACE加上∠ACB，∠ECD的一半．

【详解】

解：由题可知：

则

因为CM 平分∠ACB，CN平分∠DCE，

则

可得

故答案为

【点睛】

本题主要考察了角平分线的性质；利用角平分线的基本性质来计算角度是关键．

【例6】（1）平面内将一副二角板按如图 1所示摆放，∠EBC=    ；

（2）平面内将 副三角板按如图 2所示摆放，若∠EBC=165°，那么∠α=____

（3）平面内将一副三角板按如图 3所示摆放，∠EBC=115°，求∠α的度数.

【解析】（1）∠EBC=90°+60°=150°；

（2）∠α=∠EBC-∠DBE-∠ABC

             =165°-90°-60°

             =15°；

（3）因为∠EBC=115°，∠EBD=90°，

所以∠DBC=∠EBC-∠EBD=25°．

因为∠ABC=60°，

所以∠α=∠ABC-∠DBC=35°

【例7】利用折纸可以作出角平分线．

（1）如图1，若∠AOB＝58°，则∠BOC＝　    　．

（2）折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′，点B落在点B'，连接OA'．

①如图2，当点B'在OA'上时，判断∠AOC与∠BOD的关系，并说明理由；

②如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数．

 【答案】（1）29°；（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，理由见解析；②30°

【分析】

（1）由折叠得出∠AOC＝∠BOC，即可得出结论；

（2）①由折叠得出∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，再由点B'落在OA'上，得出∠AOA'+∠BOB'＝180°，即可得出结论；

②同①的方法求出∠AOA'＝88°，∠BOB'＝122°，即可得出结论．

【详解】

解：（1）由折叠知，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，

∵∠AOB＝58°，

∴∠BOC＝∠AOB＝×58°＝29°，

故答案为：29°；

（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，

理由：由折叠知，∠AOC＝∠A'OC，

∴∠AOA'＝2∠AOC，

由折叠知，∠BOD＝∠B'OD，

∴∠BOB'＝2∠BOD，

∵点B'落在OA'，

∴∠AOA'+∠BOB'＝180°，

∴2∠AOC+2∠BOD＝180°，

∴∠AOC+∠BOD＝90°；

②由折叠知，∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，

∵∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，

∴∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°，

∴∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°＝88°+122°﹣180°＝30°，

即∠A'OB'的度数为30°．

【点睛】

此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键．

【例8】已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG，将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．   

（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数； 

（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数； 

【答案】 （1）解：∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF

∴∠NEF＝ ∠AEF，∠MEF＝ ∠BEF

∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝ ∠AEF+ ∠BEF＝ （∠AEF+∠BEF）＝ ∠AEB

∵∠AEB＝180°

∴∠MEN＝ ×180°＝90°

（2）解：∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG

∴∠NEF＝ ∠AEF，∠MEG＝ ∠BEG

∴∠NEF+∠MEG＝ ∠AEF+ ∠BEG＝ （∠AEF+∠BEG）＝ （∠AEB﹣∠FEG）

∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°

∴∠NEF+∠MEG＝ （180°﹣30°）＝75°

∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°．

【考点】角的运算，翻折变换（折叠问题）   

【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可；
【例9】如图，将一张长方形纸片ABCD 分别沿着 BE，BF 折叠，使边 AB，CB 均落在 BD 上，得到折痕 BE，BF  ，如果 ∠ABE=15° ，那么 ∠DBF=        ．  

【答案】 30°  

【考点】角的运算，翻折变换（折叠问题）   

【解析】【解答】根据折叠的性质，

得∠ABE=∠GBE，∠CBF=∠DBF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∵ ，

∴∠DBC=60°，

∴∠DBF=30°．

故答案为：30°．

 【分析】先求出∠ABC=90°，再求出∠DBC=60°，最后计算求解即可。

【例10】如图，把一张长方形纸片沿着AB折叠，若∠1＝40°，那么∠2的度数是       ．  

【答案】 70°  

【考点】角的运算，翻折变换（折叠问题）   

【解析】【解答】如图，由折叠性质可得： ∠1+2∠2=180°，

而∠1=40°，

则∠2=（180°-40°）÷2=70°

故答案为：70° ．

 
【分析】根据折叠的性质可得 ，结合 ，可得。

【例11】（2020郑州）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．

（1）几秒后ON与OC重合？

（2）如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC，求此时t的值．

（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC平分∠MOB？请画图并说明理由．

分析 （1）根据：时间=进行计算．通过计算，证明OE平分∠AOC．
（2）由于OC的旋转速度快，需要考虑三种情形．
（3）通过计算分析，OC，OD的位置，然后列方程解决．

解：（1）①∵∠AOC=30°，∠AOB=180°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=150°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD=∠BOC=75°，
∴t==3．
②是，理由如下：
∵转动3秒，∴∠AOE=15°，
∴∠COE=∠AOC-∠AOE=15°，
∴∠COE=∠AOE，
即OE平分∠AOC．                     
（2）三角板旋转一周所需的时间为==90（秒），射线OC绕O点旋转一周所需的时间为=45（秒），
设经过x秒时，OC平分∠DOE，
由题意：①8x-5x=45-30，
解得：x=5，
②8x-5x=360-30+45，
解得：x=125＞45，不合题意，
③∵射线OC绕O点旋转一周所需的时间为=45（秒），45秒后停止运动，
∴OE旋转345°时，OC平分∠DOE，
∴t==69（秒），
综上所述，t=5秒或69秒时，OC平分∠DOE．

（3）由题意可知，OD旋转到与OB重合时，需要90÷5=18（秒），OC旋转到与OB重合时，需要（180-30）÷8=18.75（秒），
所以OD比OC早与OB重合，
设经过x秒时，OC平分∠DOB，
由题意：8x-（180-30）=（5x-90），
解得：x=，
所以经秒时，OC平分∠DOB．

点评 本题目考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解．

【例12】操作探究：将两块相同的直角三角板（含有 30°，60° 角）如图1摆放在直线 上，三角板 OMN 绕点O以每秒 10° 的速度顺时针旋转，当 ON 旋转至与射线 OA 重合时停止.设旋转时间为t秒. 

（1）若三角板 OBC 保持不动，如图2，当 t=3 时，试判断 ∠AOM 和 ∠BOM 是否相等，并说明理由；   

（2）若两块三角板同时旋转，三角板 OBC  以每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当 OB 旋转至与射线 OD 重合时停止. 

①在三角板OBC停止运动之前，求∠AOM  和 ∠AOB 的度数（用含t的代数式表示）；

②定义：能把一个角分成 的两部分的直线叫做该角的三分线  ， 当直线OM为 ∠AOB  的三分线时，求t的值.

【答案】 （1）解：相等.理由如下： 

当 t=3 时，∠AOM=30°，∠BOM=30° 

所以∠AOM=∠BOM  .

（2）解：①∠AOM=10t，（∠AOM大于180°时，填写360-10t） , ∠AOB=5t+60 ；  

②在三角板OBC停止运动时，运动时间为24秒直线OM为∠AOB的三分线，分为两种情况：

情况1：当 0＜t＜24 时，

当∠AOM=∠AOB  时，如图1.

   10t=(60+5t),   t=；

当 ∠AOM=∠AOB时，如图2.

 10t=(60+5t),t=6 ；

情况2：当24≤t ≤27 时

当 ∠AOM=∠AOB=60° 时，如图3.

t=24 ；∴t=,  t=6,  t=24；

【考点】角的运算   

【解析】【分析】（1）分别求出当t=3时，∠AOM和∠BOM的度数即得结论；
（2）①利用三角板转动的速度乘以时间t，即得∠AOM和∠BOM的度数；
② 在三角板 OBC 停止运动时，运动时间为24秒，直线 OM 为 ∠AOB 的三分线，分为两种情况：当 0＜t＜24 时及当 24≤t ≤27 时，利用三角板转动的速度及时间和三等分线的定义，分别解答即可.

【例13】如图，点O为直线 AB 上一点，过点O作射线 OC ，使 ∠BOC 的度数比∠AOC度数的2倍还多6°．将一直角三角板 DFE 的直角顶点F放在点O处（注∠DFE=90° ）． 

（1）如图①，若直角三角板的一边 FD 放在射线 OA 上，求 ∠COE 的度数；   

（2）如图②，将直角三角板 FDE 绕点O顺时针转动到某位置，若 OC 恰好平分∠AOE  ，求 ∠COD 的度数；   

（3）如图③，将直角三角板FDE 绕点O任意转动，如果 FD 始终在 ∠AOC 的内部，试猜想 ∠AOD 和 ∠COE 有怎样的数量关系，并说明理由．   

【答案】 （1）解：设 ，则   

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴

（2）解：∵ 平分 ， 

∴ ，

（3）解： ， 

理由：当 始终在 的内部时， ，

，

∴ ．

【考点】三角形的综合   

【解析】【分析】（1）由图形可知   和   互为邻补角，再由”  的度数比  度数的2倍还多6°”，设未知列方程即可
（2）（3）结合图形以及题意，找出每个角之间的和差倍分关系即可

【例14】综合与探究 

问题背景

数学活动课上，老师将一副三角尺按图1所示位置摆放，三角尺ABC中，∠BAC=90°，∠B=∠C=45°；三角尺ADE中，∠D=90°，∠DAE=60°，∠E=30°．分别作出∠BAD、∠CAE的平分线AM、AN．然后提出问题：求出∠MAN的度数．

特例探究

“智慧小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放，AM和AN仍然是∠BAD和∠CAE的平分线． 其中，按图2方式摆放时，AB和AE在同一直线上．按图3方式摆放时， AB、AD、AM在同一直线上．

（1）计算：图2中∠MAN的度数为      °，图3中∠MAN的度数为      °（直接写出答案，不写过程）．   

（2）发现感悟：探究完图2，图3所示的特殊位置问题后，请你猜想图1中∠MAN的度数为  ▲  °； 

“智慧小组”的同学认为图2，图3中∠BAD、∠CAE的度数都已知或能求出具体的度数，图1中，∠MAN=∠MAB+∠BAE+∠EAN ，这些角比较一般化，求不出具体的度数，所以想到了用字母表示数，如果设∠BAE为x°，则可以用含x的式子表示∠BAD和∠CAE，进而可以表示∠MAB和∠EAN，这样就能求出∠MAN的度数；

请你根据智慧小组的思路，求出图1中∠MAN的度数．

（3）类比拓展：受到“智慧小组”的启发，“创新小组”将三角尺按图4所示方式摆放，分别作出∠BAD、∠CAE的平分线AM、AN．他们认为也能求出∠MAN的度数．请你求出∠MAN的度数． 

【分析】（1）根据图2，由角平分线的性质可以得到  ，   ， 再结合角的和差解题即可；根据图3，由角平分线的性质可以得到  ， 再结合角的和差解题即可；
（2）由∠MAN=∠MAB+∠BAE+∠EAN，结合角平分线的性质解题即可；
（3）由∠MAN=∠MAD+∠EAN-∠DAE，结合角平分线的性质求解即可。

【答案】 （1）75；75
【解析】【解答】解：（1）图2中， AM和AN是∠BAD和∠CAE的平分线，

；

图3中， AM和AN是∠BAD和∠CAE的平分线，

故答案为：75；75；

（2）解：设∠BAE为x°，则∠BAD=∠DAE- x°=60°- x°，∠CAE=∠BAC- x°=90°-x°

因为AM和AN是∠BAD和∠CAE的平分线，

所以∠MAB= ∠BAD = （60°- x°）=30°-   x°

∠EAN= ∠CAE= （90°- x°）=45°+   x°．

所以∠MAN=∠MAB+∠BAE+∠EAN

=（30°-   x°）+ x°+（45°-   x°）

=75°，

故答案为：75°；

（3）解：设∠BAE为x°，则∠BAD=∠DAE+ x°=60°+ x°，

∠CAE=360°-∠BAC-∠BAE=360°-90°-x°=270°-x°，

因为AM和AN是∠BAD和∠CAE的平分线，

所以∠MAD= ∠BAD = （60°+ x°）=30°+   x°

∠EAN= ∠CAE= （270°- x°）=135°-   x°．

所以∠MAN=∠MAD +∠EAN-∠DAE

=（30°+   x°）+（135°-   x°）- 60°

=105°．

【考点】角的运算，一元一次方程的实际应用-几何问题