沪教版七年级第一学期同步第10讲：提取公因式法、公式法分解因式 （教师版+学生版）

学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用．它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础．本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用，提取公因式法和公式法是因式分解的基本而又重要的两种方法．

1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也

叫做把这个多项式分解因式．

2、因式分解与整式乘法互为逆变形：

式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．

2、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．

3、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面，

将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法．

4、提取公因式的步骤：

（1）找出多项式各项的公因式．

（2）提出公因式．

（3）写成与的乘积形式．

6、提取公因式法的几个技巧和注意点：

（1）一次提净；

（2）视“多”为“一”；

（3）切勿漏1；

（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；

（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ；

（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．

【例1】 判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由．

（1）；     （2）；

（3）；    （4）．

【难度】★

【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是．

【解析】根据等式右边是否与左边相等以及是否为整式乘积表达形式．

【总结】本题主要考查因式分解的定义．

【例2】 指出下列各式中的公因式：

（1）；

（2）；

（3）．

【难度】★

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】每一个单项式中都含有的因式叫做公因式．

【总结】本题主要考查公因式的定义．

【例3】 分解因式：

（1）；         （2）；

（3）．

【难度】★

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）； （2）；

 （3）．

【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意当第一项的系数是负数时，一般应提出这个负号，并注意其它项的符号的变化．

【例4】 分解因式：

（1）；        （2）；

（3）．

【难度】★

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）；  （2）；

 （3）．

【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂．

【例5】 分解因式：．   

【难度】★★

【答案】．

【解析】．

【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相同，并且让系数变为整数．

【例6】 把下列各式分解因式：

（1）；      （2）；

（3）．  

【难度】★★

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）；

 （2）原式；

 （3）原式．

【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意要进行合并．

【例7】 把下列各式分解因式：

（1） ；     （2）；   

（3）；    （4） ．   

【难度】★★

【答案】 （1） ；   （2）；

（3）；    （4）． 

【解析】（1）；

 （2）；

 （3）；

 （4）．

【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意（4）式要先对后两项提取负号，出现公因式之后，在进行分解因式．

【例8】 把下列各式分解因式：

（1）；

（2）．

【难度】★★

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）原式

     ；

（2）原式

   ．

【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂．

【例9】 分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式

   ．

【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相同，并且让系数变为整数．

【例10】        分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式

    ．

【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意准确找出公因式．

【例11】        先化简再求值：，其中，．

【难度】★★

【答案】-1．

【解析】原式

    ．

  把代入，可得原式．

【总结】本题先提取公因式再计算，使得整个计算过程变得简单．

【例12】        已知，求的值．

【难度】★★

【答案】0．

【解析】原式，再把代入，

  得原式=0．

【总结】本题一方面考查公因式的概念，另一方面考查整体代入思想的运用．

【例13】        试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，则得到的新数与原数之差能被11整除．

【难度】★★

【答案】见【解析】．

【解析】设这个三位数为，其中为1-9之间的整数，为0-9之间的整数， 交换百位数字与个位数字后可得新三位字为，

 所以，

 ∵是整数，∴能被11整除．

【总结】本题一方面考查利用提取公因式分解因式，另一方面考查整除的概念．

1、平方差公式：

①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；

②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．

2、完全平方公式： 

①左边相当于一个二次三项式；

②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；

③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；

④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．

【例14】        把下列各式分解因式：

（1）；       （2）；

（3）．

【难度】★

【答案】（1）；  （2）；

（3）．

【解析】直接利用平方差公式进行因式分解．

【总结】本题主要考查利用平方差公式进行因式分解，注意对公式的准确运用．

【例15】        把下列各式分解因式：

（1） ；        （2）．

【难度】★

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）；

 （2）．

【总结】本题主要考查利用完全平方公式分解因式．

【例16】        分解因式：

（1）；     （2）；

（3）．

【难度】★★

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）原式；

（2）原式

   ；

（3）原式

   ．

【总结】本题主要考查利用公式法因式分解，注意分解一定要彻底．

【例17】        分解因式

（1）；  （2）；   （3）．

【难度】★★

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）原式；（2）原式；

（3）原式．

【总结】本题主要考查利用公式法因式分解，注意先提取公因式再利用公式的解题技巧．

【例18】        分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式．

【总结】本题主要考查利用公式法因式分解，注意先提取公因式再利用公式的解题技巧．

【例19】        把下列各式分解因式：

（1）；         （2）．

【难度】★★

【答案】（1）-4000；（2）-200．

【解析】（1）；

（2）．

【总结】本题主要考查利用平方差公式进行巧算．

【例20】        把下列各式分解因式：

（1）；      （2）．

【难度】★★

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）原式；

 （2）原式．

【总结】本题主要考查利用完全平方式进行因式分解．

【例21】        分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式

【总结】连续运用两次完全平方公式，本题主要考查学生是否彻底分解因式．

【例22】        把下列各式分解因式：

（1）；       （2）．

【难度】★★

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）解法一：原式，

   解法二：原式；

（2）原式

    ．

【总结】本题主要利用拆开再组合的原理进行了分解因式．

【例23】        分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式．

【总结】本题主要考查含字母指数的因式分解，注意先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解．

【例24】        已知，求的值．

【难度】★★

【答案】1

【解析】∵，

  ∴，即．

∴．

【总结】本题主要考查利用公式法进行因式分解，以及利用整体代入思想求代数式的值．

【例25】        证明：两个连续奇数的平方差能被整除．

【难度】★★

【答案】

【解析】设较小的奇数的为其中是正整数，则另一个奇数为，

 则．

 ∵能被8整除，  ∴两个连续奇数的平方差能被整除．

 解法二：此题也可以直接完全平方公式展开．

【总结】本题一方面考查利用公式法分解因式，另一方面考查整除的概念．

【习题1】      观察下列从左到右的变形：

（1）；     （2）；

（3）；    （4）．

其中是因式分解的有__________（填括号）．

【难度】★

【答案】（3）

【解析】根据等式右边是否与左边相等以及是否为整式乘积表达形式．

【总结】本题主要考查因式分解的定义．

【习题2】      分解因式：

（1）；      （2）；

（3）．

【难度】★

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】每一个单项式中都含有的因式叫做公因式．

【总结】本题主要考查利用提公因式法分解因式．

【习题3】      分解因式：

（1）；       

（2）．

【难度】★

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）； 

 （2）．

【总结】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解．

【习题4】      分解因式：

（1）；       （2）；

（3）；      （4）．

【难度】★★

【答案】（1）；  （2）；

 （3）；  （4）．

【解析】（1）原式；  （2）原式；

 （3）原式；

 （4）原式．

【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式．

【习题5】      不解方程组，求代数式的值．

【难度】★★

【答案】6

【解析】∵，

 ∴．

【总结】本题一方面考查利用提取公因式法分解因式，另一方面考查利用整体法求解．

【习题6】      求代数式的值：，其中

．

【难度】★★

【答案】-4．

【解析】原式．

 当时，原式．

【总结】本题一方面考查利用提取公因式法分解因式，另一方面考查利用整体法求解．

【习题7】      分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式

    ．

【总结】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式时符号的变化．

【习题8】      分解因式

（1）；       

（2）．

【难度】★★

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）原式；

（2）原式

   ．

【总结】本题主要考查利用平方差公式分解因式，注意分解一定要彻底．

．

【作业1】      下面从左到右的变形哪些是因式分解？

（1）；      （2）；

（3）；   （4）．

【难度】★

【答案】（1）

【解析】根据等式右边是否与左边相等以及是否为整式乘积表达形式．

【总结】本题主要考查因式分解的定义．

【作业2】      分解因式：

（1）；      （2）；

（3）；     （4）．

【难度】★

【答案】（1）原式；  

 （2）原式；

 （3）原式；  

 （4）原式．

【解析】根据提取公因式的方法进行因式分解．

【总结】本题主要考查利用提公因式法分解因式．

【作业3】      分解因式：

（1）；     （2）；

（3）；     （4）．

【难度】★★

【答案】（1）原式；（2）原式；

 （3）原式；（4）原式．

【解析】（1）原式；

 （2）原式；

 （3）原式；

 （4）原式

【总结】本题主要考查利用提取公因式法进行因式分解，注意分解因式一定要彻底．

【作业4】      利用因式分解计算：

（1）；       （2）．

【难度】★★

【答案】（1）；（2）-9700000000．

【解析】（1）原式；

 （2）原式．

【总结】本题主要考查利用公式法进行简便计算．

【作业5】      分解因式：

（1）；    （2）．

【难度】★★

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）原式

     ；

（2）原式

   ．

【总结】本题主要考查利用平方差公式进行因式分解，注意分解一定要彻底．

【作业6】      分解因式：

（1）；     （2）．

【难度】★★

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）原式；

 （2）原式．

【总结】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解，（2）中注意整体思想的运用．

分解因式：．