沪教版七年级第一学期同步第2讲：第九章 整式 整式的基本概念 （学生版+教师版）

整式的基本概念及合并同类项是在学生学习了有理数、用字母表示数和代数式等知识的基础上安排的．该章属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”部分，其主要内容包括整式、单项式、多项式；合并同类项；等．这些内容既是对有理数的概括与抽象，又是后继学习整式加减运算的基础，还是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的工具．

1、   单项式：由数字与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．也就是说单

项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数．单独的一个字母或数也叫做单项式．

（1）单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和．例如：单项式，它的指数

为，是四次单项式．单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单

项式

（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数．

 2、多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．例如：是多项式．

（1）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项．多项式中的各项包括它前面

的符号．多项式中不含字母的项叫做常数项．

（2）多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．

（3）多项式的降（升）幂排列：按照同一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排列．

3、整式：单项式和多项式统称整式．

【例1】 在代数式，0，中，整式共有（  ）个

 A、5    B、6    C、7    D、8

【例2】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．

   ，，，，，，，．

【例3】 写出下列多项式的次数及最高次项的系数．

 （1）；   （2）．

【例4】 解答题：

 （1）把多项式按的降幂排列；

 （2）把多项式按的升幂排列；

 （3）求多项式的各项系数之和．

【例5】 多项式是几次几项式？

【例6】 多项式是三次三项式，求代数式的值．

【例7】 多项式是六次四项式，单项式的次数与这

 个多项式次数相同，求的值．

【例8】 设自然数满足，求多项式的次数？

【例9】 请各写出一个符合条件的整式：

（1）系数是，次数是3的单项式；

（2）系数是3，次数是1的单项式；

（3）常数项为的二次三项式．

1、同类项的概念：

所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．

2、合并同类项：

合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．

【例10】        下列各组单项式中属于同类项的是：

 ①和；   ②和；   ③和；

 ④和；   ⑤和；    ⑥和．

【例11】        合并下列同类项：

  （1）；  （2）；

  （3）．

【例12】        单项式与是同类项，求的值．

【例13】        合并下列同类项

 （1）；

 （2）；

 （3）．

【例14】        单项式与是同类项，求的值．

【例15】        如果是五次多项式，求的值．

【例16】        已知，化简：．

【例17】        已知：，．求的值．

【习题1】      讲下列代数式分别填入相应的括号内：

 单项式（           ）；

 多项式（           ）；

 二项式（           ）；

 二次多项式（         ）；

 整式（           ）．

【习题2】      下列代数式中那些是单项式？并指出这些单项式的系数和次数：

【习题3】      写出下面式子的同类项（写出一个即可）：

 （1）；  （2） ；  （3）；  （4）．

【习题4】      下列各式中，哪些是多项式？并指出它是几次几项式．

 （1）； （2）； （3）； （4）．

【习题5】      若与是同类项，求，的值．

【习题6】      同时都含有，且系数为的次单项式共有（   ）个

  A．4   B．12   C．15   D．25

【习题7】      填空：若单项式是关于的三次单项式，则       

【习题8】      将多项式按的降幂排列，并指出是几次几项式，并指

 出系数最小的项．

【习题9】      若多项式不含的奇次项，求的值．

【习题10】   多项式是关于的四次二项式，求的值．

【习题11】   去括号，再合并同类项：．

【习题12】   化简：．

【作业1】      下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？

， ， ， ， ，，，，．

【作业2】      指出下列多项式是几次几项式，并指出系数最小的项：

（1）；   （2）．

【作业3】      合并同类项：

 （1）；      （2）； 

 （3）．

【作业4】      将多项式

 （1） 按的降幂排列；   （2）按的降幂排列．

【作业5】      若与是同类项，求，的值．

【作业6】      若和是同类项，求的值．

【作业7】      合并同类项：

 （1）；

 （2）；

 （3）．

【作业8】      边长分别为和的两个正方形按如图的样式摆放，求左图中阴影部分的面积．