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苏科版2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷 （解析版）1
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这是一份苏科版2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷 （解析版）1，共20页。试卷主要包含了填空题.，选择，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年苏科版八年级下学期期中数学试卷
一、填空题（共12小题）.
1．（2分）若分式的值为0，则x＝ ．
2．（2分）化简：＝ ．
3．（2分）“若a2＝b2，则a＝b”这一事件是 ．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”）
4．（2分）袋子里有5只红球，3只白球，每只球除颜色以外都相同，从中任意摸出1只球，是红球的可能性 （选填“大于”“小于”或“等于”）是白球的可能性．
5．（2分）小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：
通话时间x/min
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
频数（通话次数）
20
16
9
5
则通话时间不超过10min的频率为 ．
6．（2分）在▱ABCD中，已知∠B＝50°，则∠A＝ ．
7．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm．则AC＝ ．
8．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝5，则AB的长为 ．
9．（2分）如图，将△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED，点D正好落在BC边上．已知∠C＝80°，则∠EAB＝ °．
10．（2分）已知x2﹣4x﹣5＝0，则分式的值是 ．
11．（2分）将某班男生的身高分成了三组，情况如表所示，则表中b的值是 ．
第一组
第二组
第三组
频数
6
10
a
频率
b
c
20%
12．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，CE＝DE，AE⊥CD，E为垂足，则AE2+BE2＝ ．
二、选择（每小题3分，共21分）
13．（3分）随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
14．（3分）当a为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
15．（3分）若把分式中的a、b都缩小为原来的，则分式的值（ ）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的6倍
C．缩小为原来的 D．不变
16．（3分）“六•一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据．下列说法不正确的是（ ）
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数m
68
108
140
355
560
690
落在“铅笔”区域的频率
0.68
0.72
0.70
0.71
0.70
0.69
A．当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70
B．假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70
C．如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次
D．转动转盘10次，一定有3次获得文具盒
17．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AC、BD是对角线，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
19．（3分）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则下列说法：①AE＝DE；②EG＞GC；③BE＝BF；④若AB＝1，则AD＝，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
三、解答题
20．（10分）（1）约分：；
（2）通分：、．
21．（9分）在一个不透明的口袋里，装有6个除颜色外其余都相同的小球，其中2个红球，2个白球，2个黑球．它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个．
（1）当n为何值时，这个事件必然发生？
（2）当n为何值时，这个事件不可能发生？
（3）当n为何值时，这个事件可能发生？
22．（9分）4月23日是“世界读书日”，今年世界读书日的主题是“阅读，让我们的世界更丰富”．某校随机调查了部分学生，就“你最喜欢的图书类别”（只选一项）对学生课外阅读的情况作了调查统计，将调查结果统计后绘制成如下统计表和条形统计图．请根据统计图表提供的信息解答下列问题：
初中生课外阅读情况调查统计表
种类
频数
频率
卡通画
a
0.45
时文杂志
b
0.16
武侠小说
50
c
文学名著
d
e
（1）这次随机调查了 名学生，统计表中d＝ ；
（2）假如以此统计表绘出扇形统计图，则武侠小说对应的圆心角是 ；
（3）试估计该校1500名学生中有多少名同学最喜欢文学名著类书籍？
23．（8分）在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，连结AE．
（1）画出△ABE绕点A逆时针旋转90°后的图形（点E的对应点为F）；
（2）若AB＝3，则四边形AECF的面积为 ．
24．（9分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED．
（1）△BEC是否为等腰三角形？请给出证明；
（2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求DE的长．
25．（10分）如图，已知AC＝16，分别以A、C为圆心，以长度10为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连结BD交AC于点O．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）求BD的长．
26．（9分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CM∥OD，过点D作DE⊥CM，E为垂足．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若AB＝17，BD＝30，则四边形ADEC的面积为 平方单位．
27．（11分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A，D不重合），PE的延长线与BC的延长线交于点Q．
（1）求证：E是PQ的中点；
（2）连结PB，F是BP的中点，连结EF，当PB＝PQ时．
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②求AP的长．
参考答案
一、填空题（每小题2分，共24分）
1．（2分）若分式的值为0，则x＝ ﹣1 ．
解：由分式的值为零的条件得x+1＝0，x﹣2≠0，
即x＝﹣1且x≠2．
故答案是x＝﹣1．
2．（2分）化简：＝ ．
解：＝．
故答案为：．
3．（2分）“若a2＝b2，则a＝b”这一事件是 随机事件 ．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”）
解：若a2＝b2，则a＝±b，
故若a2＝b2，则a＝b，这一事件是随机事件．
故答案为：随机事件．
4．（2分）袋子里有5只红球，3只白球，每只球除颜色以外都相同，从中任意摸出1只球，是红球的可能性 大于 （选填“大于”“小于”或“等于”）是白球的可能性．
解：∵袋子里有5只红球，3只白球，
∴红球的数量大于白球的数量，
∴从中任意摸出1只球，是红球的可能性大于白球的可能性．
故答案为：大于．
5．（2分）小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：
通话时间x/min
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
频数（通话次数）
20
16
9
5
则通话时间不超过10min的频率为 ．
解：通话时间不超过10min的频率为＝＝．
故答案是：．
6．（2分）在▱ABCD中，已知∠B＝50°，则∠A＝ 130° ．
解：∵在▱ABCD中∠B＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
7．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm．则AC＝ 8cm ．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4cm，
∴AC＝2OA＝8cm．
8．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝5，则AB的长为 10 ．
解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，
∴△ADC是直角三角形；
∵E是AC的中点．
∴DE＝AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；
又∵DE＝5，AB＝AC，
∴AB＝10；
故答案为：10．
9．（2分）如图，将△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED，点D正好落在BC边上．已知∠C＝80°，则∠EAB＝ 20 °．
解：∵△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED，
∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，
∵点D正好落在BC边上，
∴∠C＝∠ADC＝80°，
∴∠CAD＝180°﹣2×80°＝20°，
∵∠BAE＝∠EAD﹣∠BAD，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴∠EAB＝20°．
故答案为：20．
10．（2分）已知x2﹣4x﹣5＝0，则分式的值是 2 ．
解：由x2﹣4x﹣5＝0，得到x2＝4x+5，
则原式＝＝2，
故答案为：2
11．（2分）将某班男生的身高分成了三组，情况如表所示，则表中b的值是 30% ．
第一组
第二组
第三组
频数
6
10
a
频率
b
c
20%
解：∵第一组与第二组的频率之和为1﹣20%＝80%，
∴该班男生的总人数为（6+10）÷80%＝20，
∴b＝6÷20＝30%．
故答案为：30%．
12．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，CE＝DE，AE⊥CD，E为垂足，则AE2+BE2＝ 40 ．
解：连接AC，
∵在菱形ABCD中，AB＝4，
∴BC＝CD＝AB＝AD＝4，
∵CE＝DE，AE⊥CD，
∴CE＝DE＝AD＝2，∠AED＝90°，AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∴AE2＝AD2﹣DE2＝42﹣22＝12，
过E作EF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠EFC＝90°，∠ECF＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴CF＝CE＝1，
∴EF2＝CE2﹣CF2＝22﹣12＝3，
∴BE2＝BF2+EF2＝52+3＝28，
∴AE2+BE2＝40，
故答案为：40．
二、选择（每小题3分，共21分）
13．（3分）随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：A．
14．（3分）当a为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、当a＝0时，分式无意义，故此选项错误；
B、当a＝﹣1时，分式无意义，故此选项错误；
C、当a＝1时，分式无意义，故此选项错误；
D、当a为任意实数时，分式都有意义，故此选项正确；
故选：D．
15．（3分）若把分式中的a、b都缩小为原来的，则分式的值（ ）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的6倍
C．缩小为原来的 D．不变
解：把分式中的a、b都缩小为原来的，则分式变为，而＝×，
所以把分式中的a、b都缩小为原来的时分式的值缩小为原来的．
故选：A．
16．（3分）“六•一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据．下列说法不正确的是（ ）
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数m
68
108
140
355
560
690
落在“铅笔”区域的频率
0.68
0.72
0.70
0.71
0.70
0.69
A．当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70
B．假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70
C．如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次
D．转动转盘10次，一定有3次获得文具盒
解：A、频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A选项正确；
由A可知B、转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B选项正确；
C、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有2000×0.3＝600次，故C选项正确；
D、随机事件，结果不确定，故D选项不正确．
故选：D．
17．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：C．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AC、BD是对角线，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
解：∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，
∴在△ADC中，EH为△ADC的中位线，所以EH∥CD且EH＝CD；同理FG∥CD且FG＝CD，同理可得EF＝AB，
则EH∥FG且EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，又AB＝CD，所以EF＝EH，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：C．
19．（3分）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则下列说法：①AE＝DE；②EG＞GC；③BE＝BF；④若AB＝1，则AD＝，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
由折叠的性质得：AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，
∴E，G分别为AD，CD的中点，故①正确，
设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，
在Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，
即a2+（2b）2＝（3a）2，
∴b2＝2a2，
∴b＝a，
∵AB＝CD＝1，
∴AD＝，故④正确，
∵∠EOG＝∠D＝90°，
∴EG＞OG，
∵OG＝GC，
∴EG＞GC，故②正确，
不妨设BE＝BF，则∠BEF＝∠BFE＝∠DEF＝∠AEB＝60°，这个显然不可能，故③错误．
故选：B．
三、解答题
20．（10分）（1）约分：；
（2）通分：、．
解：（1）＝；
（2）＝＝，
＝＝．
21．（9分）在一个不透明的口袋里，装有6个除颜色外其余都相同的小球，其中2个红球，2个白球，2个黑球．它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个．
（1）当n为何值时，这个事件必然发生？
（2）当n为何值时，这个事件不可能发生？
（3）当n为何值时，这个事件可能发生？
解：（1）当n＝5或6时，这个事件必然发生；
（2）当n＝1或2时，这个事件不可能发生；
（3）当n＝3或4时，这个事件为随机事件．
22．（9分）4月23日是“世界读书日”，今年世界读书日的主题是“阅读，让我们的世界更丰富”．某校随机调查了部分学生，就“你最喜欢的图书类别”（只选一项）对学生课外阅读的情况作了调查统计，将调查结果统计后绘制成如下统计表和条形统计图．请根据统计图表提供的信息解答下列问题：
初中生课外阅读情况调查统计表
种类
频数
频率
卡通画
a
0.45
时文杂志
b
0.16
武侠小说
50
c
文学名著
d
e
（1）这次随机调查了 200 名学生，统计表中d＝ 28 ；
（2）假如以此统计表绘出扇形统计图，则武侠小说对应的圆心角是 90° ；
（3）试估计该校1500名学生中有多少名同学最喜欢文学名著类书籍？
解：（1）由条形统计图可知喜欢武侠小说的人数为30人，由统计表可知喜欢武侠小说的人数所占的频率为0.15，
所以这次随机调查的学生人数为：＝200名学生，
所以a＝200×0.45＝90，b＝200×0.16＝32，
∴d＝200﹣90﹣32﹣50＝28；
（2）武侠小说对应的圆心角是360°×＝90°；
（3）该校1500名学生中最喜欢文学名著类书籍的同学有1500×＝210名；
23．（8分）在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，连结AE．
（1）画出△ABE绕点A逆时针旋转90°后的图形（点E的对应点为F）；
（2）若AB＝3，则四边形AECF的面积为 9 ．
解：（1）如图，△ADF即为△ABE绕点A逆时针旋转90°后的图形；
（2）根据旋转可知：
四边形AECF的面积＝正方形ABCD的面积＝AB2＝9．
故答案为：9．
24．（9分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED．
（1）△BEC是否为等腰三角形？请给出证明；
（2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求DE的长．
解：（1）△BEC是等腰三角形，
证明：∵EC平分∠BED，
∴∠BEC＝∠DEC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC，
∴△BEC是等腰三角形；
（2）∵∠ABE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴AE＝AB＝1，
∴BE＝＝，
∴BE＝BC＝AD＝，
∴DE＝AD﹣AE＝﹣1．
25．（10分）如图，已知AC＝16，分别以A、C为圆心，以长度10为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连结BD交AC于点O．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）求BD的长．
解：（1）四边形ABCD是菱形，
理由如下：由题意得，AB＝AD＝CB＝CD＝10，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝8，OB＝OD，
在Rt△AOB中，OB＝＝6，
∴BD＝2OB＝12．
26．（9分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CM∥OD，过点D作DE⊥CM，E为垂足．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若AB＝17，BD＝30，则四边形ADEC的面积为 180 平方单位．
【解答】（1）证明：∵DE⊥CM，
∴DE∥AC，
∵CE∥OD，
∴四边形OCED是平行四边形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝17，
∴AB＝BC＝CD＝17．
∵BD＝30，
∴OD＝BD＝15，
∴OC＝＝＝8，
∴矩形ADEC的面积＝3S△ODC＝3×＝180，
故答案为：180．
27．（11分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A，D不重合），PE的延长线与BC的延长线交于点Q．
（1）求证：E是PQ的中点；
（2）连结PB，F是BP的中点，连结EF，当PB＝PQ时．
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②求AP的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠ECQ＝90°，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
又∵∠DEP＝∠CEQ，
∴△PDE≌△QCE（ASA）；
∴PE＝QE，
∴E是PQ的中点；
（2）①证明：∵E是PQ的中点，
∴PE＝QE＝PQ，
∵F是BP的中点，
∴PF＝FB＝PB，
∵PB＝PQ，
∴PF＝PE，
在Rt△ABP中，F是BP的中点，
∴AF＝BP＝PF，
∴AF＝PF＝PE，
∵EF∥BC，AD∥BC，
∴EF∥AD，
∵PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∵AF＝FP，
∴∠AFP＝∠APF，
∵EF∥AP，
∴∠APF＝∠PFE，
∴∠AFP＝∠EPF，
∴AF∥PE，
∴四边形AFEP是平行四边形；
②设AP＝x，则PD＝2﹣x，
由（1）知，△PDE≌△QCE，
∴CQ＝PD＝2﹣x，
∴BQ＝BC+CQ＝4﹣x，
∵点E、F分别是PQ、PB的中点，
∴EF是△PBQ的中位线，
∴EF＝BQ＝，
由①知AP＝EF，即x＝，
解得x＝，
∴AP的长为．
2020-2021学年苏科版八年级下学期期中数学试卷
一、填空题（共12小题）.
1．（2分）若分式的值为0，则x＝ ．
2．（2分）化简：＝ ．
3．（2分）“若a2＝b2，则a＝b”这一事件是 ．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”）
4．（2分）袋子里有5只红球，3只白球，每只球除颜色以外都相同，从中任意摸出1只球，是红球的可能性 （选填“大于”“小于”或“等于”）是白球的可能性．
5．（2分）小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：
通话时间x/min
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
频数（通话次数）
20
16
9
5
则通话时间不超过10min的频率为 ．
6．（2分）在▱ABCD中，已知∠B＝50°，则∠A＝ ．
7．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm．则AC＝ ．
8．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝5，则AB的长为 ．
9．（2分）如图，将△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED，点D正好落在BC边上．已知∠C＝80°，则∠EAB＝ °．
10．（2分）已知x2﹣4x﹣5＝0，则分式的值是 ．
11．（2分）将某班男生的身高分成了三组，情况如表所示，则表中b的值是 ．
第一组
第二组
第三组
频数
6
10
a
频率
b
c
20%
12．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，CE＝DE，AE⊥CD，E为垂足，则AE2+BE2＝ ．
二、选择（每小题3分，共21分）
13．（3分）随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
14．（3分）当a为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
15．（3分）若把分式中的a、b都缩小为原来的，则分式的值（ ）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的6倍
C．缩小为原来的 D．不变
16．（3分）“六•一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据．下列说法不正确的是（ ）
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数m
68
108
140
355
560
690
落在“铅笔”区域的频率
0.68
0.72
0.70
0.71
0.70
0.69
A．当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70
B．假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70
C．如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次
D．转动转盘10次，一定有3次获得文具盒
17．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AC、BD是对角线，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
19．（3分）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则下列说法：①AE＝DE；②EG＞GC；③BE＝BF；④若AB＝1，则AD＝，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
三、解答题
20．（10分）（1）约分：；
（2）通分：、．
21．（9分）在一个不透明的口袋里，装有6个除颜色外其余都相同的小球，其中2个红球，2个白球，2个黑球．它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个．
（1）当n为何值时，这个事件必然发生？
（2）当n为何值时，这个事件不可能发生？
（3）当n为何值时，这个事件可能发生？
22．（9分）4月23日是“世界读书日”，今年世界读书日的主题是“阅读，让我们的世界更丰富”．某校随机调查了部分学生，就“你最喜欢的图书类别”（只选一项）对学生课外阅读的情况作了调查统计，将调查结果统计后绘制成如下统计表和条形统计图．请根据统计图表提供的信息解答下列问题：
初中生课外阅读情况调查统计表
种类
频数
频率
卡通画
a
0.45
时文杂志
b
0.16
武侠小说
50
c
文学名著
d
e
（1）这次随机调查了 名学生，统计表中d＝ ；
（2）假如以此统计表绘出扇形统计图，则武侠小说对应的圆心角是 ；
（3）试估计该校1500名学生中有多少名同学最喜欢文学名著类书籍？
23．（8分）在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，连结AE．
（1）画出△ABE绕点A逆时针旋转90°后的图形（点E的对应点为F）；
（2）若AB＝3，则四边形AECF的面积为 ．
24．（9分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED．
（1）△BEC是否为等腰三角形？请给出证明；
（2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求DE的长．
25．（10分）如图，已知AC＝16，分别以A、C为圆心，以长度10为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连结BD交AC于点O．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）求BD的长．
26．（9分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CM∥OD，过点D作DE⊥CM，E为垂足．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若AB＝17，BD＝30，则四边形ADEC的面积为 平方单位．
27．（11分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A，D不重合），PE的延长线与BC的延长线交于点Q．
（1）求证：E是PQ的中点；
（2）连结PB，F是BP的中点，连结EF，当PB＝PQ时．
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②求AP的长．
参考答案
一、填空题（每小题2分，共24分）
1．（2分）若分式的值为0，则x＝ ﹣1 ．
解：由分式的值为零的条件得x+1＝0，x﹣2≠0，
即x＝﹣1且x≠2．
故答案是x＝﹣1．
2．（2分）化简：＝ ．
解：＝．
故答案为：．
3．（2分）“若a2＝b2，则a＝b”这一事件是 随机事件 ．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”）
解：若a2＝b2，则a＝±b，
故若a2＝b2，则a＝b，这一事件是随机事件．
故答案为：随机事件．
4．（2分）袋子里有5只红球，3只白球，每只球除颜色以外都相同，从中任意摸出1只球，是红球的可能性 大于 （选填“大于”“小于”或“等于”）是白球的可能性．
解：∵袋子里有5只红球，3只白球，
∴红球的数量大于白球的数量，
∴从中任意摸出1只球，是红球的可能性大于白球的可能性．
故答案为：大于．
5．（2分）小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：
通话时间x/min
0＜x≤5
5＜x≤10
10＜x≤15
15＜x≤20
频数（通话次数）
20
16
9
5
则通话时间不超过10min的频率为 ．
解：通话时间不超过10min的频率为＝＝．
故答案是：．
6．（2分）在▱ABCD中，已知∠B＝50°，则∠A＝ 130° ．
解：∵在▱ABCD中∠B＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
7．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm．则AC＝ 8cm ．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4cm，
∴AC＝2OA＝8cm．
8．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝5，则AB的长为 10 ．
解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，
∴△ADC是直角三角形；
∵E是AC的中点．
∴DE＝AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；
又∵DE＝5，AB＝AC，
∴AB＝10；
故答案为：10．
9．（2分）如图，将△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED，点D正好落在BC边上．已知∠C＝80°，则∠EAB＝ 20 °．
解：∵△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED，
∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，
∵点D正好落在BC边上，
∴∠C＝∠ADC＝80°，
∴∠CAD＝180°﹣2×80°＝20°，
∵∠BAE＝∠EAD﹣∠BAD，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴∠EAB＝20°．
故答案为：20．
10．（2分）已知x2﹣4x﹣5＝0，则分式的值是 2 ．
解：由x2﹣4x﹣5＝0，得到x2＝4x+5，
则原式＝＝2，
故答案为：2
11．（2分）将某班男生的身高分成了三组，情况如表所示，则表中b的值是 30% ．
第一组
第二组
第三组
频数
6
10
a
频率
b
c
20%
解：∵第一组与第二组的频率之和为1﹣20%＝80%，
∴该班男生的总人数为（6+10）÷80%＝20，
∴b＝6÷20＝30%．
故答案为：30%．
12．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，CE＝DE，AE⊥CD，E为垂足，则AE2+BE2＝ 40 ．
解：连接AC，
∵在菱形ABCD中，AB＝4，
∴BC＝CD＝AB＝AD＝4，
∵CE＝DE，AE⊥CD，
∴CE＝DE＝AD＝2，∠AED＝90°，AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∴AE2＝AD2﹣DE2＝42﹣22＝12，
过E作EF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠EFC＝90°，∠ECF＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴CF＝CE＝1，
∴EF2＝CE2﹣CF2＝22﹣12＝3，
∴BE2＝BF2+EF2＝52+3＝28，
∴AE2+BE2＝40，
故答案为：40．
二、选择（每小题3分，共21分）
13．（3分）随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：A．
14．（3分）当a为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、当a＝0时，分式无意义，故此选项错误；
B、当a＝﹣1时，分式无意义，故此选项错误；
C、当a＝1时，分式无意义，故此选项错误；
D、当a为任意实数时，分式都有意义，故此选项正确；
故选：D．
15．（3分）若把分式中的a、b都缩小为原来的，则分式的值（ ）
A．缩小为原来的 B．扩大为原来的6倍
C．缩小为原来的 D．不变
解：把分式中的a、b都缩小为原来的，则分式变为，而＝×，
所以把分式中的a、b都缩小为原来的时分式的值缩小为原来的．
故选：A．
16．（3分）“六•一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据．下列说法不正确的是（ ）
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数m
68
108
140
355
560
690
落在“铅笔”区域的频率
0.68
0.72
0.70
0.71
0.70
0.69
A．当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70
B．假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70
C．如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次
D．转动转盘10次，一定有3次获得文具盒
解：A、频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A选项正确；
由A可知B、转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B选项正确；
C、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有2000×0.3＝600次，故C选项正确；
D、随机事件，结果不确定，故D选项不正确．
故选：D．
17．（3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：C．
18．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AC、BD是对角线，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
解：∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，
∴在△ADC中，EH为△ADC的中位线，所以EH∥CD且EH＝CD；同理FG∥CD且FG＝CD，同理可得EF＝AB，
则EH∥FG且EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，又AB＝CD，所以EF＝EH，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：C．
19．（3分）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则下列说法：①AE＝DE；②EG＞GC；③BE＝BF；④若AB＝1，则AD＝，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
由折叠的性质得：AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，
∴E，G分别为AD，CD的中点，故①正确，
设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，
在Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，
即a2+（2b）2＝（3a）2，
∴b2＝2a2，
∴b＝a，
∵AB＝CD＝1，
∴AD＝，故④正确，
∵∠EOG＝∠D＝90°，
∴EG＞OG，
∵OG＝GC，
∴EG＞GC，故②正确，
不妨设BE＝BF，则∠BEF＝∠BFE＝∠DEF＝∠AEB＝60°，这个显然不可能，故③错误．
故选：B．
三、解答题
20．（10分）（1）约分：；
（2）通分：、．
解：（1）＝；
（2）＝＝，
＝＝．
21．（9分）在一个不透明的口袋里，装有6个除颜色外其余都相同的小球，其中2个红球，2个白球，2个黑球．它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个．
（1）当n为何值时，这个事件必然发生？
（2）当n为何值时，这个事件不可能发生？
（3）当n为何值时，这个事件可能发生？
解：（1）当n＝5或6时，这个事件必然发生；
（2）当n＝1或2时，这个事件不可能发生；
（3）当n＝3或4时，这个事件为随机事件．
22．（9分）4月23日是“世界读书日”，今年世界读书日的主题是“阅读，让我们的世界更丰富”．某校随机调查了部分学生，就“你最喜欢的图书类别”（只选一项）对学生课外阅读的情况作了调查统计，将调查结果统计后绘制成如下统计表和条形统计图．请根据统计图表提供的信息解答下列问题：
初中生课外阅读情况调查统计表
种类
频数
频率
卡通画
a
0.45
时文杂志
b
0.16
武侠小说
50
c
文学名著
d
e
（1）这次随机调查了 200 名学生，统计表中d＝ 28 ；
（2）假如以此统计表绘出扇形统计图，则武侠小说对应的圆心角是 90° ；
（3）试估计该校1500名学生中有多少名同学最喜欢文学名著类书籍？
解：（1）由条形统计图可知喜欢武侠小说的人数为30人，由统计表可知喜欢武侠小说的人数所占的频率为0.15，
所以这次随机调查的学生人数为：＝200名学生，
所以a＝200×0.45＝90，b＝200×0.16＝32，
∴d＝200﹣90﹣32﹣50＝28；
（2）武侠小说对应的圆心角是360°×＝90°；
（3）该校1500名学生中最喜欢文学名著类书籍的同学有1500×＝210名；
23．（8分）在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，连结AE．
（1）画出△ABE绕点A逆时针旋转90°后的图形（点E的对应点为F）；
（2）若AB＝3，则四边形AECF的面积为 9 ．
解：（1）如图，△ADF即为△ABE绕点A逆时针旋转90°后的图形；
（2）根据旋转可知：
四边形AECF的面积＝正方形ABCD的面积＝AB2＝9．
故答案为：9．
24．（9分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED．
（1）△BEC是否为等腰三角形？请给出证明；
（2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求DE的长．
解：（1）△BEC是等腰三角形，
证明：∵EC平分∠BED，
∴∠BEC＝∠DEC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC，
∴△BEC是等腰三角形；
（2）∵∠ABE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴AE＝AB＝1，
∴BE＝＝，
∴BE＝BC＝AD＝，
∴DE＝AD﹣AE＝﹣1．
25．（10分）如图，已知AC＝16，分别以A、C为圆心，以长度10为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连结BD交AC于点O．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）求BD的长．
解：（1）四边形ABCD是菱形，
理由如下：由题意得，AB＝AD＝CB＝CD＝10，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝8，OB＝OD，
在Rt△AOB中，OB＝＝6，
∴BD＝2OB＝12．
26．（9分）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CM∥OD，过点D作DE⊥CM，E为垂足．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若AB＝17，BD＝30，则四边形ADEC的面积为 180 平方单位．
【解答】（1）证明：∵DE⊥CM，
∴DE∥AC，
∵CE∥OD，
∴四边形OCED是平行四边形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝17，
∴AB＝BC＝CD＝17．
∵BD＝30，
∴OD＝BD＝15，
∴OC＝＝＝8，
∴矩形ADEC的面积＝3S△ODC＝3×＝180，
故答案为：180．
27．（11分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A，D不重合），PE的延长线与BC的延长线交于点Q．
（1）求证：E是PQ的中点；
（2）连结PB，F是BP的中点，连结EF，当PB＝PQ时．
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②求AP的长．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠ECQ＝90°，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
又∵∠DEP＝∠CEQ，
∴△PDE≌△QCE（ASA）；
∴PE＝QE，
∴E是PQ的中点；
（2）①证明：∵E是PQ的中点，
∴PE＝QE＝PQ，
∵F是BP的中点，
∴PF＝FB＝PB，
∵PB＝PQ，
∴PF＝PE，
在Rt△ABP中，F是BP的中点，
∴AF＝BP＝PF，
∴AF＝PF＝PE，
∵EF∥BC，AD∥BC，
∴EF∥AD，
∵PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∵AF＝FP，
∴∠AFP＝∠APF，
∵EF∥AP，
∴∠APF＝∠PFE，
∴∠AFP＝∠EPF，
∴AF∥PE，
∴四边形AFEP是平行四边形；
②设AP＝x，则PD＝2﹣x，
由（1）知，△PDE≌△QCE，
∴CQ＝PD＝2﹣x，
∴BQ＝BC+CQ＝4﹣x，
∵点E、F分别是PQ、PB的中点，
∴EF是△PBQ的中位线，
∴EF＝BQ＝，
由①知AP＝EF，即x＝，
解得x＝，
∴AP的长为．
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