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苏科版2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷 （解析版）17
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这是一份苏科版2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷 （解析版）17，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年苏科版八年级下学期期中数学试卷
一、选择题
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．某校共有2000名学生，为了解学生对“七步洗手法”的掌握情况，现采用抽样调查，如果按10%的比例抽样，则样本容量是（ ）
A．2000 B．200 C．20 D．2
3．下面调查方式中，合适的是（ ）
A．试航前对我国第一艘国产航母各系统的检查，选择抽样调查方式
B．了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择普查方式
C．为有效控制“新冠疫情”的传播，对国外入境人员的健康状况，采用普查方式
D．调查某新型防火材料的防火性能，采用普查的方式
4．一组数据的样本容量是50，若其中一个数出现的频率为0.5，则该数出现的频数为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．100
5．“抛掷一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ）
A．确定事件 B．必然事件 C．随机事件 D．不可能事件
6．下列说法正确的是（ ）
A．矩形的对角线相等垂直 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线相等 D．菱形的四个角都是直角
7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论正确的是（ ）
A．AC＝AD B．BC＝DE C．AB⊥EB D．∠A＝∠EBC
8．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．若正方形的对角线长为，则该正方形的边长为 ．
10．如果用A表示事件“三角形的内角和为180°”，那么P（A）＝ ．
11．空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，宜选用 统计图．
12．如图，菱形ABCD的周长是16，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是 ．
13．一个不透明袋子中装有3个红球，2个白球，1个蓝球，从中任意摸一球，则摸到 （颜色）球的可能性最大．
14．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是 ．
15．如图，△ABC中，∠BAC＝20°，△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，连接对应点C、D，AE垂直平分CD于点F，则旋转角度是 °．
16．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为 ．
17．如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝1，则四边形BEDF的周长是 ．
18．如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE，设▱ABCD的面积为S1，四边形AEDF的面积为S2，则的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共68分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB，CD交于点G，H，则BG与DH有怎样数量关系？证明你的结论．
20．某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒．当人或车随意经过该路口时，遇到哪一种灯的可能性最大？遇到哪一种灯的可能性最小？根据什么？
21．为更有效地开展“线上教学”工作，某市就学生参与线上学习的工具进行了电子问卷调查，并将调查结果绘制成图1和图2所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数是 人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中表示观点B的扇形的圆心角度数为 度；
（4）在扇形统计图中表示观点E的百分比是 ．
22．如图，在▱ABCD中，BC＝6cm，点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E的运动速度为2cm/s，点F的运动速度为lcm/s，它们同时出发，设运动的时间为t秒，当t为何值时，EF∥AB．
23．如图，为6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点均为格点，在图中已标出线段AB，A，B均为格点，按要求完成下列问题．
（1）以AB为对角线画一个面积最小的菱形AEBF，且E，F为格点；
（2）在（1）中该菱形的边长是 ，面积是 ；
（3）以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点，则可画 个菱形．
24．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，BE平分∠ABC，试判断四边形DBFE的形状，并说明理由．
25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，
AC＝2，BC＝3．点E是BC延长线上一点，且CE＝3，连结DE．
（1）求证：四边形ACED为矩形．
（2）连结OE，求OE的长．
26．如图1，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图2，连接EF、CF，若CE＝8，求四边形BEFC的面积；
（3）如图3，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．某校共有2000名学生，为了解学生对“七步洗手法”的掌握情况，现采用抽样调查，如果按10%的比例抽样，则样本容量是（ ）
A．2000 B．200 C．20 D．2
【分析】一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
解：2000×10%＝200，故样本容量是200．
故选：B．
3．下面调查方式中，合适的是（ ）
A．试航前对我国第一艘国产航母各系统的检查，选择抽样调查方式
B．了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择普查方式
C．为有效控制“新冠疫情”的传播，对国外入境人员的健康状况，采用普查方式
D．调查某新型防火材料的防火性能，采用普查的方式
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解：A、试航前对我国第一艘国产航母各系统的检查，零部件很重要，应全面检查；
B、了解一批袋装食品是否含有防腐剂，适合抽样调查；
C、为有效控制“新冠疫情”的传播，对国外入境人员的健康状况，适合采用普查方式；
D、调査某新型防火材料的防火性能，适合抽样调查．
故选：C．
4．一组数据的样本容量是50，若其中一个数出现的频率为0.5，则该数出现的频数为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．100
【分析】根据频率、频数的关系：频数＝频率×数据总和，可得这一小组的频数．
解：∵容量是50，某一组的频率是0.5，
∴样本数据在该组的频数＝0.5×50＝25．
故选：B．
5．“抛掷一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ）
A．确定事件 B．必然事件 C．随机事件 D．不可能事件
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：“抛掷一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是随机事件，
故选：C．
6．下列说法正确的是（ ）
A．矩形的对角线相等垂直 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线相等 D．菱形的四个角都是直角
【分析】根据矩形、菱形的性质和正方形的性质判断即可．
解：A、矩形的对角线相等且平分，选项错误，不符合题意；
B、菱形的对角线垂直且平分，选项错误，不符合题意；
C、正方形的对角线相等，选项正确，符合题意；
D、矩形的四个角都是直角，而菱形的四个角不是直角，选项错误，不符合题意；
故选：C．
7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论正确的是（ ）
A．AC＝AD B．BC＝DE C．AB⊥EB D．∠A＝∠EBC
【分析】根据旋转的性质得到AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故A错误，B错误；可得出∠ACD＝∠BCE，根据三角形的内角和得到∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，求得∠A＝∠EBC，故D正确；由于∠A+∠ABC不一定等于90°，于是得到∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故C错误．
解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故A错误，B错误；
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，
∴∠A＝∠EBC，故D正确；
∵∠A+∠ABC不一定等于90°，
∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故C错误．
故选：D．
8．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】连接DN，根据三角形中位线定理得到EF＝DN，根据题意得到当点N与点B重合时，DN最大，根据勾股定理计算，得到答案．
解：连接DN，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，
∴EF＝DN，
∵点M，N分别为线段BC，AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN最大，此时DN＝＝10，
∴EF长度的最大值为：×10＝5，
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．若正方形的对角线长为，则该正方形的边长为 1 ．
【分析】利用正方形的性质，可得AD＝CD，∠D＝90°，再利用勾股定理求正方形的边长．
解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠D＝90°
设AD＝CD＝x，在Rt△ADC中，
∵AD2+CD2＝AC2
即x2+x2＝2
解得：x＝1，（x＝﹣1舍去）
所以该正方形的边长为1
故答案为：1
10．如果用A表示事件“三角形的内角和为180°”，那么P（A）＝ 1 ．
【分析】先判断出事件A是必然事件，再根据必然事件、随机事件及不可能事件的概率可得答案．
解：∵事件“三角形的内角和为180°”是必然事件，
∴P（A）＝1，
故答案为：1．
11．空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，宜选用 扇形 统计图．
【分析】反映各个部分占整体的百分比，因此选择扇形统计图比较合适．
解：要反映空气中各成分所占的百分比，因此用扇形统计图比较合适，
故答案为：扇形．
12．如图，菱形ABCD的周长是16，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是 4 ．
【分析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据∠ABC＝60°，而AB＝BC，易证△BAC是等边三角形，从而可求AC的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵菱形ABCD的周长是16，
∴AB＝BC＝AC＝4．
故答案为：4．
13．一个不透明袋子中装有3个红球，2个白球，1个蓝球，从中任意摸一球，则摸到 红 （颜色）球的可能性最大．
【分析】分别计算出各球的概率，然后根据概率的大小进行判断．
解：从中任意摸一球，摸到红球的概率＝＝，摸到白球的概率＝＝，摸到蓝球的概率＝，
所以从中任意摸一球，则摸到红球的可能性最大．
故答案为红．
14．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是 1 ．
【分析】由题可知△DEO≌△BFO，阴影面积就等于△BOC面积．
解：由题意可知
△DEO≌△BFO，
∴S△DEO＝S△BFO，
阴影面积＝三角形BOC面积＝×2×1＝1．
故答案为：1．
15．如图，△ABC中，∠BAC＝20°，△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，连接对应点C、D，AE垂直平分CD于点F，则旋转角度是 40 °．
【分析】根据旋转的性质得出AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，求出∠DAE＝∠CAE＝20°，再求出∠DAC的度数即可．
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，∠BAC＝20°
∴AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，
∵AE垂直平分CD于点F，
∴∠DAE＝∠CAE＝20°，
∴∠DAC＝20°+20°＝40°，
即旋转角度数是40°，
故答案为：40．
16．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为 7 ．
【分析】因为ABCD是正方形，所以AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，则有∠ABF＝∠DAE，又因为DE⊥a、BF⊥a，根据AAS易证△AFB≌△AED，所以AF＝DE＝4，BF＝AE＝3，则EF的长可求．
解：∵ABCD是正方形
∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°
∵∠ABC+∠ABF＝∠BAD+∠DAE
∴∠ABF＝∠DAE
在△AFB和△AED中
∠ABF＝∠DAE，∠AFB＝∠AED，AB＝AD
∴△AFB≌△AED
∴AF＝DE＝4，BF＝AE＝3
∴EF＝AF+AE＝4+3＝7．
故答案为：7．
17．如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝1，则四边形BEDF的周长是 20 ．
【分析】连接BD交AC于点O，则可证得OE＝OF，OD＝OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论．
解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝，
由勾股定理得：DE＝，
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×5＝20，
故答案为：20
18．如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE，设▱ABCD的面积为S1，四边形AEDF的面积为S2，则的值是 2 ．
【分析】首先由ASA可证明：△BCE≌△ADF；由平行四边形的性质可知：S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，进而可求出的值．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AF∥BE，
∴∠EBA+∠BAF＝180°，
∴∠CBE＝∠DAF，
同理得∠BCE＝∠ADF，
在△BCE和△ADF中，
，
∴△BCE≌△ADF（ASA），
∴S△BCE＝S△ADF，
∵点E在▱ABCD内部，
∴S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，
∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，
∵▱ABCD的面积为S1，四边形AEDF的面积为S2，
∴＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共8小题，共68分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB，CD交于点G，H，则BG与DH有怎样数量关系？证明你的结论．
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，根据平行线的性质证明∠E＝∠F，角边角证明△AFG≌△CEH，其性质得AG＝CH，进而可证明BG＝DH．
解：BG＝DH，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠C，AB＝DC，
∴∠E＝∠F，
又∵BE＝DF，AF＝AD+DF，CE＝CB+BE，
∴AF＝CE，
在△CEH和△AFG中，
∴△AFG≌△CEH（ASA），
∴AG＝CH，
∴BG＝DH．
20．某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒．当人或车随意经过该路口时，遇到哪一种灯的可能性最大？遇到哪一种灯的可能性最小？根据什么？
【分析】根据在这几种灯中，每种灯时间的长短，即可得出答案．
【解答】.解：因为绿灯持续的时间最长，黄灯持续的时间最短，
所以人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的可能性最大，
遇到黄灯的可能性最小．
21．为更有效地开展“线上教学”工作，某市就学生参与线上学习的工具进行了电子问卷调查，并将调查结果绘制成图1和图2所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数是 5000 人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中表示观点B的扇形的圆心角度数为 18 度；
（4）在扇形统计图中表示观点E的百分比是 4% ．
【分析】（1）根据选A的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的总人数；
（2）根据（1）中的结果，可以求得选C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据选B的人数为250，调查的总人数为5000，即可计算出在扇形统计图中表示观点B的扇形的圆心角度数；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中表示观点E的百分比．
解：（1）本次调查的总人数是：2300÷46%＝5000（人），
故答案为：5000；
（2）选用C的学生有：5000×30%＝1500（人），
补充完整的条形统计图如右图所示；
（3）在扇形统计图中表示观点B的扇形的圆心角度数为：360°×＝18°，
故答案为：18；
（4）在扇形统计图中表示观点E的百分比是：×100%＝4%，
故答案为：4%．
22．如图，在▱ABCD中，BC＝6cm，点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E的运动速度为2cm/s，点F的运动速度为lcm/s，它们同时出发，设运动的时间为t秒，当t为何值时，EF∥AB．
【分析】当运动时间为t秒时，BF＝tcm，AE＝（6﹣2t）cm，由EF∥AB，BF∥AE可得出四边形ABFE为平行四边形，利用平行四边形的性质可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：当运动时间为t秒时，BF＝tcm，AE＝（6﹣2t）cm，
∵EF∥AB，BF∥AE，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴BF＝AE，即t＝6﹣2t，
解得：t＝2．
答：当t＝2秒时，EF∥AB．
23．如图，为6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点均为格点，在图中已标出线段AB，A，B均为格点，按要求完成下列问题．
（1）以AB为对角线画一个面积最小的菱形AEBF，且E，F为格点；
（2）在（1）中该菱形的边长是 ，面积是 6 ；
（3）以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点，则可画 3 个菱形．
【分析】（1）根据菱形的定义以及已知条件画出满足条件的菱形即可．
（2）利用勾股定理，菱形的面积公式计算即可．
（3）画出满足条件的菱形即可判断．
解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．
（2）AE＝＝，菱形AEBF的面积＝×6×2＝6，
故答案为，6．
（3）如图备用图可知：可以画3个菱形，
故答案为3．
24．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，BE平分∠ABC，试判断四边形DBFE的形状，并说明理由．
【分析】根据平行四边形的判定得出四边形BDEF是平行四边形，再利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定得出DE＝BD，进而利用菱形的判定解答即可．
解：四边形DBFE是菱形，理由如下：
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∴DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠EBF，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴BD＝DE，
∴平行四边形DBEF是菱形．
25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，
AC＝2，BC＝3．点E是BC延长线上一点，且CE＝3，连结DE．
（1）求证：四边形ACED为矩形．
（2）连结OE，求OE的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝3，AD∥BC，得到AD＝CE，推出四边形ACED是平行四边形，由垂直的定义得到∠ACE＝90°，于是得到结论；
（2）根据三角形的中位线定理得到OC＝DE＝AC＝1，由勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC＝3，AD∥BC，
∵CE＝3，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE＝90°，
∴四边形ACED为矩形；
（2）解：∵BO＝DO，BC＝CE，
∴OC＝DE＝AC＝1，
∵∠ACE＝90°，
∴OE＝＝＝．
26．如图1，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图2，连接EF、CF，若CE＝8，求四边形BEFC的面积；
（3）如图3，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG．
【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠GCB＝∠FBA，利用ASA定理证明△ABF≌△BCE；
（2）根据全等三角形的性质得到BF＝CE＝8，根据三角形的面积公式计算，得到答案；
（3）作DH⊥CE，设AB＝CD＝BC＝2a，根据勾股定理用a表示出CE，根据三角形的面积公式求出BG，根据勾股定理求出CG，证明△CHD≌△BGC，得到CH＝BG，证明CH＝GH，根据线段垂直平分线的性质证明结论．
【解答】（1）证明：∵BF⊥CE，
∴∠CGB＝90°，
∴∠GCB+∠CBG＝90，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，
∴∠FBA+∠CBG＝90，
∴∠GCB＝∠FBA，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA）；
（2）解：∵△ABF≌△BCE，
∴BF＝CE＝8，
∴四边形BEFC的面积＝△BCE的面积+△FCE的面积
＝×CE×FG+×CE×BG
＝×CE×（FG+BG）
＝×CE×BF
＝×8×8
＝32；
（3）证明：如图3，过点D作DH⊥CE于H，
设AB＝CD＝BC＝2a，
∵点E是AB的中点，
∴EA＝EB＝AB＝a，
∴CE＝＝a，
在Rt△CEB中，BG•CE＝CB•EB，
∴BG＝＝a，
∴CG＝＝a，
∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝∠CBF，
∵CD＝BC，∠CHD＝∠CGB＝90°，
∴△CHD≌△BGC（AAS），
∴CH＝BG＝a，
∴GH＝CG﹣CH＝a＝CH，
∵CH＝GH，DH⊥CE，
∴CD＝GD；
2020-2021学年苏科版八年级下学期期中数学试卷
一、选择题
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．某校共有2000名学生，为了解学生对“七步洗手法”的掌握情况，现采用抽样调查，如果按10%的比例抽样，则样本容量是（ ）
A．2000 B．200 C．20 D．2
3．下面调查方式中，合适的是（ ）
A．试航前对我国第一艘国产航母各系统的检查，选择抽样调查方式
B．了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择普查方式
C．为有效控制“新冠疫情”的传播，对国外入境人员的健康状况，采用普查方式
D．调查某新型防火材料的防火性能，采用普查的方式
4．一组数据的样本容量是50，若其中一个数出现的频率为0.5，则该数出现的频数为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．100
5．“抛掷一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ）
A．确定事件 B．必然事件 C．随机事件 D．不可能事件
6．下列说法正确的是（ ）
A．矩形的对角线相等垂直 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线相等 D．菱形的四个角都是直角
7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论正确的是（ ）
A．AC＝AD B．BC＝DE C．AB⊥EB D．∠A＝∠EBC
8．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．若正方形的对角线长为，则该正方形的边长为 ．
10．如果用A表示事件“三角形的内角和为180°”，那么P（A）＝ ．
11．空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，宜选用 统计图．
12．如图，菱形ABCD的周长是16，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是 ．
13．一个不透明袋子中装有3个红球，2个白球，1个蓝球，从中任意摸一球，则摸到 （颜色）球的可能性最大．
14．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是 ．
15．如图，△ABC中，∠BAC＝20°，△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，连接对应点C、D，AE垂直平分CD于点F，则旋转角度是 °．
16．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为 ．
17．如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝1，则四边形BEDF的周长是 ．
18．如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE，设▱ABCD的面积为S1，四边形AEDF的面积为S2，则的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共68分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB，CD交于点G，H，则BG与DH有怎样数量关系？证明你的结论．
20．某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒．当人或车随意经过该路口时，遇到哪一种灯的可能性最大？遇到哪一种灯的可能性最小？根据什么？
21．为更有效地开展“线上教学”工作，某市就学生参与线上学习的工具进行了电子问卷调查，并将调查结果绘制成图1和图2所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数是 人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中表示观点B的扇形的圆心角度数为 度；
（4）在扇形统计图中表示观点E的百分比是 ．
22．如图，在▱ABCD中，BC＝6cm，点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E的运动速度为2cm/s，点F的运动速度为lcm/s，它们同时出发，设运动的时间为t秒，当t为何值时，EF∥AB．
23．如图，为6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点均为格点，在图中已标出线段AB，A，B均为格点，按要求完成下列问题．
（1）以AB为对角线画一个面积最小的菱形AEBF，且E，F为格点；
（2）在（1）中该菱形的边长是 ，面积是 ；
（3）以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点，则可画 个菱形．
24．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，BE平分∠ABC，试判断四边形DBFE的形状，并说明理由．
25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，
AC＝2，BC＝3．点E是BC延长线上一点，且CE＝3，连结DE．
（1）求证：四边形ACED为矩形．
（2）连结OE，求OE的长．
26．如图1，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图2，连接EF、CF，若CE＝8，求四边形BEFC的面积；
（3）如图3，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．某校共有2000名学生，为了解学生对“七步洗手法”的掌握情况，现采用抽样调查，如果按10%的比例抽样，则样本容量是（ ）
A．2000 B．200 C．20 D．2
【分析】一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
解：2000×10%＝200，故样本容量是200．
故选：B．
3．下面调查方式中，合适的是（ ）
A．试航前对我国第一艘国产航母各系统的检查，选择抽样调查方式
B．了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择普查方式
C．为有效控制“新冠疫情”的传播，对国外入境人员的健康状况，采用普查方式
D．调查某新型防火材料的防火性能，采用普查的方式
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解：A、试航前对我国第一艘国产航母各系统的检查，零部件很重要，应全面检查；
B、了解一批袋装食品是否含有防腐剂，适合抽样调查；
C、为有效控制“新冠疫情”的传播，对国外入境人员的健康状况，适合采用普查方式；
D、调査某新型防火材料的防火性能，适合抽样调查．
故选：C．
4．一组数据的样本容量是50，若其中一个数出现的频率为0.5，则该数出现的频数为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．100
【分析】根据频率、频数的关系：频数＝频率×数据总和，可得这一小组的频数．
解：∵容量是50，某一组的频率是0.5，
∴样本数据在该组的频数＝0.5×50＝25．
故选：B．
5．“抛掷一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ）
A．确定事件 B．必然事件 C．随机事件 D．不可能事件
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：“抛掷一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是随机事件，
故选：C．
6．下列说法正确的是（ ）
A．矩形的对角线相等垂直 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线相等 D．菱形的四个角都是直角
【分析】根据矩形、菱形的性质和正方形的性质判断即可．
解：A、矩形的对角线相等且平分，选项错误，不符合题意；
B、菱形的对角线垂直且平分，选项错误，不符合题意；
C、正方形的对角线相等，选项正确，符合题意；
D、矩形的四个角都是直角，而菱形的四个角不是直角，选项错误，不符合题意；
故选：C．
7．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论正确的是（ ）
A．AC＝AD B．BC＝DE C．AB⊥EB D．∠A＝∠EBC
【分析】根据旋转的性质得到AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故A错误，B错误；可得出∠ACD＝∠BCE，根据三角形的内角和得到∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，求得∠A＝∠EBC，故D正确；由于∠A+∠ABC不一定等于90°，于是得到∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故C错误．
解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故A错误，B错误；
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠A＝∠ADC＝，∠CBE＝，
∴∠A＝∠EBC，故D正确；
∵∠A+∠ABC不一定等于90°，
∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故C错误．
故选：D．
8．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】连接DN，根据三角形中位线定理得到EF＝DN，根据题意得到当点N与点B重合时，DN最大，根据勾股定理计算，得到答案．
解：连接DN，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，
∴EF＝DN，
∵点M，N分别为线段BC，AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN最大，此时DN＝＝10，
∴EF长度的最大值为：×10＝5，
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．若正方形的对角线长为，则该正方形的边长为 1 ．
【分析】利用正方形的性质，可得AD＝CD，∠D＝90°，再利用勾股定理求正方形的边长．
解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠D＝90°
设AD＝CD＝x，在Rt△ADC中，
∵AD2+CD2＝AC2
即x2+x2＝2
解得：x＝1，（x＝﹣1舍去）
所以该正方形的边长为1
故答案为：1
10．如果用A表示事件“三角形的内角和为180°”，那么P（A）＝ 1 ．
【分析】先判断出事件A是必然事件，再根据必然事件、随机事件及不可能事件的概率可得答案．
解：∵事件“三角形的内角和为180°”是必然事件，
∴P（A）＝1，
故答案为：1．
11．空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，宜选用 扇形 统计图．
【分析】反映各个部分占整体的百分比，因此选择扇形统计图比较合适．
解：要反映空气中各成分所占的百分比，因此用扇形统计图比较合适，
故答案为：扇形．
12．如图，菱形ABCD的周长是16，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是 4 ．
【分析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据∠ABC＝60°，而AB＝BC，易证△BAC是等边三角形，从而可求AC的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵菱形ABCD的周长是16，
∴AB＝BC＝AC＝4．
故答案为：4．
13．一个不透明袋子中装有3个红球，2个白球，1个蓝球，从中任意摸一球，则摸到 红 （颜色）球的可能性最大．
【分析】分别计算出各球的概率，然后根据概率的大小进行判断．
解：从中任意摸一球，摸到红球的概率＝＝，摸到白球的概率＝＝，摸到蓝球的概率＝，
所以从中任意摸一球，则摸到红球的可能性最大．
故答案为红．
14．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是 1 ．
【分析】由题可知△DEO≌△BFO，阴影面积就等于△BOC面积．
解：由题意可知
△DEO≌△BFO，
∴S△DEO＝S△BFO，
阴影面积＝三角形BOC面积＝×2×1＝1．
故答案为：1．
15．如图，△ABC中，∠BAC＝20°，△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，连接对应点C、D，AE垂直平分CD于点F，则旋转角度是 40 °．
【分析】根据旋转的性质得出AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，求出∠DAE＝∠CAE＝20°，再求出∠DAC的度数即可．
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，∠BAC＝20°
∴AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，
∵AE垂直平分CD于点F，
∴∠DAE＝∠CAE＝20°，
∴∠DAC＝20°+20°＝40°，
即旋转角度数是40°，
故答案为：40．
16．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为 7 ．
【分析】因为ABCD是正方形，所以AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，则有∠ABF＝∠DAE，又因为DE⊥a、BF⊥a，根据AAS易证△AFB≌△AED，所以AF＝DE＝4，BF＝AE＝3，则EF的长可求．
解：∵ABCD是正方形
∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°
∵∠ABC+∠ABF＝∠BAD+∠DAE
∴∠ABF＝∠DAE
在△AFB和△AED中
∠ABF＝∠DAE，∠AFB＝∠AED，AB＝AD
∴△AFB≌△AED
∴AF＝DE＝4，BF＝AE＝3
∴EF＝AF+AE＝4+3＝7．
故答案为：7．
17．如图，E、F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝1，则四边形BEDF的周长是 20 ．
【分析】连接BD交AC于点O，则可证得OE＝OF，OD＝OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论．
解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝，
由勾股定理得：DE＝，
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×5＝20，
故答案为：20
18．如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE，设▱ABCD的面积为S1，四边形AEDF的面积为S2，则的值是 2 ．
【分析】首先由ASA可证明：△BCE≌△ADF；由平行四边形的性质可知：S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，进而可求出的值．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AF∥BE，
∴∠EBA+∠BAF＝180°，
∴∠CBE＝∠DAF，
同理得∠BCE＝∠ADF，
在△BCE和△ADF中，
，
∴△BCE≌△ADF（ASA），
∴S△BCE＝S△ADF，
∵点E在▱ABCD内部，
∴S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，
∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，
∵▱ABCD的面积为S1，四边形AEDF的面积为S2，
∴＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共8小题，共68分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB，CD交于点G，H，则BG与DH有怎样数量关系？证明你的结论．
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，根据平行线的性质证明∠E＝∠F，角边角证明△AFG≌△CEH，其性质得AG＝CH，进而可证明BG＝DH．
解：BG＝DH，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠C，AB＝DC，
∴∠E＝∠F，
又∵BE＝DF，AF＝AD+DF，CE＝CB+BE，
∴AF＝CE，
在△CEH和△AFG中，
∴△AFG≌△CEH（ASA），
∴AG＝CH，
∴BG＝DH．
20．某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒．当人或车随意经过该路口时，遇到哪一种灯的可能性最大？遇到哪一种灯的可能性最小？根据什么？
【分析】根据在这几种灯中，每种灯时间的长短，即可得出答案．
【解答】.解：因为绿灯持续的时间最长，黄灯持续的时间最短，
所以人或车随意经过该路口时，遇到绿灯的可能性最大，
遇到黄灯的可能性最小．
21．为更有效地开展“线上教学”工作，某市就学生参与线上学习的工具进行了电子问卷调查，并将调查结果绘制成图1和图2所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数是 5000 人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中表示观点B的扇形的圆心角度数为 18 度；
（4）在扇形统计图中表示观点E的百分比是 4% ．
【分析】（1）根据选A的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的总人数；
（2）根据（1）中的结果，可以求得选C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据选B的人数为250，调查的总人数为5000，即可计算出在扇形统计图中表示观点B的扇形的圆心角度数；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中表示观点E的百分比．
解：（1）本次调查的总人数是：2300÷46%＝5000（人），
故答案为：5000；
（2）选用C的学生有：5000×30%＝1500（人），
补充完整的条形统计图如右图所示；
（3）在扇形统计图中表示观点B的扇形的圆心角度数为：360°×＝18°，
故答案为：18；
（4）在扇形统计图中表示观点E的百分比是：×100%＝4%，
故答案为：4%．
22．如图，在▱ABCD中，BC＝6cm，点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E的运动速度为2cm/s，点F的运动速度为lcm/s，它们同时出发，设运动的时间为t秒，当t为何值时，EF∥AB．
【分析】当运动时间为t秒时，BF＝tcm，AE＝（6﹣2t）cm，由EF∥AB，BF∥AE可得出四边形ABFE为平行四边形，利用平行四边形的性质可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：当运动时间为t秒时，BF＝tcm，AE＝（6﹣2t）cm，
∵EF∥AB，BF∥AE，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴BF＝AE，即t＝6﹣2t，
解得：t＝2．
答：当t＝2秒时，EF∥AB．
23．如图，为6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点均为格点，在图中已标出线段AB，A，B均为格点，按要求完成下列问题．
（1）以AB为对角线画一个面积最小的菱形AEBF，且E，F为格点；
（2）在（1）中该菱形的边长是 ，面积是 6 ；
（3）以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点，则可画 3 个菱形．
【分析】（1）根据菱形的定义以及已知条件画出满足条件的菱形即可．
（2）利用勾股定理，菱形的面积公式计算即可．
（3）画出满足条件的菱形即可判断．
解：（1）如图，菱形AEBF即为所求．
（2）AE＝＝，菱形AEBF的面积＝×6×2＝6，
故答案为，6．
（3）如图备用图可知：可以画3个菱形，
故答案为3．
24．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，BE平分∠ABC，试判断四边形DBFE的形状，并说明理由．
【分析】根据平行四边形的判定得出四边形BDEF是平行四边形，再利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定得出DE＝BD，进而利用菱形的判定解答即可．
解：四边形DBFE是菱形，理由如下：
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∴DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠EBF，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴BD＝DE，
∴平行四边形DBEF是菱形．
25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，
AC＝2，BC＝3．点E是BC延长线上一点，且CE＝3，连结DE．
（1）求证：四边形ACED为矩形．
（2）连结OE，求OE的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝3，AD∥BC，得到AD＝CE，推出四边形ACED是平行四边形，由垂直的定义得到∠ACE＝90°，于是得到结论；
（2）根据三角形的中位线定理得到OC＝DE＝AC＝1，由勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC＝3，AD∥BC，
∵CE＝3，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE＝90°，
∴四边形ACED为矩形；
（2）解：∵BO＝DO，BC＝CE，
∴OC＝DE＝AC＝1，
∵∠ACE＝90°，
∴OE＝＝＝．
26．如图1，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图2，连接EF、CF，若CE＝8，求四边形BEFC的面积；
（3）如图3，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG．
【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠GCB＝∠FBA，利用ASA定理证明△ABF≌△BCE；
（2）根据全等三角形的性质得到BF＝CE＝8，根据三角形的面积公式计算，得到答案；
（3）作DH⊥CE，设AB＝CD＝BC＝2a，根据勾股定理用a表示出CE，根据三角形的面积公式求出BG，根据勾股定理求出CG，证明△CHD≌△BGC，得到CH＝BG，证明CH＝GH，根据线段垂直平分线的性质证明结论．
【解答】（1）证明：∵BF⊥CE，
∴∠CGB＝90°，
∴∠GCB+∠CBG＝90，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，
∴∠FBA+∠CBG＝90，
∴∠GCB＝∠FBA，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA）；
（2）解：∵△ABF≌△BCE，
∴BF＝CE＝8，
∴四边形BEFC的面积＝△BCE的面积+△FCE的面积
＝×CE×FG+×CE×BG
＝×CE×（FG+BG）
＝×CE×BF
＝×8×8
＝32；
（3）证明：如图3，过点D作DH⊥CE于H，
设AB＝CD＝BC＝2a，
∵点E是AB的中点，
∴EA＝EB＝AB＝a，
∴CE＝＝a，
在Rt△CEB中，BG•CE＝CB•EB，
∴BG＝＝a，
∴CG＝＝a，
∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝∠CBF，
∵CD＝BC，∠CHD＝∠CGB＝90°，
∴△CHD≌△BGC（AAS），
∴CH＝BG＝a，
∴GH＝CG﹣CH＝a＝CH，
∵CH＝GH，DH⊥CE，
∴CD＝GD；
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