苏科版2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷 （解析版）16

这是一份苏科版2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷 （解析版）16，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列调查中，适合采用普查的是（ ）
A．了解一批电视机的使用寿命
B．了解全省学生的家庭1周内丢弃塑料袋的数量
C．为保证某种新研发的战斗机试飞成功，对其零部件进行检查
D．了解扬州市中学生的近视率
3．江苏移动掌上营业厅，推出“每日签到﹣﹣抽奖活动”：每个手机号码每日只能签到1次，且只能抽奖1次，抽奖结果有流量红包、话费充值卷、惊喜大礼包、谢谢参与．小明的爸爸已经连续3天签到，且都抽到了流量红包，则“他第4天签到后，抽奖结果是流量红包”是（ ）
A．必然事件B．不可能事件
C．随机事件D．必然事件或不可能事件
4．某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为．小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张（ ）
A．能中奖一次B．能中奖两次
C．至少能中奖一次D．中奖次数不能确定
5．下列命题中错误的是（ ）
A．平行四边形的对边相等
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线相等
D．对角线相等的四边形是矩形
6．如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A’，若∠C＝120°，∠A＝26°，则∠A′DB的度数是（ ）
A．120°B．112°C．110°D．100°
7．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长AF交CD于点G，已知CG＝2，DG＝1，则BC的长是（ ）
A．3B．2C．2D．2
8．如图，已知正方形ABCD，对角线的交点M（2，2）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（ ）
A．（﹣2012，2）B．（﹣2012，﹣2）C．（﹣2013，﹣2）D．（﹣2013，2）
二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在管题卡相应位置上）
9．在等腰直角三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有 个．
10．在一次数学测试中，某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，第五组的频率是0.2，则第六组的频数是 ．
11．在英语句子“Wishyusuccess!”（祝你成功！）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率为 ．
12．为了估计鱼池里有多少条鱼，先捕上100条作上记号，然后放回到鱼池里，过一段时间，待有记号的鱼完全混合鱼群后，再捕上200条鱼，发现其中带记号的鱼20条，则可判断鱼池里大约有 条鱼．
13．如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C＝ 度．
14．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了五组条件：①AB＝AD，且AC＝BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD；③AB⊥AD，且AB＝AD；④AB＝BD，且AB⊥BD；⑤OB＝OC，且OB⊥OC．其中正确的是 （填写序号）．
15．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是线段DE上一点，连接AF，BF，若AB＝16，EF＝1，∠AFB＝90°，则BC的长为 ．
16．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1＝110°，则∠α＝ ．
17．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值＝ ．
18．已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝ °时，GC＝GB．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请把答案写在等题卡相应区域内）
19．如图，在▱ABCD中，BE＝DF．求证：AE＝CF．
20．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ；（精确到0.01）
（2）估算袋中白球的个数．
21．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）直接写出：以A、B、C为顶点的平形四边形的第四个顶点D的坐标 ．
22．如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP＝AB，PB＝PC．连接AC、PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
（2）求∠PAC的度数．
23．为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图表：
调查结果统计表
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）填空：这次调查的样本容量是 ，a＝ ，m＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）求扇形统计图中扇形B的圆心角度数；
（4）该校共有1000人，请估计每月零花钱的数额x在30≤x＜90范围的人数．
24．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝BD．
（2）求证：四边形ADCF是菱形．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若四边形CDEF的周长是16cm，AC的长为8cm，求线段AB的长度．
26．如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，AB∥OC，点B，C的坐标分别为（15，8），（21，0），动点M从点A沿A→B以每秒1个单位的速度运动；动点N从点C沿C→O以每秒2个单位的速度运动．M，N同时出发，设运动时间为t秒．
（1）在t＝3时，M点坐标 ，N点坐标 ；
（2）当t为何值时，四边形OAMN是矩形？
（3）运动过程中，四边形MNCB能否为菱形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
28．正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；
（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称的图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．下列调查中，适合采用普查的是（ ）
A．了解一批电视机的使用寿命
B．了解全省学生的家庭1周内丢弃塑料袋的数量
C．为保证某种新研发的战斗机试飞成功，对其零部件进行检查
D．了解扬州市中学生的近视率
【分析】在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
解：A．了解一批电视机的使用寿命适合抽样调查；
B．了解全省学生的家庭1周内丢弃塑料袋的数量适合抽样调查；
C．为保证某种新研发的战斗机试飞成功，对其零部件进行检查适合全面调查；
D．了解扬州市中学生的近视率适合抽样调查；
故选：C．
3．江苏移动掌上营业厅，推出“每日签到﹣﹣抽奖活动”：每个手机号码每日只能签到1次，且只能抽奖1次，抽奖结果有流量红包、话费充值卷、惊喜大礼包、谢谢参与．小明的爸爸已经连续3天签到，且都抽到了流量红包，则“他第4天签到后，抽奖结果是流量红包”是（ ）
A．必然事件B．不可能事件
C．随机事件D．必然事件或不可能事件
【分析】直接利用随机事件的定义分析得出答案．
解：小明的爸爸已经连续3天签到，且都抽到了流量红包，
则“他第4天签到后，抽奖结果是流量红包”是随机事件．
故选：C．
4．某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为．小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张（ ）
A．能中奖一次B．能中奖两次
C．至少能中奖一次D．中奖次数不能确定
【分析】由于中奖概率为，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生．
解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定．故选D．
5．下列命题中错误的是（ ）
A．平行四边形的对边相等
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线相等
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】根据平行四边形和矩形的性质和判定进行判定．
解：根据平行四边形和矩形的性质和判定可知：选项A、B、C均正确．D中说法应为：对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
故选：D．
6．如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A’，若∠C＝120°，∠A＝26°，则∠A′DB的度数是（ ）
A．120°B．112°C．110°D．100°
【分析】根据轴对称和平行线的性质，可得∠A'DE＝∠B，又根据∠C＝120°，∠A＝26°可求出∠B的值，继而求出答案．
解：由题意得：∠A'DE＝∠B＝180°﹣120°﹣26°＝34°，
∠BDE＝180°﹣∠B＝146°，
故∠A'DB＝∠BDE﹣∠A'DE＝146°﹣34°＝112°．
故选：B．
7．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长AF交CD于点G，已知CG＝2，DG＝1，则BC的长是（ ）
A．3B．2C．2D．2
【分析】连接EG，由折叠的性质可得BE＝EG，又由E是BC边的中点，可得EF＝EC，然后证得Rt△EGF≌Rt△EGC（HL），得出FG＝CG＝2，继而求得线段AG的长，再利用勾股定理求解，即可求得答案．
解：连接EG，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE＝EF，
∴EF＝EC，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C＝90°，
∴∠EFG＝∠B＝90°，
∵在Rt△EGF和Rt△EGC中，
，
∴Rt△EGF≌Rt△EGC（HL），
∴FG＝CG＝2，
∵在矩形ABCD中，AB＝CD＝CG+DG＝2+1＝3，
∴AF＝AB＝3，
∴AG＝AF+FG＝3+2＝5，
∴BC＝AD＝＝＝2．
故选：B．
8．如图，已知正方形ABCD，对角线的交点M（2，2）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（ ）
A．（﹣2012，2）B．（﹣2012，﹣2）C．（﹣2013，﹣2）D．（﹣2013，2）
【分析】根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2﹣n，﹣2），当n为偶数时为（2﹣n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．
解：∵对角线交点M的坐标为（2，2），
根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2﹣1，﹣2），即（1，﹣2），
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2﹣2，2），即（0，2），
第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2﹣3，﹣2），即（﹣1，﹣2），
第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2﹣n，﹣2），当n为偶数时为（2﹣n，2），
∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（﹣2012，2）．
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在管题卡相应位置上）
9．在等腰直角三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有 3 个．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：由题可得，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有3个：矩形、菱形、正方形，
故答案为：3．
10．在一次数学测试中，某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，第五组的频率是0.2，则第六组的频数是 5 ．
【分析】一个容量为50的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，根据第五组的频率是0.2，求出第五组的频数，用样本容量减去前五组的频数，得到第六组的频数．
解：∵一个容量为50的样本，
把它分成6组，
第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，
第五组的频率是0.2，则第五组的频数是0.2×50＝10，
∴第六组的频数是50﹣6﹣8﹣9﹣10﹣12＝5．
故答案为：5．
11．在英语句子“Wishyusuccess!”（祝你成功！）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率为 ．
【分析】让“s”的个数除以所有字母的个数即为所求的概率．
解：在英语句子“Wishyusuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个；故其概率为＝．
12．为了估计鱼池里有多少条鱼，先捕上100条作上记号，然后放回到鱼池里，过一段时间，待有记号的鱼完全混合鱼群后，再捕上200条鱼，发现其中带记号的鱼20条，则可判断鱼池里大约有 1000 条鱼．
【分析】根据200条鱼，发现带有记号的鱼只有20条，则可求出带记号的鱼所占的百分比，再根据带记号的总计有100条，即可求得湖里鱼的总条数．
解：根据题意得：
100÷（20÷200×100%）＝1000（条）．
答：鱼池里大约有1000条鱼；
故答案为：1000．
13．如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C＝ 67.5 度．
【分析】由四边形ABCD是正方形，可得AB＝BC，∠CBD＝45°，又由折叠的性质可得：A′B＝AB，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠BA′C的度数．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠CBD＝45°，
根据折叠的性质可得：A′B＝AB，
∴A′B＝BC，
∴∠BA′C＝∠BCA′＝＝＝67.5°．
故答案为：67.5．
14．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了五组条件：①AB＝AD，且AC＝BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD；③AB⊥AD，且AB＝AD；④AB＝BD，且AB⊥BD；⑤OB＝OC，且OB⊥OC．其中正确的是 ①②③⑤ （填写序号）．
【分析】由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形，①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AD，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，②正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AD，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，③正确；
④AB＝BD，且AB⊥BD，无法得出四边形ABCD是正方形，故④错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，OB＝OC，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵OB⊥OC，
∴四边形ABCD是正方形，⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
15．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是线段DE上一点，连接AF，BF，若AB＝16，EF＝1，∠AFB＝90°，则BC的长为 18 ．
【分析】根据直角三角形的性质得到DF＝8，根据EF＝1，得到DE＝9，根据三角形中位线定理解答即可．
解：∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点，
∴DF＝AB＝8，
∵EF＝1，
∴DE＝9，
∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴BC＝2DE＝18，
故答案为：18
16．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1＝110°，则∠α＝ 20° ．
【分析】根据矩形的性质得∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，根据旋转的性质得∠D′＝∠D＝90°，∠4＝α，利用对顶角相等得到∠1＝∠2＝110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3＝70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．
解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，
∴∠D′＝∠D＝90°，∠4＝α，
∵∠1＝∠2＝110°，
∴∠3＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°，
∴∠4＝90°﹣70°＝20°，
∴∠α＝20°．
故答案为：20°．
17．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值＝ 5 ．
【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP＝QN＝BC，即可得出答案．
解：
作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ＝CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ＝BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP＝AC＝3，BP＝BD＝4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝5，
即NQ＝5，
∴MP+NP＝QP+NP＝QN＝5，
故答案为：5．
18．已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜360°）得到矩形AEFG，当θ＝ 60或300 °时，GC＝GB．
【分析】当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG＝60°，即可得到旋转角α的度数．
解：当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝AD＝AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角θ＝360°﹣60°＝300°．
故答案为：60或300
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请把答案写在等题卡相应区域内）
19．如图，在▱ABCD中，BE＝DF．求证：AE＝CF．
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出∠ADE＝∠CBF，再由BE＝DF，得出DE＝BF，证明△ADE≌△CBF，即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵BE＝DF，
∴DE＝BF，
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF．
20．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 0.25 ；（精确到0.01）
（2）估算袋中白球的个数．
【分析】（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；
（2）列用概率公式列出方程求解即可．
解：（1）251÷1000＝0.251；
∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近，
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；
（2）设袋中白球为x个，
＝0.25，
x＝3．
答：估计袋中有3个白球，
故答案为：（1）0.25．
21．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）直接写出：以A、B、C为顶点的平形四边形的第四个顶点D的坐标 （1，1）或（﹣3，﹣1）或（﹣5，3） ．
【分析】（1）根据旋转的性质即可作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）根据网格即可写出以A、B、C为顶点的平形四边形的第四个顶点D的坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）顶点D的坐标为：
D1（1，1）或D2（﹣3，﹣1）或D3（﹣5，3）．
故答案为：（1，1）或（﹣3，﹣1）或（﹣5，3）．
22．如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP＝AB，PB＝PC．连接AC、PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
（2）求∠PAC的度数．
【分析】（1）AP＝AB，PB＝PC，可得∠ABC﹣∠PBC＝∠DCB﹣∠PCB，即∠ABP＝∠DCP，因此可证得两三角形全等．
（2）根据正方形的性质得出∠CAD＝45°，得出△PAD为等边三角形，可求得∠BAP＝30°∠PAC＝∠PAD﹣∠CAD＝15°，进而解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°．
∵PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB．
∴∠ABC﹣∠PBC＝∠DCB﹣∠PCB，即∠ABP＝∠DCP．
又∵AB＝DC，PB＝PC，
∴△APB≌△DPC（SAS）．
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°．
∵△APB≌△DPC，
∴AP＝DP．
又∵AP＝AB＝AD，
∴DP＝AP＝AD．
∴△APD是等边三角形．
∴∠DAP＝60°．
∴∠PAC＝∠DAP﹣∠DAC＝15°．
23．为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图表：
调查结果统计表
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）填空：这次调查的样本容量是 50 ，a＝ 16 ，m＝ 8 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）求扇形统计图中扇形B的圆心角度数；
（4）该校共有1000人，请估计每月零花钱的数额x在30≤x＜90范围的人数．
【分析】（1）根据C组频数及其所占百分比可得总人数，总人数减去其他各组人数即可求得B组人数，再用A组人数除以总人数可得m的值；
（2）根据以上所求结果即可补全直方图；
（3）用360°乘以B组人数所占比例；
（4）总人数乘以样本中B、C组人数之和所占比例即可得．
解：（1）这次调查的样本容量是20÷40%＝50，
则a＝50﹣（4+20+8+2）＝16，m%＝×100%＝8%，即m＝8，
故答案为：50、16、8；
（2）补全频数直方图如下：
（3）扇形统计图中扇形B的圆心角度数为360°×＝115.2°；
（4）估计每月零花钱的数额x在30≤x＜90范围的人数为1000×＝720人．
24．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝BD．
（2）求证：四边形ADCF是菱形．
【分析】（1）由“AAS”可证△AFE≌△DBE，可得AF＝BD；
（2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形的性质可得AD＝CD，即可得四边形ADCF是菱形．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE
∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，
∴AE＝DE，BD＝CD
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS））
∴AF＝BD
（2）由（1）知，AF＝BD，且BD＝CD，
∴AF＝CD，且AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴
∴四边形ADCF是菱形
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若四边形CDEF的周长是16cm，AC的长为8cm，求线段AB的长度．
【分析】（1）由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE＝BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；
（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB＝2DC，即可得出四边形DCFE的周长＝AB+BC，故BC＝16﹣AB，然后根据勾股定理即可求得．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC．BC＝2DE，
又 EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形；
∴DC＝EF，
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB＝2DC，
∴四边形DCFE的周长＝AB+BC，
∵四边形DCFE的周长为16cm，AC的长8cm，
∴BC＝16﹣AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，
即AB2＝（16﹣AB）2+82，
解得：AB＝10cm，
26．如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
【分析】当点O运动到AC的中点（或OA＝OC）时，四边形AECF是矩形．由于CE平分∠BCA，那么有∠1＝∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1＝∠3，等量代换有∠2＝∠3，于OE＝OC，同理OC＝OF，于是OE＝OF，而OA＝OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．
解：当点O运动到AC的中点（或OA＝OC）时，四边形AECF是矩形．
证明：∵CE平分∠BCA，
∴∠1＝∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2，
∴EO＝CO，
同理，FO＝CO，
∴EO＝FO，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF是∠BCA的外角平分线，
∴∠4＝∠5，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠5＝∠2+∠4，
又∵∠1+∠5+∠2+∠4＝180°，
∴∠2+∠4＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
27．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，AB∥OC，点B，C的坐标分别为（15，8），（21，0），动点M从点A沿A→B以每秒1个单位的速度运动；动点N从点C沿C→O以每秒2个单位的速度运动．M，N同时出发，设运动时间为t秒．
（1）在t＝3时，M点坐标 （3，8） ，N点坐标 （15，0） ；
（2）当t为何值时，四边形OAMN是矩形？
（3）运动过程中，四边形MNCB能否为菱形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【分析】（1）根据点B、C的坐标求出AB、OA、OC，然后根据路程＝速度×时间求出AM、CN，再求出ON，然后写出点M、N的坐标即可；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，当AM＝ON时，四边形OAMN是矩形，然后列出方程求解即可；
（3）先求出四边形MNCB是平行四边形的t值，并求出CN的长度，然后过点B作BC⊥OC于D，得到四边形OABD是矩形，根据矩形的对边相等可得OD＝AB，BD＝OA，然后求出CD，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行验证．
解：（1）∵B（15，8），C（21，0），
∴AB＝15，OA＝8，
OC＝21，
当t＝3时，AM＝1×3＝3，
CN＝2×3＝6，
∴ON＝OC﹣CN＝21﹣6＝15，
∴点M（3，8），N（15，0）；
故答案为：（3，8）；（15，0）；
（2）当四边形OAMN是矩形时，AM＝ON，
∴t＝21﹣2t，
解得t＝7秒，
故t＝7秒时，四边形OAMN是矩形；
（3）存在t＝5秒时，四边形MNCB能否为菱形．
理由如下：四边形MNCB是平行四边形时，BM＝CN，
∴15﹣t＝2t，
解得：t＝5秒，
此时CN＝5×2＝10，
过点B作BD⊥OC于D，则四边形OABD是矩形，
∴OD＝AB＝15，BD＝OA＝8，
CD＝OC﹣OD＝21﹣15＝6，
在Rt△BCD中，BC＝＝10，
∴BC＝CN，
∴平行四边形MNCB是菱形，
故，存在t＝5秒时，四边形MNCB为菱形．
28．正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；
（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．
【分析】（1）连接AC，则AC必过O点，延长FO交AB于M，由于O是BD中点，易证得△AOM≌△FOE，则AO＝EF，且∠AOM＝∠FOC＝∠OFE＝45°，由此可证得AP⊥EF．
（2）方法与①类似，延长FP交AB于M，延长AP交BC于N，易证得四边形MBEP是正方形，可证得△APM≌△FEP，则AP＝EF，∠APM＝∠FEP；而∠APM＝∠FPN＝∠PEF，且∠PEF与∠PFE互余，故∠PFE+∠FPN＝90°，由此可证得AP⊥EF，所以（1）题的结论仍然成立．
（3）解题思路和方法同（2）．
解：（1）AP＝EF，AP⊥EF，理由如下：
连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；
∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，
∴四边形OECF是正方形，
∴OM＝OF＝OE＝AM，
∵∠MAO＝∠OFE＝45°，∠AMO＝∠EOF＝90°，
∴△AMO≌△FOE（AAS），
∴AO＝EF，且∠AOM＝∠OFE＝∠FOC＝45°，即OC⊥EF，
故AP＝EF，且AP⊥EF．
（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：
延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；
∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE＝90°，且∠MBP＝∠EBP＝45°，
∴四边形MBEP是正方形，
∴MP＝PE，∠AMP＝∠FPE＝90°；
又∵AB﹣BM＝AM，BC﹣BE＝EC＝PF，且AB＝BC，BM＝BE，
∴AM＝PF，
∴△AMP≌△FPE（SAS），
∴AP＝EF，∠APM＝∠FPN＝∠PEF
∵∠PEF+∠PFE＝90°，∠FPN＝∠PEF，
∴∠FPN+∠PFE＝90°，即AP⊥EF，
故AP＝EF，且AP⊥EF．
（3）题（1）（2）的结论仍然成立；
如右图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数m
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率

0.23


0.21


0.30


0.26


0.253


组别
A
B
C
D
E
分组（元）
0≤x＜30
30≤x＜60
60≤x＜90
90≤x＜120
120≤x＜150
频数
4
a
20
8
2
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球的次数m
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率

0.23


0.21


0.30


0.26


0.253

0.251
组别
A
B
C
D
E
分组（元）
0≤x＜30
30≤x＜60
60≤x＜90
90≤x＜120
120≤x＜150
频数
4
a
20
8
2