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苏科版2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷 （解析版）18
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这是一份苏科版2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷 （解析版）18，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年苏科版八年级下学期期中数学试卷
一、选择题
1．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在，，，，中，分式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列调查方式，你认为最合适的是（ ）
A．调查市场上某种白酒的塑化剂的含量，采用普查方式
B．调查鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数，采用普查方式
C．了解我市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
D．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
4．下列事件中的随机事件是（ ）
A．小明骑车经过某个十字路口时遇到红灯
B．太阳从东方升起
C．在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化
D．李刚的生日是2月31日
5．平行四边形的对角线长为x，y，一边长为12，则x，y的值可能是（ ）
A．8和14 B．10和14 C．18和20 D．10和34
6．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．内角和为360° B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
7．如果把中的x与y都扩大为原来的5倍，那么这个代数式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的5倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的10倍
8．为了早日实现“绿色太仓，花园之城”的目标，太仓对4000米长的城北河进行了绿化改造．为了尽快完成工期，施工队每天比原计划多绿化10米，结果提前2天完成．若原计划每天绿化x米，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在▱ABCD中，AB＝26，AD＝6，将▱ABCD绕点A旋转，当点D的对应点D′落在AB边上时，点C的对应点C′恰好与点B、C在同一直线上，则此时△C′D′B的面积为（ ）
A．120 B．240 C．260 D．480
10．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形； ②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4； ④当点H与点A重合时，EF＝．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①④ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共8题，每空2分，共16分.）
11．当x＝ 时，分式的值为零．
12．一个不透明的口袋中装有2个白色球，2个红色球，4个黄色球，搅匀后随机从袋中摸出1个球是红色球的概率是 ．
13．下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有 个．
14．平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠B＝ 度．
15．菱形ABCD中，边长为10，对角线AC＝12．则菱形的面积为 ．
16．若分式方程﹣2＝有增根，则m的值为 ．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则S△ECF的值为 ．
18．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是 ．
三．解答题：（本大题共8小题，共54分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤）
19．计算或化简：
（1）÷；
（2）．
20．化简代数式，再从﹣2，2，0，1四个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．
21．解方程：
（1）﹣＝0
（2）﹣＝1．
22．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．“五一”期间，小记者刘凯随机调查了城区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：
（1）求这次调查的家长人数，并补全图①；
（2）求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数；
（3）如果长春市有8万名初中生，持“无所谓”态度的学生大约有多少人？
23．正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB1C1．
（2）作出△AB1C1关于原点O成中心对称的△A1B2C2．
（3）请直接写出以A1、B2、C2为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ．
24．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
25．为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
污水处理设备
A型
B型
价格（万元/台）
m
m﹣3
月处理污水量（吨/台）
2200
1800
（1）求m的值；
（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问采用何种购买方案可以使得每月处理污水量的吨数为最多？并求出最多吨数．
26．如图，直线l1：y＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l2：y＝kx﹣6交于点C（4，2）．
（1）点A坐标为（ ， ），B为（ ， ）；
（2）在线段BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，四边形OBEF是平行四边形；
（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形．若存在，求出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分.）
1．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：B．
2．在，，，，中，分式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解：，的分母中含有字母，是分式．
故选：B．
3．下列调查方式，你认为最合适的是（ ）
A．调查市场上某种白酒的塑化剂的含量，采用普查方式
B．调查鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数，采用普查方式
C．了解我市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
D．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
解：A、调查市场上某种白酒的塑化剂的含量，应采用抽样调查方式，本选项说法不合适；
B、调查鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数，应采用抽样调查方式，本选项说法不合适；
C、了解我市每天的流动人口数，采用抽样调查方式，本选项说法合适；
D、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，本选项说法不合适；
故选：C．
4．下列事件中的随机事件是（ ）
A．小明骑车经过某个十字路口时遇到红灯
B．太阳从东方升起
C．在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化
D．李刚的生日是2月31日
【分析】根据各个事件发生的可能性，逐个做出判断即可．
解：A．小明骑车经过某个十字路口时遇到红灯，此事件是随机事件；
B．太阳从东方升起，此事件是必然事件；
C．在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化，此事件是不可能事件；
D．李刚的生日是2月31日，此事件是不可能事件；
故选：A．
5．平行四边形的对角线长为x，y，一边长为12，则x，y的值可能是（ ）
A．8和14 B．10和14 C．18和20 D．10和34
【分析】如图：因为平行四边形的对角线互相平分，所OB＝，OC＝，在△OBC中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，将各答案代入验证即可求得．
即x+y＞24，y﹣x＜24．
解：A、＝4+7＝11＜12，所以不可能；
B、＝5+7＝12＝12，所以不可能；
D、34﹣10＝24，所以不可能；
故选：C．
6．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．内角和为360° B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．
解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，
∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，
故选：C．
7．如果把中的x与y都扩大为原来的5倍，那么这个代数式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的5倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的10倍
【分析】根据题意得出算式，再根据分式的基本性质化简，即可得出答案．
解：根据题意得：＝＝，
即和原分式相等，
故选：A．
8．为了早日实现“绿色太仓，花园之城”的目标，太仓对4000米长的城北河进行了绿化改造．为了尽快完成工期，施工队每天比原计划多绿化10米，结果提前2天完成．若原计划每天绿化x米，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】关键描述语是：“提前2天完成绿化改造任务”．等量关系为：原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝2．
解：若设原计划每天绿化（x）m，实际每天绿化（x+10）m，
原计划的工作时间为：，实际的工作时间为：
方程应该为：﹣＝2．
故选：A．
9．如图，在▱ABCD中，AB＝26，AD＝6，将▱ABCD绕点A旋转，当点D的对应点D′落在AB边上时，点C的对应点C′恰好与点B、C在同一直线上，则此时△C′D′B的面积为（ ）
A．120 B．240 C．260 D．480
【分析】根据平行四边形的性质得∠DAB＝∠D′AB′，AB＝AB′＝C′D′＝26，再由AB′∥C′D′得∠D′AB′＝∠BD′C′，加上∠C＝∠DAB，则∠C＝∠BD′C′，接着由点C′、B、C在一直线上，AB∥CD得到∠C＝∠C′BD′，所以∠C′BD′＝∠BD′C′，可判断△C′BD′为等腰三角形，作C′H⊥D′B，根据等腰三角形的性质得BH＝D′H，由于BD′＝20得到D′H＝10，根据勾股定理得到C′H，于是得到结论．
解：∵▱ABCD绕点A旋转后得到▱AB′C′D′，
∴∠DAB＝∠D′AB′，AB＝AB′＝C′D′＝26，
∵AB′∥C′D′，
∴∠D′AB′＝∠BD′C′，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C＝∠DAB，
∴∠C＝∠BD′C′，
∵点C′、B、C在一直线上，
而AB∥CD，
∴∠C＝∠C′BD′，
∴∠C′BD′＝∠BD′C′，
∴△C′BD′为等腰三角形，
作C′H⊥D′B于H，则BH＝D′H，
∵AB＝26，AD＝6，
∴BD′＝20，
∴D′H＝10，
∴C′H＝＝24，
∴△C′D′B的面积＝BD′•C′H＝×20×24＝240．
故选：B．
10．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形； ②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4； ④当点H与点A重合时，EF＝．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①④ C．①②④ D．①③④
【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；由菱形的性质可得∠ECH＝∠FCH，由点C落在AD上的一点H处，∠ECD不一定等于30°，可判断②；当点H与点A重合时，BF有最小值，由勾股定理可求BF的最小值，若CD与AD重合时，BF有最大值，由正方形的性质可求BF的最大值，可判断③；如图，过点H作HM⊥BC于M，由勾股定理可求EF的长，可判断④；即可求解．
解：∵HE∥CF，
∴∠HEF＝∠EFC，
∵∠EFC＝∠HFE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴HE＝HF，
∵FC＝FH，
∴HE＝CF，
∵EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CF＝FH，
∴四边形CFHE是菱形，故①正确；
∵四边形CFHE是菱形，
∴∠ECH＝∠FCH，
若EC平分∠DCH，
∴∠ECD＝∠ECH，
∴∠ECD＝∠ECH＝∠FCH＝30°，
∵点C落在AD上的一点H处，
∴∠ECD不一定等于30°
∴EC不一定平分∠DCH，故②错误；
当点H与点A重合时，BF有最小值，
设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴BF＝3，
若CD与AD重合时，BF有最大值，
∴四边形CDHF是正方形，
∴CF＝4，
∴BF最大值为4，
∴3≤BF≤4，故③正确；
如图，过点H作HM⊥BC于M，
∴四边形HMFB是矩形，
∴AB＝MF＝4，AM＝BF＝3，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AE＝AF＝5，
∴ME＝2，
∴EF＝＝＝2，故④正确，
故选：D．
二、填空题（本大题共8题，每空2分，共16分.）
11．当x＝ 3 时，分式的值为零．
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，可得，据此求出x的值是多少即可．
解：∵分式的值为0，
∴，
解得x＝3．
故答案为：3．
12．一个不透明的口袋中装有2个白色球，2个红色球，4个黄色球，搅匀后随机从袋中摸出1个球是红色球的概率是 ．
【分析】直接利用概率公式计算可得．
解：搅匀后随机从袋中摸出1个球是红色球的概率是＝，
故答案为：．
13．下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有 2 个．
【分析】根据确定最简分式的标准即分子，分母中不含有公因式，不能再约分，即可得出答案．
解：①是最简分式；
②＝＝，不是最简分式；
③＝，不是最简分式；
④是最简分式；
最简分式有①④，共2个；
故答案为：2．
14．平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠B＝ 130 度．
【分析】根据平行四边形的性质可得∠A＝∠C，又有∠A+∠C＝100°，可求∠A＝∠C＝50°．又因为平行四边形的邻角互补，所以，∠B+∠A＝180°，可求∠B．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C，又∠A+∠C＝100°，
∴∠A＝∠C＝50°，
又∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°．
15．菱形ABCD中，边长为10，对角线AC＝12．则菱形的面积为 96 ．
【分析】由菱形的性质可得AO＝6，AC⊥BD，根据勾股定理可得BO＝8，即可求菱形的面积．
解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形
∴AO＝CO＝AC＝6，BO＝DO＝BD，AC⊥BD，AB＝10，
在Rt△ABO中，BO＝＝8，
∴BD＝2BO＝16，
∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝×12×16＝96；
故答案为：96．
16．若分式方程﹣2＝有增根，则m的值为 1 ．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
解：方程的两边都乘以（x﹣3），得
x﹣2﹣2（x﹣3）＝m，
化简，得
m＝﹣x+4，
原方程的增根为x＝3，
把x＝3代入m＝﹣x+4，
得m＝1，
故答案为：1．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则S△ECF的值为 4.32 ．
【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，进而证明HF是△CEF的高，根据勾股定理求出CF的长，进而求出△CEF的面积．
解：连接BF，作FG⊥BC，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE＝，
由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）
∴BH＝，
则BF＝，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
根据勾股定理得，CF＝．
∵AH⊥BF，
∴AE∥CF，
∴HF是△ECF的高，
∴△ECF的面积为．
故答案为：4.32
18．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是 （2n﹣1，2n﹣1） ．
【分析】先求出B1、B2、B3的坐标，探究规律后即可解决问题．
解：∵y＝x﹣1与x轴交于点A1，
∴A1点坐标（1，0），
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴B1坐标（1，1），
∵C1A2∥x轴，
∴A2坐标（2，1），
∵四边形A2B2C2C1是正方形，
∴B2坐标（2，3），
∵C2A3∥x轴，
∴A3坐标（4，3），
∵四边形A3B3C3C2是正方形，
∴B3（4，7），
∵B1（20，21﹣1），B2（21，22﹣1），B3（22，23﹣1），…，
∴Bn坐标（2n﹣1，2n﹣1）．
故答案为（2n﹣1，2n﹣1）．
三．解答题：（本大题共8小题，共54分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤）
19．计算或化简：
（1）÷；
（2）．
【分析】（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求出值．
解：（1）原式＝•
＝；
（2）原式＝﹣（x﹣1）＝﹣
＝．
20．化简代数式，再从﹣2，2，0，1四个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a＝0代入计算即可求出值．
解：原式＝•＝•＝，
当a＝0时，原式＝2．
21．解方程：
（1）﹣＝0
（2）﹣＝1．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）去分母得：2x﹣x﹣1＝0，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解；
（2）去分母得：x2﹣4x+4﹣16＝x2﹣4，
解得：x＝﹣2，
经检验：x＝﹣2是增根，
则原方程无解．
22．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．“五一”期间，小记者刘凯随机调查了城区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：
（1）求这次调查的家长人数，并补全图①；
（2）求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数；
（3）如果长春市有8万名初中生，持“无所谓”态度的学生大约有多少人？
【分析】（1）有条形图可知家长对学生带手机持无所谓态度的有80人，有扇形图可知家长对学生带手机持无所谓态度的占20%，用80÷20%即可算出这次调查的家长人数，再用家长总人数﹣40﹣80＝家长对学生带手机持反对态度的人数；
（2）×100%×360°即可；
（3）算出所调查的学生对持“无所谓”态度的学生所占的百分比，再用此百分比×8万即可．
解：（1）80÷20%＝400（人），
400﹣40﹣80＝280（人）；
（2）×100%×360°＝36°；
（3）×100%×80000＝12000（人）．
答：持“无所谓”态度的学生大约有12000人．
23．正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB1C1．
（2）作出△AB1C1关于原点O成中心对称的△A1B2C2．
（3）请直接写出以A1、B2、C2为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 （2，2）或（﹣2，4））或（0，﹣2） ．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质，分别画出点B、C的对应点B1、C1，从而得到△AB1C1；
（2）利用关于原点对称的点的坐标特征分别写出A1、B2和C2的坐标，然后描点即可得到△A1B2C2．
（3）分类讨论：分别以B2C2、B2A1、C2A1为对角线画平行四边形，然后写出对应的第四个顶点D的坐标即可．
解：（1）如图，△AB1C1为所作；
（2）如图，△A1B2C2为所作；
（3）点A1向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到点D1的坐标为（2，2）；点C2向上平移1个单位，再向左平移2个单位得到点D3的坐标为（﹣2，4）；点A1向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到点D2的坐标为（0，﹣2），
即点D的坐标为（2，2）或（﹣2，4））或（0，﹣2）．
故答案为（2，2）或（﹣2，4））或（0，﹣2）．
24．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形；
（2）解：当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．
理由如下：∵D是AB的中点，
∴BD＝AB，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵AB＝BC，
∴BD＝DE，
又∵四边形DBFE是平行四边形，
∴四边形DBFE是菱形．
25．为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
污水处理设备
A型
B型
价格（万元/台）
m
m﹣3
月处理污水量（吨/台）
2200
1800
（1）求m的值；
（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问采用何种购买方案可以使得每月处理污水量的吨数为最多？并求出最多吨数．
【分析】（1）根据90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，列出关于m的分式方程，求出m的值即可；
（2）设购买A型设备x台，则B型设备（10﹣x）台，根据题意列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围．再设每月处理污水量为W吨，则W＝2200x+1800（10﹣x）＝400x+18000，根据一次函数的性质即可求出最大值．
解：（1）由题意得：＝，
解得m＝18．
经检验m＝18是原方程的根，
故m的值为18；
（2）设购买A型设备x台，则B型设备（10﹣x）台，
由题意得：18x+15（10﹣x）≤165，
解得x≤5．
设每月处理污水量为W吨，由题意得W＝2200x+1800（10﹣x）＝400x+18000，
∵400＞0，
∴W随着x的增大而增大，
∴当x＝5时，W最大值为：400×5+18000＝20000，
即两种设备各购入5台，可以使得每月处理污水量的吨数为最多，最多为20000吨．
26．如图，直线l1：y＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l2：y＝kx﹣6交于点C（4，2）．
（1）点A坐标为（ 8 ， 0 ），B为（ 0 ， 4 ）；
（2）在线段BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，四边形OBEF是平行四边形；
（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形．若存在，求出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点C的坐标利用待定系数法即可求出直线l1的解析式，再分别令直线l1的解析式中x＝0、y＝0求出对应的y、x值，即可得出点A、B的坐标；
（2）由点C的坐标利用待定系数法即可求出直线l2的解析式，结合点E的横坐标即可得出点E、F的坐标，再根据平行四边形的性质即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）分AB为边和AB为对角线两种情况讨论．当AB为边时，根据菱形的性质找出点P的坐标，结合A、B的坐标即可得出点Q的坐标；当AB为对角线时，根据三角形相似找出点P的坐标，再根据菱形对角线互相平分即可得出点Q的坐标．综上即可得出结论．
解：（1）将点C（4，2）代入y＝﹣x+b中，
得：2＝﹣2+b，解得：b＝4，
∴直线l1为y＝﹣x+4．
令y＝﹣x+4中x＝0，则y＝4，
∴B（0，4）；
令y＝﹣x+4中y＝0，则x＝8，
∴A（8，0）．
故答案为：8；0；0；4．
（2）∵点C（4，2）是直线l2：y＝kx﹣6上的点，
∴2＝4k﹣6，解得：k＝2，
∴直线l2为y＝2x﹣6．
∵点E的横坐标为m（0≤m≤4），
∴E（m，﹣m+4），F（m，2m﹣6），
∴EF＝﹣m+4﹣（2m﹣6）＝10﹣m．
∵四边形OBEF是平行四边形，
∴BO＝EF，即4＝10﹣m，
解得：m＝．
故当m＝时，四边形OBEF是平行四边形．
（3）假设存在．
以P、Q、A、B为顶点的菱形分两种情况：
①以AB为边，如图1所示．
∵点A（8，0），B（0，4），
∴AB＝4．
∵以P、Q、A、B为顶点的四边形为菱形，
∴AP＝AB或BP＝BA．
当AP＝AB时，点P（8﹣4，0）或（8+4，0）；
当BP＝BA时，点P（﹣8，0）．
当P（8﹣4，0）时，Q（8﹣4﹣8，0+4），即（﹣4，4）；
当P（8+4，0）时，Q（8+4﹣8，0+4），即（4，4）；
当P（﹣8，0）时，Q（﹣8+8﹣0，0+0﹣4），即（0，﹣4）．
②以AB为对角线，对角线的交点为M，如图2所示．
∵点A（8，0），B（0，4），
∴M（4，2），AM＝AB＝2．
∵PM⊥AB，
∴∠PMA＝∠BOA＝90°，
∴△AMP∽△AOB，
∴，
∴AP＝5，
∴点P（8﹣5，0），即（3，0）．
∵以P、Q、A、B为顶点的四边形为菱形，
∴点Q（8+0﹣3，0+4﹣0），即（5，4）．
综上可知：若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形，此时Q点坐标为（﹣4，4）、（4，4）、（0，﹣4）或（5，4）．
2020-2021学年苏科版八年级下学期期中数学试卷
一、选择题
1．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在，，，，中，分式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列调查方式，你认为最合适的是（ ）
A．调查市场上某种白酒的塑化剂的含量，采用普查方式
B．调查鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数，采用普查方式
C．了解我市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
D．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
4．下列事件中的随机事件是（ ）
A．小明骑车经过某个十字路口时遇到红灯
B．太阳从东方升起
C．在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化
D．李刚的生日是2月31日
5．平行四边形的对角线长为x，y，一边长为12，则x，y的值可能是（ ）
A．8和14 B．10和14 C．18和20 D．10和34
6．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．内角和为360° B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
7．如果把中的x与y都扩大为原来的5倍，那么这个代数式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的5倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的10倍
8．为了早日实现“绿色太仓，花园之城”的目标，太仓对4000米长的城北河进行了绿化改造．为了尽快完成工期，施工队每天比原计划多绿化10米，结果提前2天完成．若原计划每天绿化x米，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在▱ABCD中，AB＝26，AD＝6，将▱ABCD绕点A旋转，当点D的对应点D′落在AB边上时，点C的对应点C′恰好与点B、C在同一直线上，则此时△C′D′B的面积为（ ）
A．120 B．240 C．260 D．480
10．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形； ②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4； ④当点H与点A重合时，EF＝．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①④ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共8题，每空2分，共16分.）
11．当x＝ 时，分式的值为零．
12．一个不透明的口袋中装有2个白色球，2个红色球，4个黄色球，搅匀后随机从袋中摸出1个球是红色球的概率是 ．
13．下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有 个．
14．平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠B＝ 度．
15．菱形ABCD中，边长为10，对角线AC＝12．则菱形的面积为 ．
16．若分式方程﹣2＝有增根，则m的值为 ．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则S△ECF的值为 ．
18．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是 ．
三．解答题：（本大题共8小题，共54分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤）
19．计算或化简：
（1）÷；
（2）．
20．化简代数式，再从﹣2，2，0，1四个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．
21．解方程：
（1）﹣＝0
（2）﹣＝1．
22．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．“五一”期间，小记者刘凯随机调查了城区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：
（1）求这次调查的家长人数，并补全图①；
（2）求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数；
（3）如果长春市有8万名初中生，持“无所谓”态度的学生大约有多少人？
23．正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB1C1．
（2）作出△AB1C1关于原点O成中心对称的△A1B2C2．
（3）请直接写出以A1、B2、C2为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 ．
24．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
25．为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
污水处理设备
A型
B型
价格（万元/台）
m
m﹣3
月处理污水量（吨/台）
2200
1800
（1）求m的值；
（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问采用何种购买方案可以使得每月处理污水量的吨数为最多？并求出最多吨数．
26．如图，直线l1：y＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l2：y＝kx﹣6交于点C（4，2）．
（1）点A坐标为（ ， ），B为（ ， ）；
（2）在线段BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，四边形OBEF是平行四边形；
（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形．若存在，求出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分.）
1．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：B．
2．在，，，，中，分式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解：，的分母中含有字母，是分式．
故选：B．
3．下列调查方式，你认为最合适的是（ ）
A．调查市场上某种白酒的塑化剂的含量，采用普查方式
B．调查鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数，采用普查方式
C．了解我市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
D．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
解：A、调查市场上某种白酒的塑化剂的含量，应采用抽样调查方式，本选项说法不合适；
B、调查鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数，应采用抽样调查方式，本选项说法不合适；
C、了解我市每天的流动人口数，采用抽样调查方式，本选项说法合适；
D、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，本选项说法不合适；
故选：C．
4．下列事件中的随机事件是（ ）
A．小明骑车经过某个十字路口时遇到红灯
B．太阳从东方升起
C．在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化
D．李刚的生日是2月31日
【分析】根据各个事件发生的可能性，逐个做出判断即可．
解：A．小明骑车经过某个十字路口时遇到红灯，此事件是随机事件；
B．太阳从东方升起，此事件是必然事件；
C．在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化，此事件是不可能事件；
D．李刚的生日是2月31日，此事件是不可能事件；
故选：A．
5．平行四边形的对角线长为x，y，一边长为12，则x，y的值可能是（ ）
A．8和14 B．10和14 C．18和20 D．10和34
【分析】如图：因为平行四边形的对角线互相平分，所OB＝，OC＝，在△OBC中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，将各答案代入验证即可求得．
即x+y＞24，y﹣x＜24．
解：A、＝4+7＝11＜12，所以不可能；
B、＝5+7＝12＝12，所以不可能；
D、34﹣10＝24，所以不可能；
故选：C．
6．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．内角和为360° B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．
解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，
∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，
故选：C．
7．如果把中的x与y都扩大为原来的5倍，那么这个代数式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的5倍
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的10倍
【分析】根据题意得出算式，再根据分式的基本性质化简，即可得出答案．
解：根据题意得：＝＝，
即和原分式相等，
故选：A．
8．为了早日实现“绿色太仓，花园之城”的目标，太仓对4000米长的城北河进行了绿化改造．为了尽快完成工期，施工队每天比原计划多绿化10米，结果提前2天完成．若原计划每天绿化x米，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】关键描述语是：“提前2天完成绿化改造任务”．等量关系为：原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝2．
解：若设原计划每天绿化（x）m，实际每天绿化（x+10）m，
原计划的工作时间为：，实际的工作时间为：
方程应该为：﹣＝2．
故选：A．
9．如图，在▱ABCD中，AB＝26，AD＝6，将▱ABCD绕点A旋转，当点D的对应点D′落在AB边上时，点C的对应点C′恰好与点B、C在同一直线上，则此时△C′D′B的面积为（ ）
A．120 B．240 C．260 D．480
【分析】根据平行四边形的性质得∠DAB＝∠D′AB′，AB＝AB′＝C′D′＝26，再由AB′∥C′D′得∠D′AB′＝∠BD′C′，加上∠C＝∠DAB，则∠C＝∠BD′C′，接着由点C′、B、C在一直线上，AB∥CD得到∠C＝∠C′BD′，所以∠C′BD′＝∠BD′C′，可判断△C′BD′为等腰三角形，作C′H⊥D′B，根据等腰三角形的性质得BH＝D′H，由于BD′＝20得到D′H＝10，根据勾股定理得到C′H，于是得到结论．
解：∵▱ABCD绕点A旋转后得到▱AB′C′D′，
∴∠DAB＝∠D′AB′，AB＝AB′＝C′D′＝26，
∵AB′∥C′D′，
∴∠D′AB′＝∠BD′C′，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C＝∠DAB，
∴∠C＝∠BD′C′，
∵点C′、B、C在一直线上，
而AB∥CD，
∴∠C＝∠C′BD′，
∴∠C′BD′＝∠BD′C′，
∴△C′BD′为等腰三角形，
作C′H⊥D′B于H，则BH＝D′H，
∵AB＝26，AD＝6，
∴BD′＝20，
∴D′H＝10，
∴C′H＝＝24，
∴△C′D′B的面积＝BD′•C′H＝×20×24＝240．
故选：B．
10．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形； ②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4； ④当点H与点A重合时，EF＝．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①④ C．①②④ D．①③④
【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；由菱形的性质可得∠ECH＝∠FCH，由点C落在AD上的一点H处，∠ECD不一定等于30°，可判断②；当点H与点A重合时，BF有最小值，由勾股定理可求BF的最小值，若CD与AD重合时，BF有最大值，由正方形的性质可求BF的最大值，可判断③；如图，过点H作HM⊥BC于M，由勾股定理可求EF的长，可判断④；即可求解．
解：∵HE∥CF，
∴∠HEF＝∠EFC，
∵∠EFC＝∠HFE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴HE＝HF，
∵FC＝FH，
∴HE＝CF，
∵EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CF＝FH，
∴四边形CFHE是菱形，故①正确；
∵四边形CFHE是菱形，
∴∠ECH＝∠FCH，
若EC平分∠DCH，
∴∠ECD＝∠ECH，
∴∠ECD＝∠ECH＝∠FCH＝30°，
∵点C落在AD上的一点H处，
∴∠ECD不一定等于30°
∴EC不一定平分∠DCH，故②错误；
当点H与点A重合时，BF有最小值，
设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴BF＝3，
若CD与AD重合时，BF有最大值，
∴四边形CDHF是正方形，
∴CF＝4，
∴BF最大值为4，
∴3≤BF≤4，故③正确；
如图，过点H作HM⊥BC于M，
∴四边形HMFB是矩形，
∴AB＝MF＝4，AM＝BF＝3，
∵四边形AFCE是菱形，
∴AE＝AF＝5，
∴ME＝2，
∴EF＝＝＝2，故④正确，
故选：D．
二、填空题（本大题共8题，每空2分，共16分.）
11．当x＝ 3 时，分式的值为零．
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，可得，据此求出x的值是多少即可．
解：∵分式的值为0，
∴，
解得x＝3．
故答案为：3．
12．一个不透明的口袋中装有2个白色球，2个红色球，4个黄色球，搅匀后随机从袋中摸出1个球是红色球的概率是 ．
【分析】直接利用概率公式计算可得．
解：搅匀后随机从袋中摸出1个球是红色球的概率是＝，
故答案为：．
13．下列4个分式：①；②；③；④，中最简分式有 2 个．
【分析】根据确定最简分式的标准即分子，分母中不含有公因式，不能再约分，即可得出答案．
解：①是最简分式；
②＝＝，不是最简分式；
③＝，不是最简分式；
④是最简分式；
最简分式有①④，共2个；
故答案为：2．
14．平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠B＝ 130 度．
【分析】根据平行四边形的性质可得∠A＝∠C，又有∠A+∠C＝100°，可求∠A＝∠C＝50°．又因为平行四边形的邻角互补，所以，∠B+∠A＝180°，可求∠B．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C，又∠A+∠C＝100°，
∴∠A＝∠C＝50°，
又∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°．
15．菱形ABCD中，边长为10，对角线AC＝12．则菱形的面积为 96 ．
【分析】由菱形的性质可得AO＝6，AC⊥BD，根据勾股定理可得BO＝8，即可求菱形的面积．
解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形
∴AO＝CO＝AC＝6，BO＝DO＝BD，AC⊥BD，AB＝10，
在Rt△ABO中，BO＝＝8，
∴BD＝2BO＝16，
∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝×12×16＝96；
故答案为：96．
16．若分式方程﹣2＝有增根，则m的值为 1 ．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
解：方程的两边都乘以（x﹣3），得
x﹣2﹣2（x﹣3）＝m，
化简，得
m＝﹣x+4，
原方程的增根为x＝3，
把x＝3代入m＝﹣x+4，
得m＝1，
故答案为：1．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则S△ECF的值为 4.32 ．
【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，进而证明HF是△CEF的高，根据勾股定理求出CF的长，进而求出△CEF的面积．
解：连接BF，作FG⊥BC，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE＝，
由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）
∴BH＝，
则BF＝，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
根据勾股定理得，CF＝．
∵AH⊥BF，
∴AE∥CF，
∴HF是△ECF的高，
∴△ECF的面积为．
故答案为：4.32
18．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点Bn的坐标是 （2n﹣1，2n﹣1） ．
【分析】先求出B1、B2、B3的坐标，探究规律后即可解决问题．
解：∵y＝x﹣1与x轴交于点A1，
∴A1点坐标（1，0），
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴B1坐标（1，1），
∵C1A2∥x轴，
∴A2坐标（2，1），
∵四边形A2B2C2C1是正方形，
∴B2坐标（2，3），
∵C2A3∥x轴，
∴A3坐标（4，3），
∵四边形A3B3C3C2是正方形，
∴B3（4，7），
∵B1（20，21﹣1），B2（21，22﹣1），B3（22，23﹣1），…，
∴Bn坐标（2n﹣1，2n﹣1）．
故答案为（2n﹣1，2n﹣1）．
三．解答题：（本大题共8小题，共54分.解答需写出必要的文字说明或演算步骤）
19．计算或化简：
（1）÷；
（2）．
【分析】（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可求出值．
解：（1）原式＝•
＝；
（2）原式＝﹣（x﹣1）＝﹣
＝．
20．化简代数式，再从﹣2，2，0，1四个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a＝0代入计算即可求出值．
解：原式＝•＝•＝，
当a＝0时，原式＝2．
21．解方程：
（1）﹣＝0
（2）﹣＝1．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）去分母得：2x﹣x﹣1＝0，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解；
（2）去分母得：x2﹣4x+4﹣16＝x2﹣4，
解得：x＝﹣2，
经检验：x＝﹣2是增根，
则原方程无解．
22．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．“五一”期间，小记者刘凯随机调查了城区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：
（1）求这次调查的家长人数，并补全图①；
（2）求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数；
（3）如果长春市有8万名初中生，持“无所谓”态度的学生大约有多少人？
【分析】（1）有条形图可知家长对学生带手机持无所谓态度的有80人，有扇形图可知家长对学生带手机持无所谓态度的占20%，用80÷20%即可算出这次调查的家长人数，再用家长总人数﹣40﹣80＝家长对学生带手机持反对态度的人数；
（2）×100%×360°即可；
（3）算出所调查的学生对持“无所谓”态度的学生所占的百分比，再用此百分比×8万即可．
解：（1）80÷20%＝400（人），
400﹣40﹣80＝280（人）；
（2）×100%×360°＝36°；
（3）×100%×80000＝12000（人）．
答：持“无所谓”态度的学生大约有12000人．
23．正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB1C1．
（2）作出△AB1C1关于原点O成中心对称的△A1B2C2．
（3）请直接写出以A1、B2、C2为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 （2，2）或（﹣2，4））或（0，﹣2） ．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质，分别画出点B、C的对应点B1、C1，从而得到△AB1C1；
（2）利用关于原点对称的点的坐标特征分别写出A1、B2和C2的坐标，然后描点即可得到△A1B2C2．
（3）分类讨论：分别以B2C2、B2A1、C2A1为对角线画平行四边形，然后写出对应的第四个顶点D的坐标即可．
解：（1）如图，△AB1C1为所作；
（2）如图，△A1B2C2为所作；
（3）点A1向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到点D1的坐标为（2，2）；点C2向上平移1个单位，再向左平移2个单位得到点D3的坐标为（﹣2，4）；点A1向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到点D2的坐标为（0，﹣2），
即点D的坐标为（2，2）或（﹣2，4））或（0，﹣2）．
故答案为（2，2）或（﹣2，4））或（0，﹣2）．
24．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形；
（2）解：当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．
理由如下：∵D是AB的中点，
∴BD＝AB，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵AB＝BC，
∴BD＝DE，
又∵四边形DBFE是平行四边形，
∴四边形DBFE是菱形．
25．为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
污水处理设备
A型
B型
价格（万元/台）
m
m﹣3
月处理污水量（吨/台）
2200
1800
（1）求m的值；
（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问采用何种购买方案可以使得每月处理污水量的吨数为最多？并求出最多吨数．
【分析】（1）根据90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，列出关于m的分式方程，求出m的值即可；
（2）设购买A型设备x台，则B型设备（10﹣x）台，根据题意列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围．再设每月处理污水量为W吨，则W＝2200x+1800（10﹣x）＝400x+18000，根据一次函数的性质即可求出最大值．
解：（1）由题意得：＝，
解得m＝18．
经检验m＝18是原方程的根，
故m的值为18；
（2）设购买A型设备x台，则B型设备（10﹣x）台，
由题意得：18x+15（10﹣x）≤165，
解得x≤5．
设每月处理污水量为W吨，由题意得W＝2200x+1800（10﹣x）＝400x+18000，
∵400＞0，
∴W随着x的增大而增大，
∴当x＝5时，W最大值为：400×5+18000＝20000，
即两种设备各购入5台，可以使得每月处理污水量的吨数为最多，最多为20000吨．
26．如图，直线l1：y＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l2：y＝kx﹣6交于点C（4，2）．
（1）点A坐标为（ 8 ， 0 ），B为（ 0 ， 4 ）；
（2）在线段BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，四边形OBEF是平行四边形；
（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形．若存在，求出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点C的坐标利用待定系数法即可求出直线l1的解析式，再分别令直线l1的解析式中x＝0、y＝0求出对应的y、x值，即可得出点A、B的坐标；
（2）由点C的坐标利用待定系数法即可求出直线l2的解析式，结合点E的横坐标即可得出点E、F的坐标，再根据平行四边形的性质即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）分AB为边和AB为对角线两种情况讨论．当AB为边时，根据菱形的性质找出点P的坐标，结合A、B的坐标即可得出点Q的坐标；当AB为对角线时，根据三角形相似找出点P的坐标，再根据菱形对角线互相平分即可得出点Q的坐标．综上即可得出结论．
解：（1）将点C（4，2）代入y＝﹣x+b中，
得：2＝﹣2+b，解得：b＝4，
∴直线l1为y＝﹣x+4．
令y＝﹣x+4中x＝0，则y＝4，
∴B（0，4）；
令y＝﹣x+4中y＝0，则x＝8，
∴A（8，0）．
故答案为：8；0；0；4．
（2）∵点C（4，2）是直线l2：y＝kx﹣6上的点，
∴2＝4k﹣6，解得：k＝2，
∴直线l2为y＝2x﹣6．
∵点E的横坐标为m（0≤m≤4），
∴E（m，﹣m+4），F（m，2m﹣6），
∴EF＝﹣m+4﹣（2m﹣6）＝10﹣m．
∵四边形OBEF是平行四边形，
∴BO＝EF，即4＝10﹣m，
解得：m＝．
故当m＝时，四边形OBEF是平行四边形．
（3）假设存在．
以P、Q、A、B为顶点的菱形分两种情况：
①以AB为边，如图1所示．
∵点A（8，0），B（0，4），
∴AB＝4．
∵以P、Q、A、B为顶点的四边形为菱形，
∴AP＝AB或BP＝BA．
当AP＝AB时，点P（8﹣4，0）或（8+4，0）；
当BP＝BA时，点P（﹣8，0）．
当P（8﹣4，0）时，Q（8﹣4﹣8，0+4），即（﹣4，4）；
当P（8+4，0）时，Q（8+4﹣8，0+4），即（4，4）；
当P（﹣8，0）时，Q（﹣8+8﹣0，0+0﹣4），即（0，﹣4）．
②以AB为对角线，对角线的交点为M，如图2所示．
∵点A（8，0），B（0，4），
∴M（4，2），AM＝AB＝2．
∵PM⊥AB，
∴∠PMA＝∠BOA＝90°，
∴△AMP∽△AOB，
∴，
∴AP＝5，
∴点P（8﹣5，0），即（3，0）．
∵以P、Q、A、B为顶点的四边形为菱形，
∴点Q（8+0﹣3，0+4﹣0），即（5，4）．
综上可知：若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形，此时Q点坐标为（﹣4，4）、（4，4）、（0，﹣4）或（5，4）．
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