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苏科版2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷 （解析版）20
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这是一份苏科版2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷 （解析版）20，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级数学下学期期中数学
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2．下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3．将分式中的m、n都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大6倍 D. 扩大9倍
4．“学习强国”的英语“Learningpower”中，字母“n”出现的频率是（ ）
A. B. C. 2 D. 1
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B=40°，∠CAE=60°，则∠DAC的度数为（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
6．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（ ）
A. （3，1） B. （3，） C. （3，） D. （3，2）
7．如图，正方形ABCD和□AEFC，点B在EF边上，若正方形ABCD和□AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（ ）
A. S1＞S2 B. S1=S2 C. S1＜S2 D. 无法确定
8．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在直线折叠得到△AGE，延长AG交CD于点F，已知CF＝2，FD＝1，则BC的长是（ ）
A. 3 B. 2 C. 2 D. 2
9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为（ ）
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6
10．如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与相交于点，
设.得到以下结论：①；②；③则上述结论正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题
11．计算：=_____．
12．如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为_____cm．
13．已知，则的值是_______．
14．当m=_________时，关于x的分式方程=1有增根．
15．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是_______.
16．如图，正方形ABCD对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于______．
17．如图所示，在正方形ABCD中，点E在AB边上，BE=4， M是对角线BD上的一点（∠EMB是锐角），连接EM，EM＝5，过点M作MN⊥EM交BC边于点N．过点N 作NH⊥BD于H，则△HMN的面积=________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为_____．
19．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 上一点，且AE=3 ，F 为BC 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向左侧作等腰直角三角形FEG ，EG=EF，∠GEF=90°，连接AG ，则AG 的最小值为________________．
20．如图，已知▱ABCO的顶点A、C分别在直线x＝2和x＝7上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为_____．
三、解答题
21．先化简，再求值：．
22．解分式方程：(1) (2)
23．已知：如图，平行四边形ABCD中，点E、F在AD上，且AE=DF
求证：四边形BECF是平行四边形．
24．我市中小学全面开展“阳光体育”活动，某校在大课间中开设了A（体操）、B（乒乓球）、C（毽球）、D（跳绳）四项活动．为了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请将统计图2补充完整；
（3）统计图1中B项目对应的扇形的圆心角是 度；
（4）已知该校共有学生2500人，根据调查结果估计该校喜欢体操的学生有 人．
25．如图，线段AB在第二象限，按要求作图．
（1）将线段AB先向右平移5个单位，得到线段A1B1；
（2）作线段A1B1关于原点的中心对称图形A2B2；
（3）将线段A1B1绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A3B3；
26．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：
日销售单价x（元）
3
4
5
6
日销售量y（个）
20
15
12
10
（1）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；
（2）设经营此贺卡的销售利润为W元，求出W与x之间的函数关系式，
（3）若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大利润是多少元？
27．在平面直角坐标系xOy中,函数(x>0)的图象与直线l1:交于点A，与直线l2：x=k交于点B．直线l1与l2交于点C．
(1) 当点A的横坐标为1时，则此时k的值为 _______；
(2) 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数(x>0) 的图像在点A、B之间的部分与线段AC，BC围成的区域(不含边界)为W．
①当k=3时，结合函数图像，则区域W内的整点个数是_________；
②若区域W内恰有1个整点，结合函数图象，直接写出k的取值范围：___________．
28．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
29．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，且OD=BE．点M是线段DE上的一个动点．
（1）求b的值；
（2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；
（3）设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．
30．已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设 动点P的运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形；
（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值,并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3) 在线段PB上有一点M，且PM=5，当P运动 秒时，四边形OAMP的周长最小, 并画图标出点M的位置．
详细解析
一、选择题
1．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
A
【解析】
将图形围绕某一点旋转180°之后能与原图形完全重叠，则这个图形就是中心对称图形.
选项A为中心对称图形；
选项B既不中心对称图形也不是轴对称图形；
选项C、D为轴对称图形.
故选A.
2．下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
【解析】
①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；
②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，筝形的对角线垂直但不相等，不是正方形），故该命题错误；
③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；
④等边三角形是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故该命题错误；
故选B．
3．将分式中的m、n都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大6倍 D. 扩大9倍
A
【解析】
m、n都扩大为原来的3倍得到 ，∴分式的值不变.
故选A.
4．“学习强国”的英语“Learningpower”中，字母“n”出现的频率是（ ）
A. B. C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
这句话中,13个字母“n”出现了2次,
所以字母“n”出现的频率是.
故选:A.
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B=40°，∠CAE=60°，则∠DAC的度数为（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
【解析】
由旋转的性质得：△ADE≌△ABC，
∴∠D=∠B=40°，AE=AC，
∵∠CAE=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠ACE=∠E=60°，
∴∠DAE=180°−∠E−∠D=80°
∴
故选B.
6．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（ ）
A. （3，1） B. （3，） C. （3，） D. （3，2）
【解析】
试题分析：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．
∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，当x=3时，y=，∴点E坐标（3，）
故选B．
7．如图，正方形ABCD和□AEFC，点B在EF边上，若正方形ABCD和□AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（ ）
A. S1＞S2 B. S1=S2
C. S1＜S2 D. 无法确定
【解析】
∵由图可得，正方形的面积，
又∵，
即，
故选：．
8．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在直线折叠得到△AGE，延长AG交CD于点F，已知CF＝2，FD＝1，则BC的长是（ ）
A. 3 B. 2 C. 2 D. 2
【答案】B
【解析】
连接EF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE＝EG，
∴EG＝EC，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C＝90°，
∴∠EGF＝∠B＝90°，
∵在Rt△EFG和Rt△EFC中，
，
∴Rt△EFG≌Rt△EFC（HL），
∴FG＝CF＝2，
∵矩形ABCD中，AB＝CD＝CF+DF＝2+1＝3，
∴AG＝AB＝3，
∴AF＝AG+FG＝3+2＝5，
∴BC＝AD＝．
故选B．
9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为（ ）
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
取MB的中点P，连接FP，EP，DN，
∵FP是∆MNB的中位线，EF是∆DMN的中位线，
∴FP∥BN，FP=，EF∥DN，EF=，
∴当N从A到B的运动过程中，点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为∆EFP．
∴当点N与点A重合时，FP===4，
过点D作DQ⊥AB于点Q，
∵AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，
∴AQ=8-5=3，
∴DQ=，
∴当点N与点Q重合时，EF=，EF∥DQ，即：EF⊥AB，即：EF⊥FP，
∴∆EFP中，FP上的高=2，
∴当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积=×4×2=4．
故选A．
10．如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与相交于点，设.得到以下结论：
①；②；③则上述结论正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
解：如图，
（1）
所以①成立
(2)如图延长交延长线于点，
则：
∴为直角三角形斜边上的中线，是斜边的一半，即
所以②成立
(3) ∵
∴
∵
∴
所以③成立
故选D
二、填空题
11．计算：=_____．
【解析】
12．如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为_____cm．
【解析】
解：∵菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，
∴菱形的边长为：＝5（cm），
设菱形的高为：xcm，则5x＝×6×8，
解得：x＝4.8．
故答案为4.8．
13．已知，则的值是_______．
【解析】
【分析】
可以依据题意设出各项，再代入求比即可
由，可设
则
14．当m=_________时，关于x的分式方程=1有增根．
【解析】
解：去分母得整式方程：2x-m=x-1，
由分式方程有增根，得到x-1=0，即x=1，
把x=1代入整式方程中得：2×1-m=1-1，
解得：m=2，
故答案为：2．
15．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是_______.
【解析】
分式方程去分母得：.
∵分式方程解为负数，∴.
由得和
∴的取值范围是且．
16．如图，正方形ABCD对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于______．
【解析】
先根据正方形的对角线平分一组对角求出∠BAC的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求解.
解：∵AC是正方形的对角线，
∴∠BAC=×90°=45°，
∵AF是菱形AEFC的对角线，
∴∠FAB=∠BAC=×45°=22.5°．
17．如图所示，在正方形ABCD中，点E在AB边上，BE=4， M是对角线BD上的一点（∠EMB是锐角），连接EM，EM＝5，过点M作MN⊥EM交BC边于点N．过点N 作NH⊥BD于H，则△HMN的面积=________．
【解析】
【解析】如图所示，过作于点，
∵为正方形的对角线，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
∵，，∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，即，解得，
∴，，
∴的面积为：，
故答案为：6．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为_____．
【答案】
【解析】
解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
19．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 上一点，且AE=3 ，F 为BC 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向左侧作等腰直角三角形FEG ，EG=EF，∠GEF=90°，连接AG ，则AG 的最小值为________________．
【答案】1
【解析】
过点G作GM⊥AB于点M，
∵以EF 为边向左侧作等腰直角三角形FEG ，EG=EF，∠GEF=90°，
∴∠MGE+∠MEG=∠MEG+∠BEF=90°，
∴∠MGE=∠BEF，
∵正方形ABCD中，∠B=∠GME=90°，
∴∆MGE ≅∆BEF（AAS），
∴GM=EB=AB-AE=4-3=1，
∴点G与直线AB的距离为1，
∴当AG⊥AB时，AG 有最小值，最小值为1．
故答案是：1．
20．如图，已知▱ABCO的顶点A、C分别在直线x＝2和x＝7上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为_____．
【答案】9
【解析】
解：过点B作BD⊥直线x＝7，交直线x＝7于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝2与OC交于点M，与x轴交于点F，
直线x＝7与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，
∵直线x＝2与直线x＝7均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN＝∠NCM，
∴∠OAF＝∠BCD，
∵∠OFA＝∠BDC＝90°，
∴∠FOA＝∠DBC，
在△OAF和△BCD中，，
∴△OAF≌△BCD（ASA）．
∴BD＝OF＝2，
∴OE＝7+2＝9，
∴OB＝．
∵OE的长不变，
∴当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝9．
故答案为：9．
三、解答题
21．先化简，再求值：．
【解析】
，其中．
原式
＝
＝
当时，
原式.
22．解分式方程;
(1) (2)
【解析】
（1）去分母得
检验是原方程的解；
（2）去分母得：
，解得，
把x=4代入x-4检验得，4-4=0，
故是原方程的增根，原方程无解.
23．已知：如图，平行四边形ABCD中，点E、F在AD上，且AE=DF
求证：四边形BECF是平行四边形．
证明见解析.
【解析】
如答图，连接BC，设对角线交于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OD，OB=OC．
∵AE=DF，OA﹣AE=OD﹣DF，∴OE=OF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
24．我市中小学全面开展“阳光体育”活动，某校在大课间中开设了A（体操）、B（乒乓球）、C（毽球）、D（跳绳）四项活动．为了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请将统计图2补充完整；
（3）统计图1中B项目对应的扇形的圆心角是 度；
（4）已知该校共有学生2500人，根据调查结果估计该校喜欢体操的学生有 人．
【解析】
（1）这次被调查的学生共有160÷40%=400（人），
故答案为：400；
（2）D项目的人数为400×20%=80（人），
则A项目的人数为400-（120+160+80）=40（人），
补全图形如下：
（3）统计图1中B项目对应的扇形的圆心角是，
故答案为：108；
（4）根据调查结果估计该校喜欢体操的学生有（人），
故答案为：250．
25．如图，线段AB在第二象限，按要求作图．
【解析】
解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求；
（2）如图所示，线段A2B2即为所求；
（3）如图所示，线段A3B3即为所求．
26．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：
日销售单价x（元）
3
4
5
6
日销售量y（个）
20
15
12
10
（1）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；
（2）设经营此贺卡的销售利润为W元，求出W与x之间的函数关系式，
（3）若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大利润是多少元？
【解析】
解：（1）由表可知，xy＝60，
∴y＝（x＞0），
函数图象如下：
（2）根据题意，得：
W＝（x﹣2）•y
＝（x﹣2）•
＝60﹣；
（3）∵x≤10，
∴﹣≤﹣12，
则60﹣≤48，
即当x＝10时，W取得最大值，最大值为48元，
答：当日销售单价x定为10元/个时，才能获得最大日销售利润，最大利润是48元．
27．在平面直角坐标系xOy中,函数(x>0)的图象与直线l1:交于点A，与直线l2：x=k交于点B．直线l1与l2交于点C．
(1) 当点A的横坐标为1时，则此时k的值为 _______；
(2) 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数(x>0) 的图像在点A、B之间的部分与线段AC，BC围成的区域(不含边界)为W．
①当k=3时，结合函数图像，则区域W内的整点个数是_________；
②若区域W内恰有1个整点，结合函数图象，直接写出k的取值范围：___________．
【解析】
解：设点，∵A在上，
．
．
点在函数的图象上，
；
故答案为：.
（2）①当k=3时，作图如下，
观察图象，区域W内的整点个数是3；
②当点C在曲线(x>0)下方，如下图，
区域W内唯一的1个整点为（1,1），
只需满足：当时，，
∴；
当点C在曲线(x>0)上方，如下图，
区域W内唯一的1个整点为（2,2），
只需满足：且当时，，，
∴；
综上所述：或.
28．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
【解析】
证明：（1）如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠3=∠4
∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，
∴∠1=∠2
∴∠5=∠6
∵在△ADE与△CBF中，∠3=∠4，AD=BC，∠5=∠6，
∴△ADE≌△CBF（ASA）
∴AE=CF
（2）∵∠1=∠2，
∴DE∥BF
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，
∴DE=BF
∴四边形EBFD是平行四边形
29．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，且OD=BE．点M是线段DE上的一个动点．
（1）求b的值；
（2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；
（3）设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．
【解析】
【分析】
（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D的坐标，则OD的长度即可求得，OD=b，则E的坐标即可利用b表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程，求得b的值；
（2）首先求得四边形OAED的面积，则△ODM的面积即可求得，设出M的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标，进而求得M的坐标；
（3）分成四边形OMDN是菱形和四边形OMND是菱形两种情况进行讨论，四边形OMDN是菱形时，M是OD的中垂线与DE的交点，M关于OD的对称点就是N；四边形OMND是菱形，OM=OD，M在直角DE上，设出M的坐标，根据OM=OD即可求得M的坐标，则根据ON和DM的中点重合，即可求得N的坐标．
(1)y= x+b中,令x=0,解得y=b,则D的坐标是(0,b)，OD=b，
∵OD=BE，
∴BE=b,则E的坐标是(3,4−b)，
把E的坐标代入y=x+b得4−b=−2+b，
解得：b=3；
(2)，
∵三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，
∴，
设M的横坐标是a，则×3a=1.5，解得：a=1，
把x=a=1代入y=x+3得y=+3=，
则M的坐标是(1，)；
(3)当四边形OMDN是菱形时,如图(1),
M的纵坐标是 ,把y=代入y=x+3,得x+3=,解得：x=，
则M的坐标是(, )，
则N的坐标是(−, )；
当四边形OMND是菱形时,如图(2)OM=OD=3，
设M的横坐标是m,则纵坐标是m+3，则，
解得：m=或0(舍去).
则M的坐标是(, ).
则DM的中点是( ,).
则N的坐标是(,).
故N的坐标是(−,)或(,).
30．已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设 动点P的运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形；
（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值,并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3) 在线段PB上有一点M，且PM=5，当P运动 秒时，四边形OAMP的周长最小, 并画图标出点M的位置．
【答案】（1）t=2.5；（2）t=4 ， Q(3，4)；t=1 ， Q(-3，4)；（3）t=．
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质就可以知道PB=5，可以求出PC=5，从而可以求出t的值；
（2）要使ODQP为菱形，可以得出PO=5，由三角形的勾股定理就可以求出CP的值而求出t的值；
（3）先判断出四边形OAMP周长最小，得出AM+DM最小，即可确定出点M的位置，再用三角形的中位线得出BM，进而求出PC，即可得出结论．
解： (1)∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB=OD=5，
∴PC=5，
∴2t=5,t=2.5；
（2）当Q点在P右边时
∵四边形ODQP为菱形，
∴OD=OP=PQ=5，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：
PC=3，
∴2t=3；t=1.5 Q(8,4).
当Q点在P的左边且在BC线段上时，t=4， Q(3,4)；
当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，t=1，Q(-3,4) ．
（3）如图4，由（1）知，OD=5，
∵PM=5，
∴OD=PM，
∵BC∥OA，
∴四边形OPMD时平行四边形，
∴OP=DM，
∵四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP
=10+AM+5+DM=15+AM+DM，
∴AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小，
∴作点A关于BC的对称点E，连接DE交PB于M，
∴AB=EB，
∵BC∥OA，
∴BM=AD=，
∴PC=BC-BM-PM=10-5-=，
∴t=÷2=，
故答案：．
八年级数学下学期期中数学
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2．下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3．将分式中的m、n都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大6倍 D. 扩大9倍
4．“学习强国”的英语“Learningpower”中，字母“n”出现的频率是（ ）
A. B. C. 2 D. 1
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B=40°，∠CAE=60°，则∠DAC的度数为（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
6．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（ ）
A. （3，1） B. （3，） C. （3，） D. （3，2）
7．如图，正方形ABCD和□AEFC，点B在EF边上，若正方形ABCD和□AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（ ）
A. S1＞S2 B. S1=S2 C. S1＜S2 D. 无法确定
8．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在直线折叠得到△AGE，延长AG交CD于点F，已知CF＝2，FD＝1，则BC的长是（ ）
A. 3 B. 2 C. 2 D. 2
9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为（ ）
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6
10．如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与相交于点，
设.得到以下结论：①；②；③则上述结论正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题
11．计算：=_____．
12．如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为_____cm．
13．已知，则的值是_______．
14．当m=_________时，关于x的分式方程=1有增根．
15．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是_______.
16．如图，正方形ABCD对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于______．
17．如图所示，在正方形ABCD中，点E在AB边上，BE=4， M是对角线BD上的一点（∠EMB是锐角），连接EM，EM＝5，过点M作MN⊥EM交BC边于点N．过点N 作NH⊥BD于H，则△HMN的面积=________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为_____．
19．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 上一点，且AE=3 ，F 为BC 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向左侧作等腰直角三角形FEG ，EG=EF，∠GEF=90°，连接AG ，则AG 的最小值为________________．
20．如图，已知▱ABCO的顶点A、C分别在直线x＝2和x＝7上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为_____．
三、解答题
21．先化简，再求值：．
22．解分式方程：(1) (2)
23．已知：如图，平行四边形ABCD中，点E、F在AD上，且AE=DF
求证：四边形BECF是平行四边形．
24．我市中小学全面开展“阳光体育”活动，某校在大课间中开设了A（体操）、B（乒乓球）、C（毽球）、D（跳绳）四项活动．为了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请将统计图2补充完整；
（3）统计图1中B项目对应的扇形的圆心角是 度；
（4）已知该校共有学生2500人，根据调查结果估计该校喜欢体操的学生有 人．
25．如图，线段AB在第二象限，按要求作图．
（1）将线段AB先向右平移5个单位，得到线段A1B1；
（2）作线段A1B1关于原点的中心对称图形A2B2；
（3）将线段A1B1绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A3B3；
26．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：
日销售单价x（元）
3
4
5
6
日销售量y（个）
20
15
12
10
（1）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；
（2）设经营此贺卡的销售利润为W元，求出W与x之间的函数关系式，
（3）若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大利润是多少元？
27．在平面直角坐标系xOy中,函数(x>0)的图象与直线l1:交于点A，与直线l2：x=k交于点B．直线l1与l2交于点C．
(1) 当点A的横坐标为1时，则此时k的值为 _______；
(2) 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数(x>0) 的图像在点A、B之间的部分与线段AC，BC围成的区域(不含边界)为W．
①当k=3时，结合函数图像，则区域W内的整点个数是_________；
②若区域W内恰有1个整点，结合函数图象，直接写出k的取值范围：___________．
28．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
29．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，且OD=BE．点M是线段DE上的一个动点．
（1）求b的值；
（2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；
（3）设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．
30．已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设 动点P的运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形；
（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值,并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3) 在线段PB上有一点M，且PM=5，当P运动 秒时，四边形OAMP的周长最小, 并画图标出点M的位置．
详细解析
一、选择题
1．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
A
【解析】
将图形围绕某一点旋转180°之后能与原图形完全重叠，则这个图形就是中心对称图形.
选项A为中心对称图形；
选项B既不中心对称图形也不是轴对称图形；
选项C、D为轴对称图形.
故选A.
2．下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
【解析】
①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；
②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，筝形的对角线垂直但不相等，不是正方形），故该命题错误；
③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；
④等边三角形是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故该命题错误；
故选B．
3．将分式中的m、n都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大6倍 D. 扩大9倍
A
【解析】
m、n都扩大为原来的3倍得到 ，∴分式的值不变.
故选A.
4．“学习强国”的英语“Learningpower”中，字母“n”出现的频率是（ ）
A. B. C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
这句话中,13个字母“n”出现了2次,
所以字母“n”出现的频率是.
故选:A.
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B=40°，∠CAE=60°，则∠DAC的度数为（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
【解析】
由旋转的性质得：△ADE≌△ABC，
∴∠D=∠B=40°，AE=AC，
∵∠CAE=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠ACE=∠E=60°，
∴∠DAE=180°−∠E−∠D=80°
∴
故选B.
6．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（ ）
A. （3，1） B. （3，） C. （3，） D. （3，2）
【解析】
试题分析：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．
∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，当x=3时，y=，∴点E坐标（3，）
故选B．
7．如图，正方形ABCD和□AEFC，点B在EF边上，若正方形ABCD和□AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（ ）
A. S1＞S2 B. S1=S2
C. S1＜S2 D. 无法确定
【解析】
∵由图可得，正方形的面积，
又∵，
即，
故选：．
8．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在直线折叠得到△AGE，延长AG交CD于点F，已知CF＝2，FD＝1，则BC的长是（ ）
A. 3 B. 2 C. 2 D. 2
【答案】B
【解析】
连接EF，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE＝EG，
∴EG＝EC，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C＝90°，
∴∠EGF＝∠B＝90°，
∵在Rt△EFG和Rt△EFC中，
，
∴Rt△EFG≌Rt△EFC（HL），
∴FG＝CF＝2，
∵矩形ABCD中，AB＝CD＝CF+DF＝2+1＝3，
∴AG＝AB＝3，
∴AF＝AG+FG＝3+2＝5，
∴BC＝AD＝．
故选B．
9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为（ ）
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
取MB的中点P，连接FP，EP，DN，
∵FP是∆MNB的中位线，EF是∆DMN的中位线，
∴FP∥BN，FP=，EF∥DN，EF=，
∴当N从A到B的运动过程中，点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为∆EFP．
∴当点N与点A重合时，FP===4，
过点D作DQ⊥AB于点Q，
∵AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，
∴AQ=8-5=3，
∴DQ=，
∴当点N与点Q重合时，EF=，EF∥DQ，即：EF⊥AB，即：EF⊥FP，
∴∆EFP中，FP上的高=2，
∴当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积=×4×2=4．
故选A．
10．如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与相交于点，设.得到以下结论：
①；②；③则上述结论正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
解：如图，
（1）
所以①成立
(2)如图延长交延长线于点，
则：
∴为直角三角形斜边上的中线，是斜边的一半，即
所以②成立
(3) ∵
∴
∵
∴
所以③成立
故选D
二、填空题
11．计算：=_____．
【解析】
12．如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为_____cm．
【解析】
解：∵菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，
∴菱形的边长为：＝5（cm），
设菱形的高为：xcm，则5x＝×6×8，
解得：x＝4.8．
故答案为4.8．
13．已知，则的值是_______．
【解析】
【分析】
可以依据题意设出各项，再代入求比即可
由，可设
则
14．当m=_________时，关于x的分式方程=1有增根．
【解析】
解：去分母得整式方程：2x-m=x-1，
由分式方程有增根，得到x-1=0，即x=1，
把x=1代入整式方程中得：2×1-m=1-1，
解得：m=2，
故答案为：2．
15．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是_______.
【解析】
分式方程去分母得：.
∵分式方程解为负数，∴.
由得和
∴的取值范围是且．
16．如图，正方形ABCD对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于______．
【解析】
先根据正方形的对角线平分一组对角求出∠BAC的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求解.
解：∵AC是正方形的对角线，
∴∠BAC=×90°=45°，
∵AF是菱形AEFC的对角线，
∴∠FAB=∠BAC=×45°=22.5°．
17．如图所示，在正方形ABCD中，点E在AB边上，BE=4， M是对角线BD上的一点（∠EMB是锐角），连接EM，EM＝5，过点M作MN⊥EM交BC边于点N．过点N 作NH⊥BD于H，则△HMN的面积=________．
【解析】
【解析】如图所示，过作于点，
∵为正方形的对角线，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
∵，，∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，即，解得，
∴，，
∴的面积为：，
故答案为：6．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为_____．
【答案】
【解析】
解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
19．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 上一点，且AE=3 ，F 为BC 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向左侧作等腰直角三角形FEG ，EG=EF，∠GEF=90°，连接AG ，则AG 的最小值为________________．
【答案】1
【解析】
过点G作GM⊥AB于点M，
∵以EF 为边向左侧作等腰直角三角形FEG ，EG=EF，∠GEF=90°，
∴∠MGE+∠MEG=∠MEG+∠BEF=90°，
∴∠MGE=∠BEF，
∵正方形ABCD中，∠B=∠GME=90°，
∴∆MGE ≅∆BEF（AAS），
∴GM=EB=AB-AE=4-3=1，
∴点G与直线AB的距离为1，
∴当AG⊥AB时，AG 有最小值，最小值为1．
故答案是：1．
20．如图，已知▱ABCO的顶点A、C分别在直线x＝2和x＝7上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为_____．
【答案】9
【解析】
解：过点B作BD⊥直线x＝7，交直线x＝7于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝2与OC交于点M，与x轴交于点F，
直线x＝7与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，
∵直线x＝2与直线x＝7均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN＝∠NCM，
∴∠OAF＝∠BCD，
∵∠OFA＝∠BDC＝90°，
∴∠FOA＝∠DBC，
在△OAF和△BCD中，，
∴△OAF≌△BCD（ASA）．
∴BD＝OF＝2，
∴OE＝7+2＝9，
∴OB＝．
∵OE的长不变，
∴当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝9．
故答案为：9．
三、解答题
21．先化简，再求值：．
【解析】
，其中．
原式
＝
＝
当时，
原式.
22．解分式方程;
(1) (2)
【解析】
（1）去分母得
检验是原方程的解；
（2）去分母得：
，解得，
把x=4代入x-4检验得，4-4=0，
故是原方程的增根，原方程无解.
23．已知：如图，平行四边形ABCD中，点E、F在AD上，且AE=DF
求证：四边形BECF是平行四边形．
证明见解析.
【解析】
如答图，连接BC，设对角线交于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OD，OB=OC．
∵AE=DF，OA﹣AE=OD﹣DF，∴OE=OF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
24．我市中小学全面开展“阳光体育”活动，某校在大课间中开设了A（体操）、B（乒乓球）、C（毽球）、D（跳绳）四项活动．为了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人；
（2）请将统计图2补充完整；
（3）统计图1中B项目对应的扇形的圆心角是 度；
（4）已知该校共有学生2500人，根据调查结果估计该校喜欢体操的学生有 人．
【解析】
（1）这次被调查的学生共有160÷40%=400（人），
故答案为：400；
（2）D项目的人数为400×20%=80（人），
则A项目的人数为400-（120+160+80）=40（人），
补全图形如下：
（3）统计图1中B项目对应的扇形的圆心角是，
故答案为：108；
（4）根据调查结果估计该校喜欢体操的学生有（人），
故答案为：250．
25．如图，线段AB在第二象限，按要求作图．
【解析】
解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求；
（2）如图所示，线段A2B2即为所求；
（3）如图所示，线段A3B3即为所求．
26．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：
日销售单价x（元）
3
4
5
6
日销售量y（个）
20
15
12
10
（1）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；
（2）设经营此贺卡的销售利润为W元，求出W与x之间的函数关系式，
（3）若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？最大利润是多少元？
【解析】
解：（1）由表可知，xy＝60，
∴y＝（x＞0），
函数图象如下：
（2）根据题意，得：
W＝（x﹣2）•y
＝（x﹣2）•
＝60﹣；
（3）∵x≤10，
∴﹣≤﹣12，
则60﹣≤48，
即当x＝10时，W取得最大值，最大值为48元，
答：当日销售单价x定为10元/个时，才能获得最大日销售利润，最大利润是48元．
27．在平面直角坐标系xOy中,函数(x>0)的图象与直线l1:交于点A，与直线l2：x=k交于点B．直线l1与l2交于点C．
(1) 当点A的横坐标为1时，则此时k的值为 _______；
(2) 横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数(x>0) 的图像在点A、B之间的部分与线段AC，BC围成的区域(不含边界)为W．
①当k=3时，结合函数图像，则区域W内的整点个数是_________；
②若区域W内恰有1个整点，结合函数图象，直接写出k的取值范围：___________．
【解析】
解：设点，∵A在上，
．
．
点在函数的图象上，
；
故答案为：.
（2）①当k=3时，作图如下，
观察图象，区域W内的整点个数是3；
②当点C在曲线(x>0)下方，如下图，
区域W内唯一的1个整点为（1,1），
只需满足：当时，，
∴；
当点C在曲线(x>0)上方，如下图，
区域W内唯一的1个整点为（2,2），
只需满足：且当时，，，
∴；
综上所述：或.
28．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
【解析】
证明：（1）如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠3=∠4
∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，
∴∠1=∠2
∴∠5=∠6
∵在△ADE与△CBF中，∠3=∠4，AD=BC，∠5=∠6，
∴△ADE≌△CBF（ASA）
∴AE=CF
（2）∵∠1=∠2，
∴DE∥BF
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，
∴DE=BF
∴四边形EBFD是平行四边形
29．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数的图象与边OC、AB分别交于点D、E，且OD=BE．点M是线段DE上的一个动点．
（1）求b的值；
（2）连结OM，若三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3，求点M的坐标；
（3）设点N是平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标．
【解析】
【分析】
（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D的坐标，则OD的长度即可求得，OD=b，则E的坐标即可利用b表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程，求得b的值；
（2）首先求得四边形OAED的面积，则△ODM的面积即可求得，设出M的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标，进而求得M的坐标；
（3）分成四边形OMDN是菱形和四边形OMND是菱形两种情况进行讨论，四边形OMDN是菱形时，M是OD的中垂线与DE的交点，M关于OD的对称点就是N；四边形OMND是菱形，OM=OD，M在直角DE上，设出M的坐标，根据OM=OD即可求得M的坐标，则根据ON和DM的中点重合，即可求得N的坐标．
(1)y= x+b中,令x=0,解得y=b,则D的坐标是(0,b)，OD=b，
∵OD=BE，
∴BE=b,则E的坐标是(3,4−b)，
把E的坐标代入y=x+b得4−b=−2+b，
解得：b=3；
(2)，
∵三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，
∴，
设M的横坐标是a，则×3a=1.5，解得：a=1，
把x=a=1代入y=x+3得y=+3=，
则M的坐标是(1，)；
(3)当四边形OMDN是菱形时,如图(1),
M的纵坐标是 ,把y=代入y=x+3,得x+3=,解得：x=，
则M的坐标是(, )，
则N的坐标是(−, )；
当四边形OMND是菱形时,如图(2)OM=OD=3，
设M的横坐标是m,则纵坐标是m+3，则，
解得：m=或0(舍去).
则M的坐标是(, ).
则DM的中点是( ,).
则N的坐标是(,).
故N的坐标是(−,)或(,).
30．已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设 动点P的运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形；
（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值,并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3) 在线段PB上有一点M，且PM=5，当P运动 秒时，四边形OAMP的周长最小, 并画图标出点M的位置．
【答案】（1）t=2.5；（2）t=4 ， Q(3，4)；t=1 ， Q(-3，4)；（3）t=．
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质就可以知道PB=5，可以求出PC=5，从而可以求出t的值；
（2）要使ODQP为菱形，可以得出PO=5，由三角形的勾股定理就可以求出CP的值而求出t的值；
（3）先判断出四边形OAMP周长最小，得出AM+DM最小，即可确定出点M的位置，再用三角形的中位线得出BM，进而求出PC，即可得出结论．
解： (1)∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB=OD=5，
∴PC=5，
∴2t=5,t=2.5；
（2）当Q点在P右边时
∵四边形ODQP为菱形，
∴OD=OP=PQ=5，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：
PC=3，
∴2t=3；t=1.5 Q(8,4).
当Q点在P的左边且在BC线段上时，t=4， Q(3,4)；
当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，t=1，Q(-3,4) ．
（3）如图4，由（1）知，OD=5，
∵PM=5，
∴OD=PM，
∵BC∥OA，
∴四边形OPMD时平行四边形，
∴OP=DM，
∵四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP
=10+AM+5+DM=15+AM+DM，
∴AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小，
∴作点A关于BC的对称点E，连接DE交PB于M，
∴AB=EB，
∵BC∥OA，
∴BM=AD=，
∴PC=BC-BM-PM=10-5-=，
∴t=÷2=，
故答案：．
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