初中数学10.1 分式单元测试习题

八年级（下）第10章《分式》单元测试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1．分式可变形为（　　）

A． B． C． D．

2．如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）

A．不变 B．缩小为原来的 

C．扩大2倍 D．扩大4倍

3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＞0 B．x≠0 C．x≠2 D．x≠0且x≠2

4．下列运算中，正确的是（　　）

A． B． 

C．x+y D．

5．如果关于x的分式方程有增根，那么m的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4

6．计算的结果是（　　）

A． B． C．2xy D．

7．若关于x的分式方程2的解为非负数，则m的取值范围是（　　）

A．m＞﹣3    B．m≥﹣3    C．m＞﹣3且m≠﹣1    D．m≥﹣3且m≠﹣1

8．使得关于x的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的m的和是（　　）

A．﹣1 B．2 C．﹣7 D．0

9．如果2，则的值等于（　　）

A． B．1 C． D．2

10．某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行一次，在没有风时，飞行器的速度为v，所需时间为t1；如果风速度为p时（0＜p＜v），飞行器顺风飞行速度为（v+p），逆风飞行速度为（v﹣p），所需时间为t2．则t1、t2的大小关系为（　　）

A．t1＜t2 B．t1≤t2 C．t1≥t2 D．无法确定

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

11．若分式的值为整数，则整数x＝　         ．

12．对于分式，当x＝1时，分式的值为零，则a+b＝　           .

13．给出下列3个分式：，它们的最简公分母为　      　．

14．一种运算：规则是x※y，根据此规则化简（m+1）※（m﹣1）的结果为         ．

15．若恒成立，则A+B＝　    　．

16．计算：（）3＝      　．

17．若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是　     　．

18．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[2，m+1]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程1的解为　      　．

三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．解方程：

（1）；

（2）．

20．计算：

（1）

（2）m+1

21．先化简，再求值：，其中a2+3a+2＝0．

22．已知，求的值．

23．已知关于x的方程．

（1）已知m＝4，求方程的解；

（2）若该方程无解，试求m的值．

24．已知下面一列等式：

11；；；；…．

（1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：

（2）验证一下你写出的等式是否成立；

（3）利用等式计算：．

25．某文化用品商店用1000元购进了一批圆规，很快销售一空；商店又用1000元购进了第二批该种圆规，但进价比原来上涨了25%，结果第二次所购进圆规的数量比第一次少40件．

（1）求第一批圆规购进的单价；

（2）若商店将第一批圆规以每件7元，第二批圆规以每件8元的价格全部售出，则共可盈利多少元？

26．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．

（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；

（2）若分式的值为整数，求x的整数值．

答案与解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1．分式可变形为（　　）

A． B． C． D．

【分析】利用分式的基本性质化简即可．

【解析】．

故选：B．

2．如果把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）

A．不变 B．缩小为原来的 

C．扩大2倍 D．扩大4倍

【分析】根据x，y都扩大2倍，即可得出分子扩大4倍，分母扩大2倍，由此即可得出结论．

【解析】∵x，y都扩大为原来2倍，

∴分子3xy扩大4倍，分母x﹣y扩大2倍，

∴分式的值扩大2倍．

故选：C．

3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＞0 B．x≠0 C．x≠2 D．x≠0且x≠2

【分析】直接利用分式有意义的条件进而分析得出答案．

【解析】若式子在实数范围内有意义，则x≠0，

故选：B．

4．下列运算中，正确的是（　　）

A． B． 

C．x+y D．

【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．

【解析】A、，故本选项不符合题意；

B、，，故本选项不符合题意；

C、x+y，x+y，故本选项不符合题意；

D、，故本选项符合题意；

故选：D．

5．如果关于x的分式方程有增根，那么m的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4

【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．

【解析】方程两边都乘（x﹣2），

得m+2x＝x﹣2，

∵原方程有增根，

∴最简公分母x﹣2＝0，

解得x＝2，

当x＝2时，m+4＝0；

∴m＝﹣4，

故选：D．

6．计算的结果是（　　）

A． B． C．2xy D．

【分析】直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案．

【解析】原式•．

故选：D．

7．若关于x的分式方程2的解为非负数，则m的取值范围是（　　）

A．m＞﹣3 B．m≥﹣3 C．m＞﹣3且m≠﹣1 D．m≥﹣3且m≠﹣1

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m的范围即可．

【解析】去分母得：m+1＝2x﹣2，

解得：x，

由题意得：0且1，

解得：m≥﹣3且m≠﹣1，

故选：D．

8．使得关于x的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的m的和是（　　）

A．﹣1 B．2 C．﹣7 D．0

【分析】根据不等式组的解集的情况得出关于m的不等式，求得m的解集，再解分式方程得出x，根据x是非负整数得出m所有的m的和．

【解析】∵关于x的不等式组有解，

∴1﹣2m＞m﹣2，

解得m＜1，

由得x，

∵分式方程有非负整数解，

∴x是非负整数，

∵m＜1，

∴m＝﹣5，﹣2，

∴﹣5﹣2＝﹣7，

故选：C．

9．如果2，则的值等于（　　）

A． B．1 C． D．2

【分析】将变形为a＝2b，再将其直接代入分式计算即可．

【解析】∵，

∴a＝2b，

∴原式，

故选：C．

10．某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行一次，在没有风时，飞行器的速度为v，所需时间为t1；如果风速度为p时（0＜p＜v），飞行器顺风飞行速度为（v+p），逆风飞行速度为（v﹣p），所需时间为t2．则t1、t2的大小关系为（　　）

A．t1＜t2 B．t1≤t2 C．t1≥t2 D．无法确定

【分析】直接根据题意表示出t1、t2的值，进而利用分式的性质计算得出答案．

【解析】∵t1，t2，

∴t1﹣t2═，

∵0＜p＜v，

∴t1﹣t2＜0，

∴t1＜t2．

故选：A．

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上

11．若分式的值为整数，则整数x＝　0或﹣2或﹣3　．

【分析】先化简分式，再根据值为整数求出x+1的取值，进而得x的取值．

【解析】原式，

∵原式的值为整数，

∴x+1＝±1或±2，

∴x＝﹣3或﹣2或0或1，

但当x＝1时，原式分母为0，原式无意义，应舍去，

∴x＝﹣3或﹣2或0．

故答案为：﹣3或﹣2或0．

12．对于分式，当x＝1时，分式的值为零，则a+b＝　﹣1且a，b　．

【分析】将x＝1代入原式后根据分式的值为零即可求出答案．

【解析】将x＝1代入，

∴，

∴a+b＝﹣1且a﹣2b+3≠0，

即a且b，

∴a+b＝﹣1

故答案为：﹣1且a，b，．

13．给出下列3个分式：，它们的最简公分母为　a2bc　．

【分析】根据最简公分母的定义判断即可．

【解析】3个分式，，，它们的最简公分母是a2bc．

故答案为：a2bc．

14．一种运算：规则是x※y，根据此规则化简（m+1）※（m﹣1）的结果为　　．

【分析】根据所给规则列出算式，再通分，然后计算同分母的分式减法即可．

【解析】由题意得：

（m+1）※（m﹣1），

，

，

，

．

故答案为：．

15．若恒成立，则A+B＝　4　．

【分析】异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．

【解析】右边

∴

解A＝1，B＝3，

A+B＝4，

故答案为4．

16．计算：（）3＝　　．

【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．

【解析】（）3．

故答案为：．

17．若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是　m＞5　．

【分析】首先根据，用含m的式子表示出x；然后根据：x＜0，求出m的取值范围即可．

【解析】∵，

∴x，

∵x＜0，

∴0，

解得m＞5．

故答案为：m＞5．

18．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[2，m+1]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程1的解为　x　．

【分析】根据题中的新定义化简求出m的值，代入分式方程计算即可求出解．

【解析】根据关联数”[2，m+1]的一次函数是正比例函数，得到m+1＝0，即m＝﹣1，

则方程为1＝1，即x﹣1，

解得：x，

经检验是分式方程的解．

故答案为：

三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．解方程：

（1）；

（2）．

【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解析】（1）去分母得：x+1＝2x，

解得：x＝1，

经检验x＝1是分式方程的解；

（2）去分母得：x2﹣4x+4﹣16＝x2﹣4，

解得：x＝﹣2，

经检验x＝﹣2是增根，分式方程无解．

20．计算：

（1）

（2）m+1

【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案．

（2）根据分式的运算法则即可求出答案．

【解析】（1）原式

＝2x+3；

（2）原式

．

21．先化简，再求值：，其中a2+3a+2＝0．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把方程变形后代入计算即可求出值．

【解析】原式

•

，

由a2+3a+2＝0，得到a2+3a＝﹣2，即a（a+3）＝﹣2，

则原式．

22．已知，求的值．

【分析】根据分式的运算法则以及待定系数法即可求出答案．

【解析】∵，

∴，

解得：A＝3，B＝﹣1，

∴．

23．已知关于x的方程．

（1）已知m＝4，求方程的解；

（2）若该方程无解，试求m的值．

【分析】（1）把m＝4代入方程，方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得出2（x+2）﹣4x＝x﹣1，求出方程的解，再进行检验即可；

（2）先方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得出2（x+2）﹣mx＝x﹣1，整理后得出（1﹣m）x＝﹣5，再求出所有情况即可．

【解析】（1）把m＝4代入方程得：，

方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得：2（x+2）﹣4x＝x﹣1，

解方程得：x，

检验：当x时，（x﹣1）（x+2）≠0，

所以x是原方程的解，

即原方程的解是x；

（2），

方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得：2（x+2）﹣mx＝x﹣1①，

整理得：（1﹣m）x＝﹣5②，

有三种情况：

第一情况：当x﹣1＝0时，方程无解，即此时x＝1，

把x＝1代入①得：6﹣m＝1﹣1，

解得：m＝6；

第二种情况：当x+2＝0时，方程无解，即此时x＝﹣2，

把x＝﹣2代入①得：2m＝﹣2﹣1，

解得：m；

第三种情况：∵（1﹣m）x＝﹣5②，

∴当1﹣m＝0时，方程无解，

即此时m＝1；

所以m＝6或或1．

24．已知下面一列等式：

11；；；；…．

（1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：

（2）验证一下你写出的等式是否成立；

（3）利用等式计算：．

【分析】（1）先要根据已知条件找出规律；（2）根据规律进行逆向运算．（3）根据前两部结论进行计算．

【解析】（1）由11；；；；…．可知它的一般性等式为；

（2）∵•，

∴原式成立；

（3）

．

25．某文化用品商店用1000元购进了一批圆规，很快销售一空；商店又用1000元购进了第二批该种圆规，但进价比原来上涨了25%，结果第二次所购进圆规的数量比第一次少40件．

（1）求第一批圆规购进的单价；

（2）若商店将第一批圆规以每件7元，第二批圆规以每件8元的价格全部售出，则共可盈利多少元？

【分析】（1）设第一批购进圆规的单价为x元/件，则第二批购进圆规的单价为（1+25%）x元/件，根据数量＝总价÷单价结合第二次所购进圆规的数量比第一次少40件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）利用数量＝总价÷单价及第二次所购进圆规的数量比第一次少40件，可分别求出第一批及第二批购进圆规的数量，再利用利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，即可求出结论．

【解析】（1）设第一批购进圆规的单价为x元/件，则第二批购进圆规的单价为（1+25%）x元/件，

依题意得：40，

解得：x＝5，

经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．

答：第一批购进圆规的单价为5元/件．

（2）第一批购进圆规的数量为1000÷5＝200（件），

第二批购进圆规的数量为200﹣40＝160（件），

共盈利（200×7﹣1000）+（160×8﹣1000）＝400+280＝680（元）．

答：一共盈利680元．

26．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，．

（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；

（2）若分式的值为整数，求x的整数值．

【分析】（1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可；

（2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值．

【解析】（1）由题可得，2；

（2）x﹣1，

∵分式的值为整数，且x为整数，

∴x+1＝±1，

∴x＝﹣2或0．