数学八年级下册10.1 分式精品同步训练题

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1．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＜3B．x＞3C．x≠3D．x＝3
【答案】C
【解析】试题分析：要使有意义，
则x－3≠0，即x≠3，
故答案选C．
2．下列运算结果为x-1的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质和运算法则分别计算即可判断．
【解析】A．=，故此选项错误；
B．原式=，故此选项g正确；
C.原式=，故此选项错误；
D.原式=，故此选项错误.
故答案选B.
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算顺序和运算法则是解题的关键．
3．化简的结果是（ ）
A．m+nB．n﹣mC．m﹣nD．﹣m﹣n
【答案】A
【解析】试题分析：====m+n．故选A．
考点：分式的加减法．
4．下列分式中，最简分式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据最简分式的定义即可求出答案．
【解析】解：（A）原式=，故A不是最简分式；
（B）原式==x-y，故B不是最简分式；
（C）原式==x-y，故C不是最简分式；
(D) 的分子分母都不能再进行因式分解、也没有公因式.
故选D．
【点睛】本题考查最简分式，解题关键是正确理解最简分式的定义，本题属于基础题型．
5．若分式的值为0,则x的值为( )
A．1B．0C．-1D．0或-1
【答案】A
【分析】根据分式等于零的条件“分子为零，分母不为零”，进行计算即可.
【解析】∵=0，
∴x2﹣1=0，
解得：x=±1，
又∵当x=﹣1时，x2+x=0，
∴x=1.
故选A.
【点睛】本题考查分式的值为零需要满足的条件：（1）分子的值为零；（2）分母的值不为零；两个条件必须同时具备，缺一不可.
6．生物学家发现了一种病毒，其长度约为，将数据用科学记数法表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解析】解：．
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．计算÷-的结果为( )
A．B．C．D．a
【答案】C
【分析】由分式的加减乘除的运算法则进行计算，即可求出答案．
【解析】解：
=
=
=
=
故选：C
【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
8．甲、乙两人同时从A地出发到B地,如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点,再用2v的速度到达B地,则下列结论中正确的是( )
A．甲、乙同时到达B地B．甲先到达B地
C．乙先到达B地D．谁先到达B地与v有关
【答案】B
【解析】设从A地到B地的距离为2s,而甲的速度v保持不变,
∴甲所用时间为,
又乙先用v的速度到达中点,再用2v的速度到达B地,
∴乙所用时间为,
∴甲先到达B地,
故选：B.
9．关于的分式方程的解是正数，则字母的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】试题分析：分式方程去分母得：2x－m＝3x＋3，
解得：x＝－m－3，
由分式方程的解为正数，得到－m－3＞0，且－m－3≠－1，
解得：m＜－3，
故选D．
点睛：此题考查了分式方程的解，要注意分式方程分母不为0这个条件．
10．已知，，满足，则值为（ ）.
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】设，则x=2k，y=6k，z=3k．代入
求值即可
【解析】设，
则，，
∴，，
∴，
则.
【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键
二、填空题
11．若把分式中的x,y都扩大10倍,则分式的值_______.
【答案】扩大10倍.
【分析】将原分式x，y都扩大十倍进行约分变形，再与原分式进行比较即可.
【解析】若把分式中的x，y都扩大10倍，
则==10×，
∴分式的值扩大了10倍.
故答案为扩大10倍.
【点睛】本题考查分式基本性质.
12．约分：________．
【答案】
【分析】根据分式的基本性质解答即可．
【解析】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的约分，属于基础题型，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
13．分式和分式的最简公分母是 ___________．
【答案】
【分析】根据分式的性质求出最简公分母即可．
【解析】解：∵，，
∴他们的最简公分母为：．
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查分式的通分，熟练掌握分式最简分母的确定方法是解题关键．
14．当关于x的方程的解为时，m的值为______．
【答案】3
【分析】把代入方程中，即可求出m值．
【解析】解：把代入中，得：
，
解得：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解题的关键是理解方程的解能使方程左右两边相等．
15．某服装厂准备加工300套“庆三八”活动演出服，加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用9天完成任务，求该厂原来每天加工多少套演出服？设服装厂原来每天加工x套演出服．则列方程为：___________．
【答案】
【分析】设服装厂原来每天加工x套演出服，根据按原计划加工60套所用的天数采用新技术后用的天数，列出方程即可．
【解析】解：设服装厂原来每天加工x套演出服，根据题意得：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．
16．关于的方程有增根，则______．
【答案】5
【分析】先将原方程变形为整式方程，再将代入求得m的值即可．
【解析】解：
方程左右两边同时乘以得：
∵原方程有增根
∴
∴，解得．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了分式方程的增根、解分式方程等知识点，正确理解分式方程的增根的概念是解题关键．
17．已知，则的值为______．
【答案】
【分析】根据已知条件得出，代入分式进行计算即可求解．
【解析】解：∵，
∴
即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减以及分式的求值，得出是解题的关键．
18．若整数a既使得关于x的分式方程有整数解，又使得关于x，y的方程组的解为正数，则____．
【答案】5
【分析】先解分式方程，根据分式方程有整数解求出a的值，再解不等式组，根据不等式组解为正求出a的取值范围，再综合得出结论．
【解析】解：解方程得，
，
∵分式方程有整数解，且，
∴或或或1或2或4，且，
∴或1或2或4或5，
解方程组得，
，
∵方程组的解为正数，
∴，
解得，
综上，．
故答案为：5．
【点睛】本题考查解分式方程与不等式组，熟练掌握根据分式方程与不等式组解的情况求字母参数值是解题的关键．
三、解答题
19．（1）通分：和；
（2）约分：．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；
（2）原式变形后，约分即可得到结果．
【解析】解：（1），；
（2）．
【点睛】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式．
20．计算：
(1)
(2)
(3)
(4).
(5)
(6).
(7)
(8).
(9)
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
(6)；
(7)；
(8)；
(9)
【分析】（1）根据积的乘方法则、负整数指数幂的运算法则把原式变形，再根据分式的乘除法法则计算，得到答案；
（2）先因式分解再根据分式的乘法运算法则计算即可；
（3）先将除法转化为乘法，然后利用分式乘法法则进行计算即可；
（4）先寻找2个分式分母的最小公倍式，将最小公倍式作为的公分母；然后在进行减法计算，最后进行化简；
（5）找出最简公分母，先通分，再相加减，最后化简即可；
（6）有分式的加减乘除运算进行化简，即可得到答案；
（7）先通分，然后根据分式除法的运算法则计算即可；
（8）先分别对所有分子、分母因式分解，然后再化除为乘，最后约分计算即可；
（9）先将减号后面两个分式的分子和分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再计算乘法，继而通分、计算减法即可．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式=
=
=
；
（4）原式=
=
=
=
=；
（5）
=
=
=
=
=；
（6）原式
；
（7），
，
，
，
，
；
（8）原式
；
（9）原式，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，属于基础题型，掌握分式的混合运算法则以及因式分解的知识是解答本题的关键．
21．解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可．
【解析】（1）解：，
去分母，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，
；
（2），
去分母，得，
解得，
经检验，是增根，
分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
22．先约分，再求值： 其中．
【答案】
【分析】先把分式的分子分母分解因式，约分后把a、b的值代入即可求出答案．
【解析】解：原式=
=
=
当时
原式==．
【点睛】本题考查了分式的约分，解题的关键是熟练进行分式的约分，本题属于基础题型．
23．求代数式的值，其中x=1．
【答案】，0
【分析】运用分式的混合运算法则先行化简，再代入求解即可．
【解析】解：原式=
=
=
=
=，
当时，原式=．
【点睛】本题考查分式的化简求值，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
24．已知，求A、B的值.
【答案】A=， B=
【分析】先对等式右边通分，再利用分式相等的条件列出关于A、B的方程组，解之即可求出A、B的值.
【解析】解：∵ ,
又∵，
∴，
∴ ，
解得.
∴A=， B=.
【点睛】本题考查了分式的基本性质.利用分式的基本性质进行通分，再利用系数对应法列出方程组是解题的关键.
25．已知关于x的分式方程．
(1)当时，求这个分式方程的解．
(2)小明认为当时，原分式方程无解，你认为小明的结论正确吗？请判断并说明理由．
【答案】(1)；
(2)小明的结论正确，理由见解析．
【分析】（1）按照解分式方程的步骤求解即可；
（2）按照解分式方程的步骤求解即可．
【解析】（1）解：
去分母，得，
当时，得，
解得，
经检验，是原方程的根；
（2）解：小明的结论正确，理由如下：
去分母，得，
当时，，
解得，
经检验，是原方程的增根，原方程无解，
∴小明的结论正确．
【点睛】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解步骤与方法．
26．请仿照例子解题：
恒成立，求M、N的值．
解：∵，∴
则，即
故，解得：
请你按照．上面的方法解题：若恒成立，求M、N的值．
【答案】M、N的值分别为，
【分析】仿照题目当中例题的解法，一步一步的求解，根据等式两边对应项的系数相等列出关于M、N的二元一次方程组，进而求出M、N的值．
【解析】解：∵，
∴
即
故，
解得
答：M、N的值分别为，．
【点睛】此题考查了分式混合运算，解题的关键是读懂例题的解法并熟练运用分式运算法则．
27．习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，区委区政府积极相应对通往某偏远学校的一段全长为米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用天完成道路改造任务．
(1)求原计划每天铺设路面多少米？
(2)若承包商原来每天支付工人工资为元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
【答案】(1)原计划每天铺设路面80米；
(2)完成整个工程后承包商共支付工人工资元．
【分析】（1）设原计划每天铺设路面x米，根据工作总量=工作效率时间结合共用列方程即可得到答案；
（2）根据（1）求出时间，再根据金额=单价时间即可得到答案．
【解析】（1）解：设原计划每天铺设路面x米，由题意可得，
，
解得：，
经检验：是方程的解，
答：原计划每天铺设路面80米；
（2）解：由（1）得，
（天），（天），
∴总费用为：，
答：完成整个工程后承包商共支付工人工资元．
【点睛】本题考查分式方程解决实际应用中的工程问题，解题的关键是找到等量关系式．
28．在国家发展的新时期，河南省将加快建设内联外通、立体高效的快速交通网，其中要新建或续建一批高速公路项目．已知A，B两市原国道长为，经过改修高速公路后，长度比原来缩短了，高速公路通车后，一辆长途汽车在高速公路上的行驶速度比在国道上的行驶速度提高了，从A市到B市高速上行驶的时间是原来在国道上行驶时间的，求该长途汽车在原国道上行驶的速度．
(1)设该长途汽车在原国道上行驶的速度为，根据题意解答下列问题：
①该长途汽车在高速上行驶的速度为 ；
②该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速上行驶的时间为 h；
③根据题意列出关于x的方程为 ，解方程得 ，经检验，x的值是原方程的解且符合题意；
④答：
(2)若设该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速上行驶的时间为，据此请你列出方程并解决这个问题．
【答案】(1)①；②；③，；④该长途汽车在原国道上行驶的速度为；
(2)．
【分析】（1）设该长途汽车在原国道上行驶的速度为，则该长途汽车在高速上行驶的速度为，然后根据在国道和高速路中时间关系列出方程，求解即可；
（2）设该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速上行驶的时间为，然后根据在国道上和高速路上速度关系列出方程，求解即可．
【解析】（1）解：设该长途汽车在原国道上行驶的速度为，
则该长途汽车在高速上行驶的速度为，
该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速上行驶的时间为，
根据题意列出关于x的方程为，
解方程得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
答：该长途汽车在原国道上行驶的速度为．
故答案为：①；②；③，；④该长途汽车在原国道上行驶的速度为；
（2）解：设该长途汽车在原国道上行驶的时间为，则在高速上行驶的时间为，
根据题意得：，
解方程得：，
经检验，是原方程的解，
答：该长途汽车在原国道上行驶的时间为．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出分式方程．
29．先阅读，再答题：
，
，
……
一般地，有.
(1)计算：；
(2)计算：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题目提供结论化简为，先进行同分母分式加减，再进行异分母分式加减运算即可求解；
（2）根据题目提供结论将原式变形为，逆用分配率得到，
再进行同分母分式加减，最后进行异分母分式加减，化简即可求解．
【解析】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算法则，根据题目提供结论将原题进行变形是解题关键．
30．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如：，像这样的分式是假分式；像，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如：；，解决下列问题：
（1）将分式化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可）
（2）如果分式的值为整数，求的整数值
【答案】（1）；（2）、、0、
【分析】（1）由“真分式”的定义，可仿照例题得结论；
（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定的值．
【解析】解：（1）
故答案为：；
（2）原式
因为的值是整数，分式的值也是整数，
所以或，
所以、、0、．
所以分式的值为整数，的值可以是：、、0、．
【点睛】本题考查了利用分式的性质对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义．
31．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”．
(1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
(2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t．
①求G所代表的代数式；
②求x的值；
(3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值．
【答案】(1)A与B是互为“和整分式”， “和整值”；
(2)①；②
(3)的值为：或．
【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果；
（2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案；
（3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可．
【解析】（1）解：∵，，
∴


．
∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”；
（2）①∵，，
∴

∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”，
∴，
∴；
②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数，
∴或，
∴（舍去）；
（3）由题意可得：，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵方程无解，
∴或方程有增根，
解得：，
当，方程有增根，
∴，
解得：，
综上：的值为：或．
【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键．
32．阅读理解：
材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：
根据上述材料完成下列问题：
(1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）；
(2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
(3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ．
【答案】(1)减小，减小
(2)当时，无限接近于2
(3)
【分析】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可；
（2）根据材料由即可求解；
（3）由，配合即可求解．
【解析】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小，
∴随着的增大，的值随之减小；
∵当时，随着的增大，的值也随之减小，
∴随着的增大，的值随之减小，
故答案为：减小；减小；
（2）解：∵
∵当时，的值无限接近于0，
∴当时，无限接近于2；
（3）解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
即
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
…
0
1
2
3
4
…
…
无意义
1
…