初中数学鲁教版 (五四制)七年级下册3 直角三角形精品课后练习题

第十章第三节直角三角形同步课时训练

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，在中，，点在线段上，且，，，则的长度为（    ）

A． B． C．2 D．

2．如图所示，在中，，，D是BC的中点，连接AD，，垂足为E，则AE的长为（   ） 

A．4 B．6 C．2 D．1

3．如图，在中，，点是的中点，交于；点在上，，，，则的长为（    ）

A．12 B．10 C．8 D．6

4．如图，平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点．若是轴上的动点，则的最小值（    ）

A． B．6 C． D．4

5．如图，一棵高5米的树被强台风吹斜，与地面形成夹角，之后又被超强台风在点处吹断，点恰好落在边上的点处，若，则的长是（    ）

A．2 B．3 C． D．

6．已知直角三角形中30°角所对的直角边为4cm，则斜边的长为（　　　）

A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm

7．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD⊥AB于点D，△ABC的面积为120，则△BCD的面积为（     ）

A．20 B．24 C．30 D．40

8．如图，，已知中，，，的顶点、分别在边、上，当点在边上运动时，点随之在边上运动，的形状保持不变，在运动过程中，点到点的最大距离为（    ）

A．12.5 B．13 C．14 D．15

9．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形……按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（    ）

A． B． C． D．

10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列四个结论正确的有（　　）．

①∠CAD＝30° ②AD＝BD   ③BD＝2CD   ④CD＝ED

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

11．如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，且AD＝2CD，AC＝6，点E是AB上一点，连接DE，则DE的最小值为____．

12．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC′与AB交于点A′，连接AC′，若AD＝AC′＝4，BD＝6，则点D到BC的距离为_____．

13．如图，在平面直角坐标系中，，，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，…，按此规律进行下去，则的坐标是_______．

14．已知，在等腰中，于点，且，则等腰底角的度数为_________．

15．如图，在中，，，，若点M从点B出发以的速度向点A运动，点N从点A出发以的速度向点C运动，设M，N分别从点B，A同时出发，运动的时间为，当_______s时，是为底边的等腰三角形．

16．如图，中，，若是的中点，，垂足是，则的值等于________．

三、解答题

17．如图，在中，D为BC上一点，，于点A，．

（1）求证：；

（2）当，时，求．

18．在中，，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于．

（1）证明：是等腰三角形；

（2）若，求的长．

19．已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，过点作交于点．

（1）求证：；

（2）当时，试判断以为顶点的三角形的形状，并说明理由；

（3）当点在线段上运动时，试探究与的数量关系，并证明你的结论．

20．已知，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E三点不在一条直线上（如图1）．

（1）求证：BD＝AE；

（2）若∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝5，求BD的长；

（3）若点B，C，E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为3和5，求AD的长．

参考答案

1．B

2．C

3．C

4．B

5．C

6．A

7．C

8．C

9．C

10．C

11．2

12．

13．(，)

14．45°或15°或75°

15．

16．

17．（1）见详解；（2）

【详解】

（1）证明：如图，延长AD到E，使DE＝AD，

在△ACD和△EBD中，

，

∴△ACD≌△EBD（SAS），

∴BE＝AC，∠E＝∠CAD＝90°，

∵∠BAD＝30°，

∴BE＝AB，

∴；

（2）解：∵AB＝4，

∴BE＝×4＝2，

∴S△ABD＝AD•BE＝× ×2＝．

18．（1）见解析；（2）；

【详解】

（1）∵是的角平分线，∴ ；

∵  ，∴  ，

∴  ，

∴  ，

∴  是等腰三角形

（2）∵ 是等腰三角形，为底边的中点，

∴ ，，

∵ ，

∴ ；

∴

∵ 中，，

∴

∵ 中，，

∴ ．

19．（1）证明见详解；（2）以为顶点的三角形的形状是等边三角形，证明见详解（3）=．证明见详解．

【详解】

证明：（1）过点D作DH∥AC交BC于H，

则∠DHB=∠ACB，

∵是等边三角形，

所以AB=AC，∠B=∠ACB=60°，

∴∠B=∠DHB=60°，

∴DB=DH，

∵作法DH∥AC，

∴∠HBE=∠F，∠DHE=∠FCE，

∵，

∴△DEH≌△FEC（AAS），

∴DH=FC，

∴BD=CF；

（2）以为顶点的三角形的形状是等边三角形，

连结DG，

∵ED⊥AB于D，

∴∠B+∠DEB=90°，∠B=60°，

∴∠DEB=90°-∠B=30°，

又∵，∠ACB=60°，

∴∠DEB+∠GED=90°，∠EGC+∠GCE=90°，

∴∠GED=90°-∠DEB=60°，∠EGC=90°-∠GCE=30°，

由（1）知DH=BD,∠B=60°，

∴△BHD为等边三角形，

∴∠BDH=60°，

∴∠HDE=90°-∠BDH=30°，

∠F=∠HDE=30°，

∴∠F=∠EGC=30°，

∴GE=EF=DE，

∴△DEG为等边三角形；

（3）=．

∵，△BHD为等边三角形，

∴AB=BC，DB=BH，

∴AB-BD=BC-BH，

∴AD=HC，

∵作法DH∥AC，

∴∠HBE=∠F，∠DHE=∠FCE，

∵，

∴△DEH≌△FEC（AAS），

∴HE=CE，

∵，∠ACB=60°，

∴∠EGC+∠GCE=90°，

∴∠EGC=90°-∠GCE=30°，

∴GC=2EC=CH=AD，

∴GC=AD．

20．（1）见详解；（2）；（3）．

解：（1）∵△ABC和△DCE都是等边三角形，

∴BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，

∴∠BCD=∠ACE

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴BD＝AE；

（2）∵∠ADC＝30°，∠CDE=60°，

∴∠ADE=30°+60°=90°，

∵AD＝4，DE=CD＝5，

在直角△ADE中，由勾股定理得

，

∴；

（3）过A作AF⊥CD于F，如图：

∵∠ACB=60°，∠DCE=60°，

∴∠ACD=60°，

∵∠AFC=∠AFD=90°，

∴∠CAF=30°，

∵AC=3，CD=5，

∴，

∴，

∴，

由勾股定理，则

．