人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试精品同步练习题

第二十八章 锐角三角函数 综合检测试卷

(满分：120分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．tan 30°的值是(　B　)

A.  B.  C.  D.

2．Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则tan∠A＝(　A　)

A.  B.  C.  D.

3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列关系成立的是(　A　)

A．AC＝AB sin B  B．AC＝AB sin A

C．BC＝AC sin B  D．AC＝BC sin A

4. 水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD＝6 m，坝高DE＝24 m，斜坡AB的坡角是45°，斜坡CD的坡度是1∶2，则坝底BC的长是(　C　)

A. 42 m  B．(30＋24) m

C. 78 m  D．(30＋8) m

5．如图，P是平面直角坐标系中第一象限内一点，OP＝1，且OP与x轴正方向夹角为α，则P点关于x轴对称的点P′的坐标是(　C　)

A．(cos α，sin α)  B．(sin α，cos α)

C．(cos α，－sin α)  D．(sin α，－cos α)

第5题

6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别为OB，OC的中点，则cos∠OMN的值为(　B　)

A.  B.  C.  D．1

第6题

7．如果＋|tan B－3|＝0，那么△ABC是(　C　)

A．锐角三角形  B．直角三角形  C．等边三角形  D．钝角三角形

8．在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为ρ，OP与x轴正方向的夹角为α，则用[ρ，α]表示点P的极坐标，显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系．例如：点P的坐标为(1,1)，则其极坐标为[，45°]．若点Q的极坐标为[4,60°]，则点Q的坐标为(　A　)

A．(2,2)  B．(2，－2)  C．(2，2)  D．(2,2)

9．如图，小明要测量小岛B到河边公路l的距离，在点A处测得∠BAD＝30°，在点C处测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，则小岛B到公路l的距离为(　B　)

A．25米    B．25米    C.米    D．(25＋25)米

第9题

10．如图，菱形ABCD的周长为40 cm，DE⊥AB，垂足为点E，sin A＝，则下列结论正确的有(　C　)

①DE＝6 cm；②BE＝2 cm；③菱形的面积为60cm2；④BD＝4 cm.

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

第10题

二、填空题(每小题3分，共18分)

11．已知α为锐角，且sin(α－10°)＝，则α＝　70　度．

12．将cos 21°，cos 37°，sin 41°，cos 46°按照从小到大的顺序排列为　sin 41°＜cos 46°＜cos 37°＜cos 21°　.

13．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的余弦值是　　.

第13题

14. 一轮船以20海里/时的速度向正东方向航行，上午8时，该船在A处测得灯塔B位于它的北偏东30°的B处；上午9时，行至距B最短距离的C处，此时它与灯塔的距离是　20　海里．(结果保留根号)

15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至点D，使AD＝AB，则tan 75°的值是　2＋　.

第15题

16．如图，等边△ABC的边长为8，D，E两点分别从顶点B，C出发，沿边BC，CA以1个单位长度/s、2个单位长度/s的速度向顶点C，A运动，DE的垂直平分线交BC边于点F，若某时刻tan∠CDE＝时，则线段CF的长度为　　.

第16题

三、解答题(共72分)

17．(8分)(1)计算：(cos 60°)－1÷(－1)2021＋|2－|－×(tan 30°－1)0；

解：原式＝－1÷(－1)＋(－2)－×1＝－2＋2－2－2＋2＝－2.

(2)已知α为锐角，sin(α＋15°)＝，计算－4cos α＋tan α＋－1的值．

解：∵sin(α＋15°)＝，∴α＝45°，∴－4cos α＋tan α＋－1＝2－2＋1＋3＝4.

18．(6分)如图，在△ABC中，AB＝，∠B＝45°，tan∠C＝，求△ABC的周长．

第18题

解：过点A作AD⊥BC于点D.∵∠B＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD＝AB＝×＝1.∵tan C＝＝，∴＝，∴CD＝2，∴BC＝BD＋CD＝1＋2＝3.在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AC＝＝＝，∴△ABC的周长为＋3＋.

19．(8分)如图，若要在宽为40 m的道路AD两边安装路灯，灯柱AB高10 m，路灯的灯臂BC与灯柱AB成130°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路的中心线时照明效果最好，此时路灯的灯臂BC应为多少米？(结果精确到0.01，参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)

第19题

解：延长CB，OA交于点E.∵∠ABC＝130°，∴∠E＝40°.在Rt△ABE中，∵AB＝10 m，∴sin 40°＝，∴BE＝15.625 m．由勾股定理，得AE≈12.00 m．∵OA＝20 m，∴OE＝12＋20＝32(m)．在Rt△OEC中，cos 40°＝，∴CE≈24.64 m，∴BC≈24.64－15.625≈9.02(m)．

20．(8分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1.

(1)求BC的长；

(2)求tan∠DAE的值．

第20题

解：(1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1.在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sin B＝ ，AD＝1，∴AB＝ ＝3，∴BD＝＝2，∴BC＝BD＋DC＝2＋1.(2)∵AE是BC边上的中线，∴CE＝BC＝＋，∴DE＝CE－CD＝＋－1＝－ ，∴tan∠DAE＝＝－  .

21．(10分)某施工队准备在一段斜坡上铺台阶方便通行．如图1，现测得斜坡上的两棵树间水平距离AB＝4 m，斜面距离BC＝4.25 m，斜坡总长DE＝85 m.

(1)求坡角∠D的度数；(结果精确到1°)

(2)若这段斜坡用厚度为17 cm的长方体台阶(如图2)来铺，需要铺几级台阶？

(参考数据：cos 20°≈0.94，sin 20°≈0.34，sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95)

　　　　图1　　　　　　　　图2

第21题

解：(1)由题意，知∠D＝∠ABC，∴cos∠D＝cos∠ABC＝＝≈0.94，∴∠D≈20°.　(2)EF＝DE·sin D＝85×sin 20°≈85×0.34＝28.9(m)．故需要铺28.9×100÷17＝170(级)台阶．

22．(10分)如图，在△ABC中，∠B，∠C对边分别为b，c.

(1)∠B，∠C均为锐角，求证：＝；

(2)在△ABC中，AB＝，AC＝，∠B＝45°，当∠C为锐角时，利用(1)题的结论求出∠C的大小．

第22题

(1)证明：过点A作AD⊥BC，垂足为点D.在Rt△ADB中，＝＝.在Rt△ADC中，＝＝.故＝.

(2)解：由(1)，得sin C＝＝＝.又∵∠C为锐角，∴∠C＝60°.

23．(10分)如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离AB是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离CD是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°.两人相距5米且位于旗杆同侧(点B，D，F在同一条直线上)．

(1)求小敏到旗杆的距离DF；(结果保留根号)

(2)求旗杆EF的高度．(结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7)

第23题

解：(1)过点A作AM⊥EF于点M，过点C作CN⊥EF于点N，设CN＝x米．在Rt△ECN中，∵∠ECN＝45°，∴EN＝CN＝x米，∴EM＝x＋0.7－1.7＝(x－1)米．∵BD＝5米，∴AM＝BF＝(5＋x)米．在Rt△AEM中，∵∠EAM＝30°，∴tan∠EAM＝＝，即＝，解得x＝4＋3.经检验，x＝4＋3是原分式方程的解．即DF＝CN＝(4＋3)米．　(2)由(1)，得EF＝x＋0.7＝4＋3＋0.7≈4＋3×1.7＋0.7＝9.8≈10(米)．即旗杆EF的高度约为10米．

24．(12分)某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A，B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°、B地北偏西60°方向上有一牧民区C.一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案Ⅰ：从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C；方案Ⅱ：从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C.已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍．

(1)求牧民区到公路的最短距离CD；

(2)你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由．(结果精确到0.1千米，参考数据：≈1.73，≈1.41)

第24题

解：(1)设CD＝x千米．由题意，得∠CBD＝30°，∠CAD＝45°.在Rt△ACD中，∵∠CAD＝45°，∴AD＝CD＝x千米．在Rt△BCD中，tan 30°＝，∴BD＝x千米．∵AD＋DB＝AB＝40千米，∴x＋x＝40.解得x≈14.6.即牧民区到公路的最短距离CD为14.6千米．　(2)方案Ⅰ比较合理．理由：设汽车在草地上行驶的速度为v，则在公路上行驶的速度为3v.在Rt△ADC中，∠CAD＝45°，∴AC＝CD，∴方案Ⅰ用的时间t1＝＋＝＝；方案Ⅱ用的时间t2＝＝.∴t2－t1＝－＝.∵3－4>0，∴t2－t1>0，即t2>t1.故方案Ⅰ用的时间少，即方案Ⅰ比较合理．