初中数学北师大版八年级下册2 提公因式法完美版ppt课件

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公因式提公因式法.多项式的变形原则 用提公因式法分解因式（重点、难点）
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式 .
二、整式乘法与分解因式之间的关系.
知识点1 公因式
多项式ab＋bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2＋x呢？多项式mb2＋nb－b呢？尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流.
公因式的定义： 一个多项式各项都含有的相同因式 ,叫做这个多项式各项的公因式 .
怎样确定多项式各项的公因式？
系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公 约数； 字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字 母最低次幂；
指出下列多项式各项的公因式：(1)3a2y－3ya＋6y； (2) xy3－ x3y2；(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
(1)3，6的最大公约数是3，所以公因式的系数是3；有相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因式是3y. (2)多项式各项的系数是分数，分母的最小公倍数是27，分子的最大公约数是4，所以公因式的系数
是 ；两项都有x，y，且x的最低次数是1，y的最低次数是2，所以公因式是(3)观察发现三项都含有x－y，且x－y的最低次数是2，所以公因式是(x－y)2.(4)此多项式的第一项是“－”号，应将“－”提取变为－(27a2b3－36a3b2－9a2b)．多项式27a2b3－36a3b2－9a2b各项系数的最大公约数是9；各项都有a，b，且a的最低次数是2，b的最低次数是1，所以这个多项式各项的公因式是－9a2b.
1　多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是(　　)A．8xy B．2xy C．4xy D．2y
2　式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是(　　)A．5ab(b－a) B．5a2b2(b－a)C．5a2b(b－a) D．以上均不正确
知识点2 提公因式法
(1)多项式2x2＋6x3中各项的公因式是什么？(2)你能尝试将多项式2x2＋6x3因式分解吗？与同 伴交流.
确定一个多项式的公因式时，要从____________和__________________分别进行考虑 .
　　公因式的系数应取各项系数的最大公约数.
　　公因式中的字母取各项相同的字母，而且各项相同字母的指数取其次数最低的.
(1)3x＋x3＝x·3＋x·x2＝x(3＋x2);(2)7x3－21x2＝7x2·x－7x2·3＝7x2(x－3);(3)8a3b2－12ab3c＋ab＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1＝ab(8a2b－12b2c＋l)；
把下列各式因式分解：(1)3x＋x3；(2)7x3－21x2;(3)8a3b2－12ab3c＋ab；(4)－24x3＋12x2－28x.
(4)－24x3＋12x2－28x＝－( 24x3－12x2＋28x)＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)＝ －4x(6x2－3x＋7).
提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系?
利用提公因式法解答下列各题：(1)计算：978×85＋978×7＋978×8；(2)已知2x－y＝ ，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．
(1)题每一项都含有公因数978，把978作为公因式提出；(2)题先对所求式提取公因式，再整体代入计算．
(1)原式＝978×(85＋7＋8)＝978×100＝97 800.(2)2x4y3－x3y4＝x3y3(2x－y)＝(xy)3(2x－y)．当2x－y＝ ，xy＝2时，原式＝23× ＝
把下列各式因式分解：(1)ma＋mb； (2)5y3＋20y2；(3)6x－9xy； (4)a2b－5ab；(5)4m3－6m2； (6)a2b－5ab＋9b；(7)－a2＋ab－ac； (8)－2x3＋4x2－6x.
(1) ma＋mb＝m(a＋b)．(2) 5y3＋20y2＝5y2(y＋4)．(3) 6x－9xy＝3x(2－3y)．(4) a2b－5ab＝ab(a－5)．(5) 4m3－6m2＝2m2(2m－3)．(6) a2b－5ab＋9b＝b(a2－5a＋9)．(7) －a2＋ab－ac＝－a(a－b＋c)．(8) －2x3＋4x2－6x＝－2x(x2－2x＋3)．
知识点3 多项式的变形原则
请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“－”，使等式成立：(1) 2－a＝_____(a－2)；(2) y－x＝_____(x－y )；(3) b＋a＝_____(a＋b)；(4)(b－a)2＝____(a－b)2；(5 ) －m－n＝____(m＋n); (6)－s2＋t2＝___(s2－t2). 
添括号法则：(1)添上括号和“＋”号，括到括号里的各项都不 变.(2)添上括号和“－”号，括到括号里的各项都改 变符号.
把a(x－y)－b(y－x)提公因式后，所得的另一个因式是(　　)A．a－b　　　　　　　　B．a＋bC．x＋y D．x－y
因为y－x＝－(x－y)，所以若将－b(y－x)转化为＋b(x－y)，则多项式出现公因式x－y，由此可确定剩余的因式．
　在下列各式中，从左到右的变形正确的是(　　)A．y－x＝＋(x－y) B．(y－x)2＝－(x－y)2C．(y－x)3＝(x－y)3 D．(y－x)4＝(x－y)4
知识点4 用提公因式法分解因式
(1) a(x－3)＋2b(x－3)＝(x－3)(a＋2b)；(2) y(x＋1)＋y2(x＋1)2＝y(x＋1)[1＋y(x＋1)]＝y(x＋1)(xy＋y＋1).
把下列各式因式分解：(1) a(x－3)＋2b(x－3);(2)y(x＋1)＋y2(x＋1)2.
(1)a(x－y)＋b(y－x)＝a(x－y)－b(x－y) ＝(x－y)(a－b)；
把下列各式因式分解：(1)a(x－y)＋b(y－x)； (2)6(m－n)3－12(n－m)2.
(2)6(m－n)3－12(n－m)2＝6(m－n)3－12[－(m－n)]2＝6(m－n)3－12(m－n)2＝ 6(m－n)2(m－n－2).
下面用提公因式法分解因式的结果是否正确？说明理由．若不正确，请写出正确的结果．(1)3x2y－9xy2＝3x(xy－3y2)；(2)4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y)；(3)x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝(a－b)3[x(a＋b)－y]．
(1)中括号内的多项式还有公因式，没有分解完；(2)中漏掉了商是“1”的项；(3)中(a－b)3与(b－a)3是不同的，符号相反，另外中括号内没有化简．
(1)不正确，理由：公因式没有提完全；正确的是：3x2y－9xy2＝3xy(x－3y)．(2)不正确，理由：提取公因式后剩下的因式中有常数项“1”；正确的是：4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y＋1)．(3)不正确，理由：(a－b)3与(b－a)3不一样，应先统一，且因式是多项式时要最简；正确的是：x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝x(a－b)3·(a＋b)＋ (a－b)3y＝(a－b)3[x(a＋b)＋y]＝(a－b)3(ax＋bx＋y)．
把下列各式因式分解：(1)x(a＋b)＋y(a＋b)；(2)3a(x－y)－(x－y)；(3)6(p＋q)2－12(q＋p)；(4)a(m－2)＋b(2－m)；(5)2(y－x)2＋3(x－y)；(6)mn(m－n)－m(n－m)2
(1)x(a＋b)＋y(a＋b)＝(a＋b)(x＋y)．(2)3a(x－y)－(x－y)＝(x－y)(3a－1)．(3)6(p＋q)2－12(q＋p)＝6(p＋q)(p＋q－2)．(4)a(m－2)＋b(2－m)＝a(m－2)－b(m－2)＝(m－2)(a－b)．(5)2(y－x)2＋3(x－y)＝2(x－y)2＋3(x－y)＝(x－y)[2(x－y)＋ 3]＝(x－y)(2x－2y＋3)．(6)mn(m－n)－m(n－m)2＝mn(m－n)－m(m－n)2＝m(m－n) [n－(m－n)]＝m(m－n)(n－m＋n)＝m(m－n)(2n－m)．
1、确定公因式的方法： (1)定系数 (2)定字母 (3)定指数2、提公因式法分解因式步骤(分两步)： 第一步，找出公因式；第二步，提取公因式.3、提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽； （2）小心漏掉1; （3）提出负号时,要注意变号.
1、公因式：各项都有的公共因式2、确定公因式：定系数→定字母→定指数3、步骤：观察多项式→确定公因式→提取公因式 →确定另外一个因式(找公因式→提公因式)
1.把－a(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)分解因式，正确的结果是(　　)A．(x－y)(－a－b＋c) B．(y－x)(a－b－c)C．－(x－y)(a＋b－c) D．－(y－x)(a＋b－c)
2.如果多项式－ abc＋ ab2－a2bc的一个因式是－ ab，那么另一个因式是(　　)A．c－b＋5ac B．c＋b－5acC．c－b＋ ac D．c＋b－ ac