人教版第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形课时训练

18.2.1矩形（1）同步练习

姓名：__________班级：__________学号：__________

一、选择题

1．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝4，则AC的长是(   )

A. 4          B. 8           C. 4          D. 8

2．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分面积是（   ）

A. 5           B. 3         C.           D.

3．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ）

A. 对边平行    B. 对边相等    C. 对角线互相平分    D. 对角线相等

4．如图所示，矩形ABCD的对角线交于O，AE⊥BD于E，∠1：∠2=2：1， 则∠1的度数为（     ）．

A. 22．5°       B. 45°       C. 30°        D. 60°

5．E为矩形ABCD的边CD上的一点，AB=AE=4，BC=2，则∠BEC是（   ）．

A. 15°          B. 30°         C. 60°       D. 75°

6．一个矩形和一个平行四边形的边分别相等， 若矩形面积为这个平行四边形的面积的2倍，则平行四边形的锐角的度数为（   ）．

A. 15°       B. 30°      C. 45°       D. 60°

7．已知E、F分别是矩形ABCD的对边BC和AD上的点，且BE=BC，AF= AD，连结AC、EF，那么（  ）．

A. AC平分EF，但EF不平分AC     B. AC与EF互相平分

C. EF平分AC，但AC不平分EF     D. AC与EF不会互相平分

8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为(   )

A. 2a           B. 2a       C. 3a          D. a

9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB=8，AC=6，则△DEF的周长为（   ）

A. 12          B. 13          C. 14           D. 15

10．如图,在△ABC中,∠ACB=90°, ∠ABC=60°, BD平分∠ABC ,P点是BD的中点,若AD=6, 则CP的长为(   )

A. 3.5         B. 3          C. 4            D. 4.5

二、填空题

11．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．若AB=8，AC=6，则四边形AEDF的周长为         ．

12．如图， ，已知中， , 的顶点分别在边上，当点在边上运动时，点随之在边上运动， 的形状保持不变，在运动过程中，点到点的最大距离为____________.

13．如图，将长方形纸片ABCD折叠，折痕为EF，若AB＝2，BC＝3，则阴影部分的周长为____________．

14．如图，矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，过O作EF⊥AC，分别交AB、DC于E、F，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为_____．

15．如图，矩形ABCD内有一点E，连接AE，DE，CE，使AD=ED=EC，若∠ADE=20°，则∠AEC=____.

16．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=________°.

三、解答题

17．已知：如图，在△ABC中，，垂足为点， ，垂足为点， 为边的中点，连结、、．

（）猜想△MED的形状，并说明理由．

（）若， ，求△MED的面积．

18．如图，已知矩形ABCD的周长为20，AB＝4，点E在BC上，点F在CD上，且AE⊥EF，AE＝EF．求CF的长．

19．如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE=DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论．

20．如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，延长BC至点E，使BC=CE，连接DE．

求证：DE=AC．

21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=60cm，BC=80cm，则△AEF的周长是多少？

22．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；

（1）求证：B′E=BF；

（2）设AE=a，AB=b，BF=C，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．

参考答案

1．B

【解析】因为∠AOD＝60°，AD＝4,，矩形ABCD，AC=BD, ,∠BDA=60°，所以AO=DO=AD所以AC=8.

故选B.

2．D

【解析】过点G作GH⊥AD于点H，

由题意知，AF=FC，AB=CD=AG=4，BC=AD=8，

在Rt△ABF中，由勾股定理知AB2+BF2=AF2 ， 即42+（8﹣AF）2=AF2 ，

解得AF=5，

∵∠BAF+∠FAE=∠FAE+∠EAG=90°，

∴∠BAF=∠EAG，

∵∠B=∠AGE=90°，AB=AG，

∴△BAF≌△GAE，

∴AE=AF=5，ED=GE=3，

∵S△GAE=AG•GE=AE•GH

∴GH=，

∴S△GED= ED•GH= ×3×= ，

故选D．

3．D

【解析】矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选D．

4．B

【解析】∵四边形ABCD为矩形，AE⊥BD，

∴∠2+∠ABD=∠ADB+∠ABD =∠EAD+∠ADB=90°，

∴∠ADB=∠2，∠1+∠OAD+∠ADB=90°，

∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OD，∴∠OAD=∠ADB=∠2，∴∠1+2∠2=90°，

∵∠1：∠2=2：1，∴2∠2=∠1，

∴2∠1=90°，

∴∠1=45°，

故选B.

5．D

【解析】∵在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，

∴∠AED=30°，

∵AB∥CD，∴∠EAB=∠AED=30°，

∵AB=AE，

∴∠AEB=75°，

∴∠BEC=180°-∠AED-∠AEB=180°-30°-75°=75°．

故选D．

【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形等，熟记矩形的性质和含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.

6．B

【解析】如图，矩形ABCD与平行四边形BCFG中，BG=AB，

过点G作GH⊥BC，垂足为H，

∵S矩形ABCD=BC·AB=2S平行四边形BCFG=2BC·GH，∴BG=2GH，

∵△BGH是Rt△，∠BHG=90°，∴∠GBH=30°，

故选B.

【点睛】本题考查了矩形的面积、平行四边形的面积以及直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的运用，根据已知条件推导出平行四边形的高与一边的关系是解题的关键.

7．B

【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD//BC，∴∠DAC=∠ACB，

∵BE=BC，AF= AD，∴AF=CE，

又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，

∴AO=CO，FO=EO，即AC与EF互相平分，

故选B.

8．B

【解析】CD⊥AB ,CD＝DE＝a,所以CE=,

点E是AB的中点,CE=所以AB=2a,故选B.

9．A

【解析】试题解析：在中，由勾股定理可得：

AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，

则：

的周长为：

点睛：直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.

10．B

【解析】试题分析：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，

∴∠A＝30°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠ABC＝30°，

∴∠A＝∠ABD，

∴BD＝AD＝6，

∵在Rt△BCD中，P点是BD的中点，

∴CP＝BD＝3．

故选B．

11．14

【解析】试题解析：∵AD是高，

∵E、F分别是AB、AC的中点，

∵AB=8，AC=6，

∴AE+ED=8，AF+DF=6，

∴四边形AEDF的周长为8+6=14，

故答案为：14.

12．7

【解析】试题解析：如图，取AB的中点D，连接CD．

∵AC=BC=5，AB=6．
∵点D是AB边中点，
∴BD=AB=3，
∴CD==4；
连接OD，OC，有OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，
又∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD=AB=3，
∴OD+CD=3+4=7，即OC=7．

13．10

【解析】

∵AE=ME,AB=MN,BF=NF,

∴ME+DE+MN+CD+CF+NF

=AE+DE+AB+CD+CF+BF

=AD+AB+CD+BC

=2+3+2+3

=10.

点睛：本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

14．

【解析】如图，连接CE，

∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，EF⊥AC，

∴AE=CE，AO=AC=.

设AE= ，则CE= ，BE= ，

在Rt△BCE中，由勾股定理可得：CE2=BE2+BC2，即，

解得： ，即AE=2.5，

∴在Rt△AOE中，OE=，

∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，

∴点O是矩形的对称中心，

∴EF=2OE=.

点睛：由矩形是关于对角线中点成中心对称的可得：EF=2OE，AO=AC，从而把求EF的长转化为求OE的长，进一步转化为求AE的长，连接CE，由已知得到CE=AE，就可把问题转化到Rt△CEB中求CE的长，这样利用勾股定理建立方程即可解得AE，从而求得EF.

15．120°

【解析】在△ADE中，∵∠ADE=20°，AD=ED，∴∠AED=（180°-20°）=80°，

∵四边形ABCD是矩形，∠ADE=20°，

∴∠EDC=90°-20°=70°，

在△DEC中，∵ED=EC，

∴∠DEC=180°-70°×2=40°，

∴∠AEC=∠AED+∠DEC=80°+40°=120.

16．30

【解析】∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，

∴OB=OC，OB=OA，

∴∠OCB=∠OBC，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE=45°，

∴∠AEB=180°−90°−45°=45°，

∵∠1=15°，

∴∠OCB=∠AEB−∠EAC=45°−15°=30°，

∴∠OBC=∠OCB=30°，

∴∠AOB=30°+30°=60°，

∵OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB=OB，

∵∠BAE=∠AEB=45°，

∴AB=BE，

∴OB=BE，

∴∠OEB=∠EOB，

∵∠OBE=30°,∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°，

∴∠OEB=75°，

∵∠AEB=45°，

∴∠2=∠OEB−∠AEB=30°，

故答案为：30.

点睛:本题考查了矩形的性质,等边三角形的性质,等腰三角形的性质的综合应用,能求出∠OEB和∠AEB的度数是解此题的关键.

17．（1） 等腰三角形；（2）

【解析】试题分析：（1）由于AD⊥BC，BE⊥AC，所以△ADB和△ABE是直角三角形，又因为M为AB边的中点，所以ME=MD=AB，所以△MED为等腰三角形；

（2）由条件知∠EMD=2∠DAC=60°，从而可得等腰三角形DME是边长为2的等边三角形可得到问题答案．

试题解析：（ ）猜测△MED为等腰三角形，理由如下．

由题意可得，DM是RT△ABD斜边上的中线，

∴，

是斜边上的中线，

∴，

∴，

∴为等腰三角形．

（）由（）中可得： ， ，

∴， ，

∴，

，

∴，

∴在等腰中， ，

∴是等边三角形，边长为，

∴ ．

点睛：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、等边三角形的判定和性质和等边三角形的面积计算，题目综合性很好.

18．2cm

【解析】试题分析：根据已知条件易证△ABE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得CE=AB=4cm，根据矩形的周长为20cm可得2（4+4+BE）=20，B E=2cm，再由全等三角形的性质可得CF=BE=2cm.

试题解析：

∵AE⊥EF，

∴∠AFE=90°，

∴∠AEB+∠BAE =90°，而∠AEB+∠CEF=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

又∠ABE=∠ECF=90°，AE=EF，

∴Rt△ABE≌Rt△ECF，

∴CE=AB=4cm

又∵矩形ABCD周长为20cm

∴2（4+4+BE）=20

∴BE=2cm

∴CF=BE=2cm

19．详见解析.

【解析】由已知条件易得：∠DEA=∠ABF=90°，∠DAE=∠AFB，DE=DC=AB，从而可得：△ABF≌△DEA．

试题解析：

图中：△ABF≌△DEA，证明如下：

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠B=90°，AB=DC．

∵DE⊥AG于E，DE=DC，

∴∠AED=90°=∠B，AB=DE．

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥CB．

∴∠DAE=∠AFB．，

∴△ABF≌△DEA（AAS）．

20．证明见解析

【解析】试题分析：

证明CD是线段BE的垂直平分线，得到DB=DE，又因为DB=AC，则得证.

试题解析：

∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∠BCD=90°，

∵BC=CE，∴DC是BE的中垂线，∴BD=DE，

∴DE=AC．

21．△AEF的周长是90cm．

【解析】试题分析：先根据勾股定理求出AC的长，由矩形的性质可知：矩形的两条对角线相等，可得BD=AC，即可得OD的长，在△AOD中，根据E、F分别是AO、AD在中点，分别求出AE、EF、AF的长，即可得△AEF的周长.

试题解析：在Rt△ABC中，AC= =100cm，

在矩形ABCD中BD=AC=100cm， AD=BC=80cm，

∵ 点E、F分别是AO、AD的中点，

∴ EF是△AOD的中位线，

∴ EF=OD=BD=25，AF=AD=BC=40cm，AE=AO=AC=25，

∴ △AEF的周长=AE+AF+EF=90cm．

22．（1）证明见解析；

（2）a，b，c三者存在的关系是a+b>c,理由见解析.

【解析】（1）首先根据题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，接着根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明B′E=BF；
（2）解答此类题目时要仔细读题，根据三角形三边关系求解分类讨论解答，要提高全等三角形的判定结合勾股定理解答．

证明：（1）由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠B′EF=∠BFE，
∴∠B′FE=∠B'EF，
∴B′F=BE，
∴B′E=BF；
解：（2）答：a，b，c三者关系不唯一，有两种可能情况：
（ⅰ）a，b，c三者存在的关系是a2+b2=c2．
证明：连接BE，则BE=B′E，
由（1）知B′E=BF=c，
∴BE=c．
在△ABE中，∠A=90°，
∴AE2+AB2=BE2，
∵AE=a，AB=b，
∴a2+b2=c2；
（ⅱ）a，b，c三者存在的关系是a+b＞c．
证明：连接BE，则BE=B′E．
由（1）知B′E=BF=c，
∴BE=c，
在△ABE中，AE+AB＞BE，
∴a+b＞c．

“点睛”此题以证明和探究结论形式来考查矩形的翻折、等角对等边、三角形全等、勾股定理等知识．第一，较好考查学生表述数学推理和论证能力，第（1）问重点考查了学生逻辑推理的能力，主要利用等角对等边、翻折等知识来证明；第二，试题呈现显示了浓郁的探索过程，试题设计的起点低，图形也很直观，也可通过自已动手操作，寻找几何元素之间的对应关系，形成较为常规的方法解决问题，第（2）问既考查了学生对勾股定理掌握的程度又考查学生的数学猜想和探索能力，这对于培养学生创新意识和创新精神十分有益；第三，解题策略多样化在本题中得到了充分的体现．