人教版八年级下册18.1.2 平行四边形的判定精练

18.1.2平行四边形的判定（1）同步练习

姓名：__________班级：__________学号：__________

一、选择题

1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A. AB∥CD，AD=BC    B. ∠A=∠C，∠B=∠D   

C. AB∥CD，AD∥BC    D. AB=CD，AD=BC

2．如图，平行四边形中，，、分别在和的延长线上，AE∥BD，，，则的长是（    ）．

A.   B. C.   D.

3．在四边形ABCD中，AD∥BC，分别添加下列条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③AD＝BC；④∠B＝∠D；⑤∠A＝∠C，其中能使四边形ABCD成为平行四边形的条件有(　　)

A. 5个  B. 4个   C. 3个 D. 2个

4．具有下列条件的四边形中，是平行四边形的是（）

A. 一组对角相等B. 两条对角线互相垂直

C. 两组对边分别相等 D. 两组邻角互补

5．已知四边形ABCD的四条边分别是a、b、c、d．其中a、c是对边，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则四边形一定是（　　）

A. 平行四边形B. 矩形  C. 菱形 D. 正方形

6．一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（　　）

A. 88°，108°，88°   B. 88°，104°，108°

C. 88°，92°，92°       D. 88°，92°，88°

7．已知在四边形ABCD中，AB//CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ）

A. AD=BCB. AC=BD C. ∠A=∠C  D. ∠A=∠B

8．如图，在平行四边形ABCD中，过点P作直线EF、GH分别平行于AB、BC，那么图中共有（　　）平行四边形．

A. 4个B. 5个 C. 8个   D. 9个

9．若以A(－0.5,0)，B(2,0)，C(0,1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在(　　)

A. 第一象限 B. 第二象限  C. 第三象限   D. 第四象限

10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的动点，过点D作DE∥AB交CB于E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于F，当AD从小于DC到大于DC的变化过程中，则△DCE与△BEF的周长之和的变化情况是（）

A. 一直不变 B. 一直增大C. 先增大后减小   D. 先减小后增大

11．如图，已知，在平行四边形ABCD中，点、分别是、边的中点，、是对角线上的两点，且，则下列结论不正确的是（）

A. B.

C. ∥ D. 四边形是平行四边形

12．平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可能是（　　）

A. 8和12B. 9和13   C. 12和12  D. 11和14

二、填空题

13．如图，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的选法有______种．

14．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为_________．

15．要做一个平行四边形框架，只要将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，这样四边形ABCD就是平行四边形，这种做法的依据是 _______________________.

16．如图所示，在△ABC中，AB=AC=7cm，D是BC上的一点，且DE∥AC，DF∥AB，则DE+DF=___．

17．如图，在□中，⊥于点，⊥于点.若，，且□的周长为40，则□的面积为_______。

三、解答题

18．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：四边形AFCE是平行四边形．

19．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：∠EBF＝∠EDF.

20．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB=OD，∠1=∠2，AE=CF．

（1）证明：△BEO≌△DFO；

（2）证明：四边形ABCD是平行四边形．

21．如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过D点分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F．

求证：BF=DE．

22．已知：如图，在▱ABCD中，∠ADC，∠DAB的平分线DF，AE分别与线段BC相交于点F，E，DF与AE相交于点G．

（1）求证：AE⊥DF；

（2）若AD＝10，AB＝6，AE＝4，求DF的长．

23．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，过点F作FG∥CE，且FG＝CE，连结DG，EG，BG，CG.

(1)试判断四边形EGFC的形状；

(2)求证：△DCG≌△BEG；

(3)试求出∠BDG的度数．

参考答案

1．A

【解析】平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断，

平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断；

平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定；

平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；

平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；

故选A．

2．B

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，CD=AB=1，

∴∠ECF=∠ABC=45°，

∵AE∥BD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴DE=AB=1

∴CE=CD+DE=2，

∵EF⊥BC，∠ECF=45°，

∴△CEF是等腰直角三角形.

∴EF=CF，EF2+CF2=CE2=4，

∴2EF2=4，

∴EF=.

故选B.

3．B

【解析】①根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形,

故①正确；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,故②错误；③根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD是平行四边形,故③正确；④⑤结合已知条件可得AB∥CD，故④、⑤均正确.

故选B.

4．C

【解析】试题解析：A. 一组对角相等不能判定一个四边形是平行四边形，故本选项错误；

B. 两条对角线互相垂直不能判定一个四边形是平行四边形，故本选项错误；

C. 两组对边分别相等能判定一个四边形是平行四边形，故本选项正确；

D. 两组邻角互补不能判定一个四边形是平行四边形，例如等腰梯形，故本选项错误.

故选C.

5．A

【解析】因为a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，所以a2-2ac+c2+b2-2bd+d2=0，

所以(a-c)2+(b-d)2=0，所以a-c=0，b-d=0，所以a=c，b=d.

所以四边形ABCD是平行四边形.

故选A.

6．D

【解析】当三个内角度数依次是88°，108°，88°时,第四个角是76°，故A不是；

两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故B不是；

当三个内角度数依次是88°，92°，92°时，第四个角是88°，而C中相等的两个角不是对角故C错，

D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形。

故选：D.

7．C

【解析】利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定得出即可.

解：如图所示：

∵AB∥CD，

∴∠B+∠C=180°，

当∠A=∠C时，则∠A+∠B=180°，

故AD∥BC，

则四边形ABCD是平行四边形.

故选C.

8．D

【解析】∵AD∥BC、AB∥CD，EF∥AB，GH∥BC，

∴AB∥EF∥DC，AD∥GH∥BC，

∴共有9个平行四边形，如平行四边形AGPE，平行四边形BGPF，平行四边形PEDH，平行四边形PFCH，平行四边形ABFE，平行四边形EFCD，平行四边形AGHD，平行四边形BGHC，平行四边形ABCD，

故选D.

9．C

【解析】根据题意画出图形，如图所示：

分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；

②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；

③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，

则第四个顶点不可能落在第三象限。

故选：C.

10．A

【解析】∵AC⊥BC,BF⊥BC, ∴AC∥BF.

又∵DE∥AB, ∴四边形ABFD是平行四边形，

∴BF=AD,DF=DE+EF=AB,

∴△DCE与△BEF的周长之和等于△ABC的周长，

∴△DCE与△BEF的周长之和一直不变.

故选A.

11．A

【解析】连接EF交BD于点O，

在平行四边形ABCD中的AD=BC，∠EDH=∠FBG，

∵E、F分别是AD、BC边的中点，

∴DE∥BF，DE=BF= BC，

∴四边形AEFB是平行四边形，有EF∥AB，

∵点E是AD的中点，

∴点O是BD的中点，根据平行四边形中对角线互相平分，故点O也是AC的中点，也是EF的中点，

又∵BG=DH，∴△DEH≌△BFG，

∴GF=EH，故B正确，

∠DHE=∠BGF，∴∠GHE=∠HGF，

∴△EHG≌△FGH，

∴EG=HF，

∴GF∥EH，即四边形EHFG是平行四边形，故D正确，

∴∥，故C正确

无法证明∠GFH是90度，

∴A不正确.

故选：A.

点睛：本题利用了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，中点的性质求解.

12．D

【解析】作辅助线CE∥BD，根据平行四边形的性质和三角形的三边关系，对题中的选项逐个进行判断，即可得出结论．

解：如图，作CE∥BD，交AB的延长线于点E，

∵AB=CD，DC∥AB

∴四边形BECD是平行四边形，

∴CE=BD，BE=CD=AB，

∴在△ACE中，AE=2AB=24＜AC+CE，

∴四个选项中只有D中11+14=25＞24．

故选D．

点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，解题的思路在于通过作一条对角线的平行线，将两条对角线转化到一个三角形，而利用三角形的三边关系解题是得到答案的关键．

13．4

【解析】因为平行四边形的判定方法有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可选①③；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可选②④；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可选①②或③④；故选法有四种。

故答案为：4.

14．24

【解析】根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案.

解：在Rt△BCE中，由勾股定理得，

CE===5.

∵BE=DE=3，AE=CE=5，

∴四边形ABCD是平行四边形.

四边形ABCD的面积为BC×BD=4×（3+3）=24.

故答案为：24.

“点睛”本题考查了平行四边形的判定与性质，关键是利用勾股定理得出CE的长，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式.

15．两条对角线分别平分的四边形是平行四边形

【解析】分析：本题考查的是平行四边形的判定方法.

解析：根据题意得出OA=OC,OB=OD,所以利用两条对角线分别平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形.

故答案为两条对角线分别平分的四边形是平行四边形

16．7cm

【解析】试题解析：∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∴DF=AE，

又∵DE∥AC，

∴∠C=∠EDB，

又∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠B=∠EDB，

∴DE=BE，

∴DF+DE=AE+BE=AB=7cm．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

17．48

【解析】∵▱ABCD的周长=2(BC+CD)=40，

∴BC+CD=20①，

∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，

∴S▱ABCD=4BC=6CD，

整理得,BC=CD②，

联立①②解得，CD=8，

∴▱ABCD的面积=AF⋅CD=6CD=6×8=48.

故答案为：48.

18．证明见解析

【解析】试题分析：连接AF、CE，Rt△ADE≌Rt△CBF，证明AE,CF平行且相等.

试题解析：

试题解析：

证明：连接AF、CE,

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AED=∠CFB=90°，AE∥CF，

∵BE=DF，

∴DE=BF，

在Rt△ADE后Rt△CBF中，

,

∴Rt△ADE≌Rt△CBF，

∴AE=CF，∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形．

19．见解析

【解析】试题分析：先连接BD，交AC于O，由于AB=CD，AD=CB，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，可知四边形ABBCD是平行四边形，于是OA=OC，OB=OD，而AF=CF，根据等式性质易得OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形DEBF是平行四边形，于是∠EBF=∠FDE．

试题解析：证明：连结BD，交AC于点O.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB=OD，OA=OC.

∵AE=CF，

∴OE=OF，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∴∠EBF=∠EDF.

20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由条件可利用ASA证得结论；

（2）由（1）的结合可得OE=OF，则可求得AE=CF，可求得OA=OC，则可证得四边形ABCD为平行四边形．

试题解析：（1）证明：∵∠EOB与∠FOD是对顶角，

∴∠EOB=∠FOD，

在△BEO和△DFO中

,

∴△BEO≌△DFO（ASA）

（2）证明：由（1）可知△BEO≌△DFO，

∴OE=OF，

∵AE=CF，

∴OA=OC，

∵OB=OD，

∴四边形ABCD为平行四边形． 

21．证明见解析

【解析】试题分析：根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形可判定四边形AFDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DE=AF，再由D为BC边的中点，DF∥AC，可得BF=AF，即可得BF=DE．

试题解析：

∵DE∥AB，DF∥AC，

∴DE∥AF，DF∥AE，

∴四边形AFDE是平行四边形，

∴DE=AF，

∵D为BC边的中点，

∴BD=DC，∵DF∥AC，

∴BF=AF，

∴BF=DE．

22．（1）证明见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质推出∠ADC+∠DAB=180°，根据角平分线得到∠ADF+∠DAE=（∠ADC+∠DAB）=90°，即可求出结论；

（2）过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，得到平行四边形AEHD，求出DH=AE=4，EH=AD=10，根据平行四边形的性质和平行线的性质推出DC=FC，AB=EB，求出BF、FE、FH的长，根据勾股定理即可求出答案．

试题解析：（1）∵在▱ABCD中，AB∥CD，

∴∠ADC＋∠DAB＝180°，

∵DF，AE分别是∠ADC，∠DAB的平分线，

∴∠ADF＝∠CDF＝∠ADC，∠DAE＝∠BAE＝∠DAB，

∴∠ADF＋∠DAE＝（∠ADC＋∠DAB）＝90°，

∴∠AGD＝90°，即AE⊥DF；

（2）如图，过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，则四边形AEHD是平行四边形，且FD⊥DH，

∴DH＝AE＝4，EH＝AD＝10，

∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CFD，∠DAE＝∠BEA，

∴∠CDF＝∠CFD，∠BAE＝∠BEA，

∴DC＝FC，AB＝EB，

在▱ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝DC＝6，∴CF＝BE＝6，BF＝BC－CF＝10－6＝4，

∴FE＝BE－BF＝6－4＝2，∴FH＝FE＋EH＝12，

在Rt△FDH中，DF＝ .

【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行证明是解此题的关键．

23．见解析

【解析】试题分析： 且四边形是平行四边形．

四边形是平行四边形， 平分

得出

四边形是平行四边形.

判定是等边三角形，

又 由判定

是等边三角形，

试题解析： 且

∴四边形是平行四边形．

∵四边形是平行四边形，

平分

又

四边形是平行四边形.

是等边三角形，

又

是等边三角形，