高中数学4.2 指数函数精品导学案

这是一份高中数学4.2 指数函数精品导学案，共13页。

指数函数与对数函数
指数


重点
根式，分数指数幂，分数指数幂运算性质
难点
根式与分数指数幂的互化，分数指数幂的运算性质
考试要求
考试
Ø 题型选择题、填空题和解答题。
Ø 难度中等





问题导航
（1）n次方根是怎样定义的？
（2）根式的定义是什么？它有哪些性质？
（3）有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？
（4）根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？
（5）如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？
1. n次方根
定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*
性质
n是奇数
a＞0
x＞0
x仅有一个
值，记为
a＜0
x＜0
n是偶数
a＞0
x有两个值，且互为相反数，记为±
a＜0
x不存在
0的任何次方根都是0。
2. 根式
（1）定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。
（2）性质：（n＞1，且n∈N*）
①（）n＝a。
②＝
3. 分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂
规定：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）
负分数指数幂
规定：＝＝
（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
4. 有理数指数幂的运算性质
（1）aras＝ar＋s（a＞0，r，s∈Q）。
（2）（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）。
（3）（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）。
5. 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα（a＞0，α是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。
注意：
1. “根式记号”的关注点
（1）根式的概念中要求n＞1，且n∈N*。
（2）当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为（a∈R），当n为大于1的偶数时，（a≥0）表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－，从而（±）n＝a。
2. 对分数指数幂的理解
（1）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数；
（2）指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种新写法。在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示不相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化；
（3）通常规定分数指数幂的底数a＞0，但要注意在例如（－a）＝中的a，则需要a≤0。



典例一：根式的化简与求值
求下列各式的值。
（1）；（2）；
（3）；（4）。
答案：（1）＝－2；
（2）＝＝；
（3）＝|3－π|＝π－3；
（4）原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x。
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x＜y时，原式＝y－x＋y－x＝2（y－x）。
所以原式＝
总结提升：
根式化简与求值的思路及注意点
（1）思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简。
（2）注意点：
①正确区分（）n与两式；
②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论。


典例二：根式与分数指数幂的互化
将下列根式化成分数指数幂的形式（其中a＞0，b＞0）。
①；②；③·。
答案：①＝·＝；
②原式＝··＝；
③原式＝··＝。
总结提升：
根式与分数指数幂互化的方法及思路
（1）方法：根指数分数指数的分母，
被开方数（式）的指数分数指数的分子。
（2）思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题。
[注意]　如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出。

典例三：利用指数幂的性质化简求值
计算下列各式（式中字母都是正数）：
（1）＋2－2×－（0.01）0.5；
（2）＋0.1－2＋－3π0＋；
（3）（a－2b－3）·（－4a－1b）÷（12a－4b－2c）；
（4）2÷4·3。
答案：（1）原式＝1＋×－＝1＋－＝。
（2）原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100。
（3）原式＝－4a－2－1b－3＋1÷（12a－4b－2c）
＝－a－3－（－4）b－2－（－2）c－1
＝－ac－1
＝－。
（4）原式＝2a÷4·
＝a·b·＝ab。

总结提升：
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
（1）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序。
（2）在明确根指数的奇偶（或具体次数）时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算。
（3）对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示。


1. 根式化简：运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论。
2. 根式与分数指数幂的互化：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出。
3. 利用指数幂的性质化简求值：①负指数为正指数，化根式为分数指数幂；②明确指数奇偶。


（答题时间：30分钟）
1. 下列说法正确的个数是（　　）
（1）49的平方根为7；（2）＝a（a≥0）；
（3）＝a5b；（4）＝（－3）。
A. 1　　　　　　　　　　 B. 2
C. 3 D. 4
2. 化简的结果是（　　）
A. － B.
C. － D.
3. 计算（2a－3b）·（－3a－1b）÷（4a－4b）得（　　）
A. －b2 B. b2
C. －b D. b
4. 将化成分数指数幂为（　　）
A. x－ B. x
C. x－ D. x
5. 设a2＝b4＝m（a>0，b>0），且a＋b＝6，则m等于（　　）
A. 16 B. 10
C. 2 D. 81
6. [（－5）4]－150的值是________。
7. 设α、β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则＝________。


1. A 解析：49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；＝a5b－5，（3）错；，（4）错。故选A。
2. A 解析：由题意知x＜0，则＝－＝－。
3. A 解析：原式＝。
4. B 解析：原式＝（x·x－）＝（x－）＝x－×（）＝x。
5. A 解析：因为a2＝b4＝m（a>0，b>0），
所以a＝m，b＝m，a＝b2。
由a＋b＝6得b2＋b－6＝0，
解得b＝2或b＝－3（舍去）。
所以m＝2，m＝24＝16。
6. 4 解析：[（－5）4]－150
＝（54）－150＝5－1＝4。
7. 8 解析：由根与系数的关系得α＋β＝－，
所以＝＝（2－2）－＝23＝8。

指数函数

重点
指数函数的概念、图象、性质
难点
指数函数性质
考试要求
考试
Ø 题型选择题、填空题和解答题。
Ø 难度中等





问题导航
（1）指数函数的概念是什么？
（2）结合指数函数的图象，可归纳出指数函数具有哪些性质？
（3）指数函数的图象过哪个定点？如何求指数型函数的定义域和值域问题？
1. 指数函数的定义
一般地，函数y＝ax（a>0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量。
2. 指数函数的图象和性质
a的范围
a>1
0 图象


性质
定义域
R
值域
（0，＋∞）
过定点
过定点（0，1）
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数

注意：
1. 判断一个函数是指数函数的关键点
判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax（a＞0，且a≠1）这一结构形式，指数函数具有以下特征：
（1）底数a＞0，且为不等于1的常数，也不含有自变量x；
（2）指数位置是自变量x，且x的系数是1；
（3）ax的系数是1。
2. 透析指数函数的图象与性质
（1）当底数a大小不确定时，必须分a＞1或0＜a＜1两种情况讨论函数的图象和性质。
（2）当a＞1时，x的值越小，函数的图象越接近x轴；当0＜a＜1时，x的值越大，函数的图象越接近x轴。
（3）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限。

典例一：利用指数函数的单调性比较大小
比较下列各组数的大小：
（1）1.52.5和1.53.2；
（2）0.6－1.2和0.6－1.5；
（3）1.70.2和0.92.1。
答案：（1）1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5＞1，
所以函数y＝1.5x在R上是增函数，
因为2.5＜3.2，
所以1.52.5＜1.53.2。
（2）0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，
因为0＜0.6＜1，
所以函数y＝0.6x在R上是减函数，
因为－1.2＞－1.5，
所以0.6－1.2＜0.6－1.5。
（3）由指数函数性质得，1.70.2＞1.70＝1，0.92.1＜0.90＝1，
所以1.70.2＞0.92.1。

总结提升：
比较幂值大小的三种类型及处理方法



典例二：解简单的指数方程与指数不等式
（1）解不等式≤2；
（2）若a－3x＞ax＋4（a＞0且a≠1），求x的取值范围。
答案：（1）＝（2－1）2x-1＝21－2x，
因此原不等式等价于21－2x≤21，
又y＝2x是R上的增函数，
所以1－2x≤1。
所以x≥0。
因此原不等式的解集是{x|x≥0}。
（2）①当0＜a＜1时，
由y＝ax在R上单调递减得－3x＜x＋4，
即－4x＜4。
解得x＞－1。
②当a＞1时，由y＝ax在R上单调递增得－3x＞x＋4。
即－4x＞4.解得x＜－1。
综上，当0＜a＜1时，
x的取值范围为（－1，＋∞），
当a＞1时，
x的取值范围为（－∞，－1）。
总结提升：
解与指数有关的不等式需注意的问题
（1）形如ax＞ay的不等式，借助y＝ax（a＞0，且a≠1）的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
（2）形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax（a＞0，且a≠1）的单调性求解；
（3）形如ax＞bx的形式，利用图象求解。

典例三：指数型函数的单调性
讨论函数f（x）＝的单调性，并求值域。
答案：函数f（x）的定义域为R。
令t＝－x2＋2x，
则y＝。
因为y＝在（－∞，＋∞）上是减函数，而t＝－x2＋2x在（－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞）上是减函数，
所以f（x）在（－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞）上是增函数。
因为t＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1≤1，
所以y＝（t≤1），
所以y≥。
所以这个函数的值域为，
所以原函数的值域为。

总结提升：
函数y＝af（x）（a＞0，a≠1）的单调性的处理方法
（1）关于指数型函数y＝af（x）（a>0，且a≠1）的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0 （2）求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f（u），u＝φ（x），通过考查f（u）和φ（x）的单调性，根据同则增异则减，求出y＝f（φ（x））的单调性。


1. 比较两个指数式值的大小的主要方法
（1）比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性。
（2）比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn。
2. 函数y＝af（x）（a>0，a≠1）的单调性的处理方法
当a>1时，y＝af（x）与y＝f（x）的单调性相同，当0 3. 复合函数单调性运用同则增异则减的原则判断


（答题时间：30分钟）
1. 下列判断正确的是（　　）
A. 2.52.5＞2.53　　　　　 B. 0.82＜0.83
C. π2＜π D. 0.90.3＞0.90.5
2. 已知0.3m＞0.3n，则m，n的大小关系为（　　）
A. m＞n B. m＜n
C. m＝n D. 不能确定
3. 函数y＝的单调递增区间为（　　）
A. （－∞，＋∞） B. （0，＋∞）
C. （1，＋∞） D.（0，1）
4. 函数y＝的值域是________。
5. 已知集合，则当x∈M时，求函数y＝2x的值域。




1. D 解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，
所以0.90.3＞0.90.5.
2. B 解析：因为y＝0.3x为减函数，且0.3m＞0.3n，所以m＜n。
3. A 解析：选A.定义域为R.设u＝1－x，
则y＝。
因为u＝1－x在R上为减函数，
又因为y＝在（－∞，＋∞）上为减函数，
所以y＝在（－∞，＋∞）上为增函数，所以选A。
4. [0，2） 解析：因为2x－1＞0，所以0≤4－2x－1＜4。
所以0≤＜2。
答案：[0，2）
5. 解：由3x＋1≤，得3x＋1≤34－2x。
因为函数y＝3x在定义域R上是增函数，
所以x＋1≤4－2x，解得x≤1。
因为函数y＝2x是增函数，
所以当x≤1时，2x≤21＝2，
即y＝2x≤2.
又因为指数函数y＝2x>0，
所以0 即函数y＝2x的值域是（0，2]。