人教A版人教A版(2019)数学必修第一册期中试卷讲评学案

上学期期中试卷

（答题时间：90分钟）

一、单选题（每题5分，共30分）

  1. 若集合，则的真子集的个数为（    ）

A. 3 B. 4 C. 7 D. 8

  2. 已知函数，则=（    ）

A. 82 B. -17 C. 4 D. 1

  3. 函数的值域为（　　）

A. [0，2]     B. [0，4]      C. （-∞，2]      D. [0，+∞）

  4. 如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）

A.  B.  C.  D.

  5. 命题：，成立的一个充分但不必要条件为（    ）

A.  B.

C.  D.

  6. 已知偶函数 在区间上单调递增，则满足的取值范围是（    ）

A. （﹣1，0） B. （0，1） C. （1，2） D. （﹣1，1）

二、填空题（每题5分，共20分）

  7. 不等式的解集是__________。

  8. 已知正实数满足，则的最小值是          。

  9. 已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝x＋2，则f（x）＝________。

  10. 若命题“任意实数x，使”为真命题，则实数a的取值范围为__________。

三、解答题（第11-13题每题12分，第14题共14分，共50分）

11.（本小题12分）

已知集合A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，C＝{x|x＜a}。

（1）求A∪B，（∁RA）∩B；

（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围。

12. （本小题12分）

若不等式（1－a）x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}。

（1）解不等式2x2＋（2－a）x－a>0；

（2）b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R。

13. （本小题12分）

我国是水资源匮乏的国家为鼓励节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定：每一季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1．3元；若超过5吨而不超过6吨时，超过部分水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为吨，应交水费为。

（1）求、、的值；

（2）试求出函数的解析式。

14. （本小题14分）

已知函数f（x）＝（a≠1）。

（1）若a＞0，求f（x）的定义域；

（2）若f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围。

1. A

【解析】

，，

，所以的真子集的个数为，故选A。

【点睛】

有限集合的子集个数为个，真子集个数为。

2. D

【解析】

因为，所以，因此.

故选D

【点睛】本题主要考查求函数值，由内向外逐步代入，即可得出结果，属于基础题型.

3. A

【解析】

解：设，

则原函数可化为。

又∵，

∴，故，

∴的值域为。

故选：A。

【点睛】本小题主要考查函数的值域、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、转化能力。属于基础题。

4. D

【解析】

法一：根据不等式的性质得，A错误。因为，又因为，所以错误。因为，所以由基本不等式得（当且仅当时取等）C错误。由前面可知A错误，因此，所以，D对

法二：特殊值法：取，A答案（不对）。B答案 （不对）。C.答案（不对），因此选择D。

【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，比较两个数的大小常用的方法有作差法、作商法等。做选择题常用方法：特殊值法，代入法等。特殊值法能快速的解决本题。

5. A

【解析】

由题意，令是一个开口向上的二次函数，

所以对任意的恒成立，只需要，

解得，其中只有选项A是的真子集。

故选：A。

【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的应用，以及二次函数的性质的应用，其中解答中根据二次函数的性质，求得实数的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

6. B

【解析】

首先函数定义域是R，再者根据和偶函数 在区间上单调递增，可得，解得，故选B.

【点睛】本题是基础题，考查偶函数的性质.

7.

【解析】

不等式可化为，

解得，

∴ 所求不等式的解集是。

故答案为：。

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题。

8.

【解析】

试题分析：由题意得，则。

考点：重要不等式.

【易错点晴】本题主要考查的重要不等式，属于中档题.但是本题比较容易犯错，使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，很多考生经常忽视其中若干条件而“触雷”，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，特别是还需加强构非定构定和不等作图技巧的训练，才能以不变应万变.

9. x＋1

【解析】

f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，

f[f（x）]=x+2，

可得：k（kx+b）+b=x+2。

即k2x+kb+b=x+2，

k2=1，kb+b=2。

解得k=1，b=1。

则f（x）=x+1。

故答案为：x＋1。

【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查待定系数法，考查计算能力。

10. [-2，2]

【解析】分析：开口向上的二次函数恒大于等于零，只需即可。

详解：由题可得：任意实数x，使为真命题，故

即：，故答案为[-2，2]

【点睛】考查二次函数的图像，属于基础题。

11. 解：（1）因为A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，所以A∪B＝{x|2≤x＜10}，

又∁RA＝{x|x＜2或x≥7}，

所以（∁RA）∩B＝{x|7≤x＜10}。

（2）因为A＝{x|2≤x＜7}，

C＝{x|x＜a}，且A∩C≠∅，所以a＞2。

12. 解：（1）由题意，知1－a<0且－3和1是方程（1－a）x2－4x＋6＝0的两根，

所以解得a＝3。

所以不等式2x2＋（2－a）x－a>0，

即为2x2－x－3>0，

解得x<－1或x>。

所以所求不等式的解集为。

（2）ax2＋bx＋3≥0，

即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式解集为R，

则b2－4×3×3≤0，

所以－6≤b≤6。

13. 解：（1）

（2）当时，

    当时，

    当时，

    故

14. 解：（1）当a＞0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即函数f（x）的定义域是。

（2）当a－1＞0，即a＞1时，要使f（x）在（0，1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1＜a≤3。

当a－1＜0，即a＜1时，要使f（x）在（0，1]上是减函数，则需－a＞0，且3－a×1≥0，此时a＜0。

综上所述，所求实数a的取值范围是（－∞，0）∪（1，3]。