高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示精品学案设计

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函数的概念与性质
函数的奇偶性


重点
奇偶性的含义及与图象的关系
难点
判断函数奇偶性、奇偶性的灵活运用
考试要求
考试
Ø 题型选择题、填空题
Ø 难度中等




核心知识点
函数奇偶性的概念

偶函数
奇函数
定义
对于函数f（x）定义域内任意一个x，都有
条件
f（－x）＝f（x）
f（－x）＝－f（x）
结论
函数f（x）叫做偶函数
函数f（x）叫做奇函数
图象特征
图象关于y轴对称
图象关于原点对称

注意：理解函数的奇偶性应注意四点
（1）函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f（－x）＝－f（x）（或f（－x）＝f（x）），才能说f（x）是奇（偶）函数。
（2）函数y＝f（x）是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。例如，函数y＝x2在区间（－∞，＋∞）上是偶函数，但在区间[－1，2]上却无奇偶性可言。
（3）若奇函数在原点处有定义，则必有f（0）＝0.
（4）若f（－x）＝－f（x），且f（－x）＝f（x），则f（x）既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f（x）＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集。


典例一：函数奇偶性的判断
例题1 判断下列函数的奇偶性.
（1）f（x）＝x＋；　　　　　　（2）f（x）＝；
（3）f（x）＝＋；（4）f（x）＝。
【解析】（1）∵函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，
关于原点对称，
又f（－x）＝－x＋＝－（x＋）＝－f（x）。
∴f（x）为奇函数。
（2）函数f（x）＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，
∵对定义域内的每一个x，
都有f（－x）＝＝＝f（x），
∴函数f（x）＝为偶函数。
（3）∵函数f（x）的定义域为{－1，1}，
关于原点对称，且f（x）＝0，
又∵f（－x）＝－f（x），f（－x）＝f（x），
∴f（x）既是奇函数又是偶函数。
（4）显然函数f（x）的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f（x）是非奇非偶函数。

总结提升：
函数奇偶性的判断方法：
（1）定义法：

（2）图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数。此法多用在解选择、填空题中。

典例二：利用函数的奇偶性求解析式
例题2 若f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝2x（1＋x），求函数f（x）的解析式。
【解析】∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（－x）＝－f（x），f（0）＝0，
当x＞0时，－x＜0，∴f（x）＝－f（－x）＝2x（1－x）。
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝
总结提升
（1）奇函数f（x）在x=0处有定义，则f（0）=0。
（2）由奇偶性求分段函数解析式的一般步骤：
①求谁设谁，即求哪个区间的解析式，将设x在哪个区间；
②将x转化到具体解析式的区间；
③利用与的关系求解析式。

典例三：奇、偶函数的图象
例题3 已知奇函数f（x）的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示。

（1）画出函数f（x）在区间[－5，0]上的图象；
（2）写出使f（x）＜0的x的取值集合。
【解析】（1）因为函数f（x）是奇函数，所以y＝f（x）在[－5，5]上的图象关于原点对称。由y＝f（x）在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示。

（2）由图象知，使函数值y＜0即f（x）＜0的x的取值集合为（－2，0）∪（2，5）。

总结提升：
巧用奇偶性作函数图象的步骤：
（1）确定函数的奇偶性。
（2）作出函数在[0，＋∞）（或（－∞，0]）上对应的图象。
（3）根据奇（偶）函数关于原点（y轴）对称得出在（－∞，0]（或[0，＋∞））上对应的函数图象。
【注意】作对称图象时，可以先从点的对称出发，点（x0，y0）关于原点的对称点为（－x0，－y0），关于y轴的对称点为（－x0，y0）。

典例四：利用函数的奇偶性求参数
例题 4若函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________。
【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝。
又函数f（x）＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，
易得b＝0。
故填，0。
总结提升：
利用奇偶性求参数的常见类型及策略：
（1）定义域含参数：奇、偶函数f（x）的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数。
（2）解析式含参数：根据f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）列式，比较系数即可求解。


1. 会判断奇偶性
2. 利用奇偶性求解析式，求谁设谁的思想是解决问题的突破口
3. 利用奇偶性图象的特点来画图象
4. 利用奇偶性的性质来求参数


（答题时间：30分钟）
1. 下列函数为奇函数的是（　　）
A. y＝x2＋2　　　　　　　 B. y＝x，x∈（0，1]
C. y＝x3＋x D. y＝x3＋1
2. 若函数f（x）＝（m－1）x2＋（m－2）x＋（m2－7m＋12）为偶函数，则m的值是（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3. 已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2＋，则f（－1）＝________。
4. 奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上的图象如图，则函数f（x）的增区间为________。

5. 已知函数f（x）＝x＋，且f（1）＝3。
（1）求m的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性。




1. C 解析：对于A，f（－x）＝（－x）2＋2＝x2＋2＝f（x），即f（x）为偶函数；对于B，定义域不关于原点对称，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数；对于C，定义域为R，且f（－x）＝（－x）3＋（－x）＝－（x3＋x）＝－f（x），故f（x）为奇函数；对于D，f（－x）＝－x3＋1≠f（x）且f（－x）≠－f（x），故f（x）既不是奇函数，也不是偶函数。
2. B 解析：因为函数f（x）＝（m－1）x2＋（m－2）x＋（m2－7m＋12）为偶函数，
所以f（－x）＝f（x），即
（m－1）x2＋（m－2）x＋（m2－7m＋12）＝（m－1）x2＋（－m＋2）x＋（m2－7m＋12），
即m－2＝－m＋2，解得m＝2。
3. －2 解析：当x＞0时，f（x）＝x2＋，
所以f（1）＝1＋1＝2。
又f（x）为奇函数，所以f（－1）＝－2。
4.（－∞，－1]，[1，＋∞）
解析：奇函数的图象关于原点对称，可知函数f（x）的增区间为（－∞，－1]，[1，＋∞）。
5. 解析：（1）由题意知，f（1）＝1＋m＝3，
所以m＝2。
（2）由（1）知，f（x）＝x＋，x≠0。
因为f（－x）＝（－x）＋＝－＝－f（x），
所以函数f（x）为奇函数。

奇偶性与单调性

重点
函数的单调性、奇偶性
难点
函数的单调性与奇偶性的综合运用
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题
Ø 难度 中等





核心知识点一：奇偶性
若定义域不关于原点对称非奇非偶例如：在上不是奇函数
常用性质：
1. 是既奇又偶函数；
2. 奇函数若在处有定义，则必有；
3. 偶函数满足；
4. 奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；
5. 除外的所有函数的奇偶性满足：
奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数
奇函数±偶函数=非奇非偶
奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数
奇函数×偶函数=奇函数

核心知识点二：单调性与奇偶性关系
（1）奇函数在对称区间上的单调性相同
（2）偶函数在对称区间上的单调性相反
（3）复合函数单调性——同增异减


典例一：函数奇偶性单调性的综合应用
例题1 已知函数f（x）＝是奇函数，且f（2）＝。
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数f（x）在（－∞，－1]上的单调性，并用定义证明。
【解析】（1）因为f（x）是奇函数，
所以f（－x）＝－f（x）。
所以＝－＝
因此b＝－b，即b＝0.
又f（2）＝，所以＝，所以a＝2.
（2）由（1）知f（x）＝＝＋，
f（x）在（－∞，－1]上为增函数。
证明如下：设x1＜x2≤－1，则f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）＝（x1－x2）·。因为x1＜x2≤－1，所以x1－x2＜0，x1x2＞1。
所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）。
所以f（x）在（－∞，－1]上为增函数。

易错提示：
（1）若不能根据需要，灵活、恰当地对①处的等式进行变形，不能得出b＝－b，则本例最多得1分。
（2）若对于函数式f（x）＝不能正确变形，得不出f（x）＝＋，不能判断它在（－∞，－1]上的单调性，则会造成第（2）问无法求解而失分。
（3）若对于式子的变形能力差，不能将差变形为因式连乘积的形式，不能断定差的符号，则会导致本例至少扣5分。
（4）解答此类问题要注意挖掘隐含条件，同时要求有较高的式子变形能力，如本例由奇函数要挖掘出f（－x）＝－f（x）这一隐含条件，建立方程进而求解。

典例二：利用函数的奇偶性单调性比较大小
例题2 设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（　　）
A. f（π）>f（－3）>f（－2）
B. f（π）>f（－2）>f（－3）
C. f（π） D. f（π） 【解析】因为函数f（x）为R上的偶函数，
所以f（－3）＝f（3），f（－2）＝f（2）。
又当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，且π>3>2，
所以f（π）>f（3）>f（2），
故f（π）>f（－3）>f（－2）。
【答案】A

总结提升：
比较大小：
①自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
②自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小。

典例三：利用函数的奇偶性单调性解不等式
例题3 已知定义在（－1，1）上的函数f（x）＝。
（1）试判断f（x）的奇偶性及在（－1，1）上的单调性；
（2）解不等式f（t－1）＋f（2t）＜0。
【解析】（1）因为f（x）＝，
所以任取x∈（－1，1），
则－x∈（－1，1），
所以f（－x）＝＝－＝－f（x）。
故f（x）＝为奇函数。
任取x1，x2∈（－1，1）且x1＜x2，
所以f（x2）－f（x1）＝－
＝＝
因为x2－x1＞0，1－x1x2＞0且分母＋1＞0，＋1＞0，
所以f（x2）＞f（x1），
故f（x）＝在（－1，1）上为增函数。
（2）因为定义在（－1，1）上的奇函数f（x）是增函数，
由f（t－1）＋f（2t）＜0，
得f（t－1）＜－f（2t）＝f（－2t）。
所以有
解得0＜t＜。

总结提升
解不等式：
①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）的形式。
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式（组）求解。
③偶函数注意这个结论的应用。


1. 利用奇偶性求参数可以用定义也可用特殊值。
2. 利用奇偶性单调性比较大小，弄清奇偶性与单调性的关系，一定要在同一单调区间内比较。
3. 利用奇偶性和单调性解不等式，偶函数要注意用绝对值将变量转化到同一正数单调区间内。


（答题时间：30分钟）
1. 若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，则g（x）＝ax3＋bx2＋cx是（　　）
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 非奇非偶函数
D. 既是奇函数又是偶函数
2. 如果偶函数f（x）在[3，7]上是增函数，且最小值是5，那么f（x）在[－7，－3]上是（　　）
A. 增函数，最小值是5
B. 增函数，最大值为－5
C. 减函数，最小值是5
D. 减函数，最大值为－5
3. 若偶函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数，则a＝f（－），b＝，c＝的大小关系是（　　）
A. b C. a 4. 若函数f（x）＝（m－1）x2＋（m2－1）x＋1是偶函数，则在区间（－∞，0]上，（　　）
A. 可能是增函数，也可能是常函数
B. 是增函数
C. 是常函数
D. 是减函数
5. 已知f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x，y都成立，则函数f（x）是（　　）
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 既是奇函数，也是偶函数
D. 既不是奇函数，也不是偶函数
6. 已知y＝f（x）是奇函数，当x<0时，f（x）＝x2＋ax，且f（3）＝6，则a的值为________。
7. 已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，f（2）＝0，若f（x－1）＞0，则x的取值范围是________。
8. 若函数f（x）＝（x＋a）（bx＋2a）（常数a，b∈R）是偶函数，且它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式f（x）＝________。






1. A 解析：因为f（x）＝ax2＋bx＋c是偶函数，
所以由f（－x）＝f（x），得b＝0.所以g（x）＝ax3＋cx。
所以g（－x）＝a（－x）3＋c（－x）＝－g（x），
所以g（x）为奇函数。
2. C 解析：可先画出y＝f（x）在[3，7]上的大致草图，由于y＝f（x）是偶函数，根据偶函数的图象关于y轴对称，画出y＝f（x）在[－7，－3]上的图象，可知f（x）在[－7，－3]上为减函数，其最小值为5。

3. C 解析：f（x）为偶函数，则a＝f（－）＝f（），又因为<<，f（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以f（）<<，即a 4. A 解析：因为f（x）是偶函数，所以m＝±1；
当m＝1时，f（x）＝1是常函数；
当m＝－1时，f（x）＝－2x2＋1在（－∞，0]上是增函数。
5. A 解析：令x＝y＝0，所以f（0）＝f（0）＋f（0），
所以f（0）＝0。
又因为f（x－x）＝f（x）＋f（－x）＝0，
所以f（－x）＝－f（x），
所以f（x）是奇函数，故选A。
6. 5 解析：因为f（x）是奇函数，
所以f（－3）＝－f（3）＝－6，
所以（－3）2＋a（－3）＝－6，
解得a＝5。
7.（－1，3）解析：根据偶函数的性质，易知f（x）＞0的解集为（－2，2），若f（x－1）＞0，则－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3。
8. －2x2＋4解析：f（x）＝（x＋a）（bx＋2a）＝bx2＋（2a＋ab）x＋2a2是偶函数，
因为图象关于y轴对称，且它的值域为（－∞，4]，
所以2a＋ab＝0，所以b＝－2或a＝0（舍去），
所以f（x）＝－2x2＋2a2，
又因为值域为（－∞，4]，所以2a2＝4，
所以f（x）＝－2x2＋4。