2018版高考数学（人教a版理科）一轮复习真题演练集训：第四章　三角函数与解三角形 4-3 word版含答案

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1．sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案：D

解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.

2．cos2－sin2＝________.

答案：

解析：由二倍角公式，得

cos2 －sin2 ＝cos＝.

3．sin 15°＋sin 75°的值是________．

答案：

解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°

＝

＝(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)

＝sin 60°＝×＝.

4．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．

答案：3

解析：tan β＝tan＝

＝＝3.

课外拓展阅读

三角恒等变换的综合问题

1．三角恒等变换与三角函数性质的综合应用

利用三角恒等变换先将三角函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等，一直是高考的热点．

　已知函数f(x)＝2sin ωx－4sin2＋2＋a(其中ω>0，α∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为2.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)在区间上的最大值为4，求a的值．

　(1)f(x)＝2sin ωx－4sin2＋2＋a＝2sin＋a，

由题意，知2ω＋＝，得ω＝.

所以最小正周期T＝＝16.

(2)f(x)＝2sin＋a，

因为x∈，所以x＋∈.

由图象可知(图略)，当x＋＝，

即当x＝16时， f(x)的最大值，

由2sin ＋a＝4，得a＝2.

2．三角恒等变换与三角形的综合

三角恒等变换经常出现在解三角形中，与正弦定理、余弦定理相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等，是高考热点内容．

根据所给条件解三角形时，主要有两种途径：

(1)利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；

(2)利用正弦、余弦定理把边的关系化成角的关系，再用三角恒等变换化简求解．

　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.

(1)求C；

(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．

　(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，

由余弦定理，得cos C＝＝＝－.故C＝.

(2)由题意，得

＝，

因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，

tan2αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，

tan2αsin Asin B－tan αsin(A＋B)＋cos Acos B＝.①

因为C＝，A＋B＝，

所以sin(A＋B)＝.

因为cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，

即－sin Asin B＝，

解得sin Asin B＝－＝.

由①得tan2α－5tan α＋4＝0，

解得tan α＝1或tan α＝4.

3．三角恒等变换与向量的综合

三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，a∥b⇔x1y2＝x2y1，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用．

　已知△ABC为锐角三角形，若向量p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A,1＋sin A)，是共线向量．

(1)求角A；

(2)求函数y＝2sin2B＋cos 的最大值．

　(1)→

→

(2)→

　(1)因为p，q共线，所以(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，

则sin2A＝.

又A为锐角，所以sin A＝，则A＝.

(2)y＝2sin2B＋cos

＝2sin2B＋cos

＝2sin2B＋cos

＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B

＝sin 2B－cos 2B＋1

＝sin＋1.

因为B∈，所以2B－∈，

所以当2B－＝时，函数y取得最大值，

解得B＝，ymax＝2.