专题8.1 概率及回归直线方程-2021年高考数学（文）尖子生培优题典

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2021学年高考数学（文）尖子生同步培优题典专题8.1概率及回归直线方程姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________ 一、单选题1．（2020·武汉市第一中学高三月考（文））龙马负图、神龟载书图像如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图像如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数中随机抽取2个，则被抽到的2个数的数字之和超过10的概率为（    ） A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意，阳数为1、3、5、7、9，故所有的情况为，，，，，，，，，，共10种，其中满足条件的为，，，，共4种，故所求概率故选A．2．（2020·云南高三期末（文））如图所示，若在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内（图中阴影部分）的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知大正方形的边长为，面积为，小正方形边长为1，面积为，所以所求概率为．故选：D.3．（2020·全国高三其他模拟）文房四宝是中国独有的书法绘画工具(书画用具)，即笔、墨、纸、砚.文房四宝之名，起源于南北朝时期，自宋朝以来“文房四宝”则特指宣笔(安徽宣城)、徽墨(安徽徽州歙县)、宣纸(安徽宣城泾县)、歙砚(安徽徽州歙县)、洮砚(甘肃卓尼县)、端砚(广东肇庆，古称端州).若从上述“文房四宝”中任取两种，则恰好这两种都是“砚”的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可知“文房四宝”共六种，其中砚有三种，故所求事件的概率.故选：A.4．（2020·四川成都市·高三月考（文））已知、满足，则事件“”的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】区域是由、、、为四个顶点的正方形及其内部，区域是以原点为圆心，半径为的圆及其内部，如下图所示：区域是边长为的正方形及其内部，区域的面积为，区域的面积为，因此，所求概率为.故选：B.5．（2020·河南洛阳市·高三月考（文））已知圆：交轴正半轴于点，在圆上随机取一点，则使成立的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图所示：若当点在和位置时，.又因为，所以和为等边三角形，即.故成立的概率.故选：B6．（2020·云南昆明市·昆明一中高三月考（文））在区间上随机取一个实数，则方程有实数根的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得，即或，它与的公共元素为，所以，故选：B7．（2020·广西南宁市·南宁二中高三月考（文））甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（    ）A． B．2 C．8 D．【答案】D【分析】由于甲班成绩的中位数是，乙班成绩的平均数是，结合茎叶图可知，，，解得.由于正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，所以，即.所以.故选D.8．（2020·全国高三专题练习（文））给出下列说法：①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位.其中说法正确的是（    ）A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④【答案】B【分析】对于①中，回归直线恒过样本点的中心，但不一定过一个样本点，所以不正确；对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，所以是正确的；对于③中，根据方差的计算公式，可得将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差是不变的，所以是正确的；对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，所以是正确的.故选：B.9．（2020·黑龙江道里区·哈尔滨三中高三三模（文））有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是（   ）A．残差平方和变小 B．相关系数变小C．相关指数变小 D．解释变量与预报变量的相关性变弱【答案】A【分析】∵从散点图可分析得出：只有点偏离直线远，去掉点，变量与变量的线性相关性变强，∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.10．（2020·山西平城区·大同一中高三月考（文））为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】，故，则，故.故选：B.二、解答题11．（2020·全国高三其他模拟）根据海关总署发布的2020年上半年中国外贸进出口数据显示，中国外贸进出口好于预期，6月份出口､进口双双实现正增长，上半年，民营企业进出口逆势增长，一般贸易进出口比重提升.某公司抓住机遇，不断加大科技攻关投入，提升产品质量，据统计该公司，两类产品2020年1~6月份的盈利情况如表：月份代码123456产品类型盈利/万元605060708575807090110110100（1）从统计的这6个月份中任取3个月份，求产品盈利高于产品盈利的月份数的分布列及数学期望；（2）已知可用线性回归模型拟合两类产品的盈利之和(单位：万元)与月份代码之间的关系，试求关于的线性回归方程，并预测该公司2020年11月份两类产品的盈利之和.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）线性回归方程为，预测该公司2020年11月份两类产品的盈利之和为310万元.【分析】（1）由统计数据可知，这6个月份中，产品盈利高于产品盈利的月份有，则的可能取值为，；；.故的分布列为123故.（2）由题意可得：月份代码123456两类产品的盈利之和/万元110130160150200210故，，所以，，所以，∴.所以两类产品的盈利之和与月份代码之间的线性回归方程为，当时，.故预测该公司2020年11月份两类产品的盈利之和为310万元.12．（2020·河南中原区·郑州一中高三期中（文））新型冠状病毒肺炎COVID-19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延.在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制.然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长.下表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数.日期代码x12345678累计确诊人数y .481631517197122为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两个模型：①，②对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下(注：残差)：经过计算得，，，，其中，.（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型?并简要说明理由；（2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程(系数均保留两位小数)；（3）由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布.小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数做出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少?附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】（1）选择模型①，理由见解析；（2）；（3）157人.【分析】（1）选择模型①.理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好（2）由（1），知y关于x的回归方程为，令，则.由所给数据得：，.，∴y关于x的回归方程为（3）将代入上式，得(人)所以预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为157人.13．（2020·湖北东西湖区·武汉为明学校高三其他模拟（文））消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标；它是预测经济走势和消费趋向的一个先行指标，是监测经济周期变化的重要依据.消费者信心指数值介于0和200之间.指数超过100时，表明消费者信心处于强信心区；指数等于100时，表示消费者信心处于强弱临界点；指数小于100时，表示消费者信心处于弱信心区.我国某城市从2016年到2019年各季度的消费者信心指数如下表1： 2016年2017年2018年2019年第一季度104.50111.70118.50119.30第二季度104.00110.20114.60118.20第三季度105.50114.20110.20118.10第四季度106.80113.20113.20119.30记2016年至2019年年份序号为，该城市各年消费者信心指数的年均值（四舍五入取整）为y，x与y的关系如下表2：年份序号x1234消费者信心指数年均值y105112114119（1）该城市在2017年和2018年的四个季度的消费者信心指数中各任取一个，求2018年的消费者信心指数不小于2017年的消费者信心指数的概率；（2）根据表2得到线性回归方程为：，求的值，并预报该城市2020年消费者信心指数的年平均值.（3）根据表2计算的相关系数r（保留两位小数），并判断是否正相关很强.参考数据和公式：；；；；；；当时，y与x正相关很强.【答案】（1）（2），123.5（3），相关性强【分析】（1）设2017年和2018年的四个季度的消费者信心指数中各任取一个分别为,，则共有基本事件16个，其中满足的共有12个，所以（2）由题意，，代入，可得，，即线性回归方程为：，当时，，即2020年消费者信心指数的年平均值大约为123.5（3），，正相关很强.14．（2020·全国高三月考（文））高三年级计划从甲、乙两个班中选择一个班参加学校的知识竞赛，设甲班的成绩为，乙班的成绩为，两个班以往6次竞赛的成绩（满分150分）统计如下： 123456133145118125132127128139121144127121（1）请计算甲、乙两班的平均成绩和方差，从求得数据出发确定派哪个班参加竞赛更合适；（2）若，则称甲、乙属于“同一阶层”若从上述6次考试中任取三次，求至少有两次甲、乙属于“同一阶层”的概率.附：方差【答案】（1）130，130，69.3,75.3，派甲班参加比赛更合适；（2）.【分析】（1），，，，由于，，所以派甲班参加比赛更合适.（2）上述6次考试中有1、3、5的成绩为甲、乙属于“同一阶层”，从中任选三次，总共有：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，2，6），（1，3，4），（1，3，5），（1，3，6），（1，4，5），（1，4，6），（1，5，6），（2，3，4），（2，3，5），（2，3，6），（2，4，5），（2，4，6），（2，5，6），（3，4，5），（3，4，6），（3，5，6），（4，5，6），共20种结果，其中至少有两次甲、乙属于“同一阶层”的有10次，则至少有两次甲、乙属于“同一阶层”的概率为.15．（2020·广西南宁市·南宁二中高三月考（文））某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等)．现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间(单位：h)的数据，按照[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中m的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间；(2)从[4，6)，[6，8)两组中按分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人，求恰有1人在[6，8)组中的概率．【答案】（1）m=0.1，平均时间为5.08；（2）【分析】（l）由直方图可得：，所以，学生的平均学习时间：；（2）由直方图可得：中有人，中有人， 根据分层抽样，需要从中抽取人分别记为，从中抽取人分别记为，再从这人中抽取人，所有的抽取方法有共15种，其中恰有一人在组中的抽取方法有共8种，所以，从这人中抽取人，恰有人在组中的概率为．