专题4.2 数列求和-2021年高考数学（文）尖子生培优题典

2021学年高考数学（文）尖子生同步培优题典

专题4.2 数列求和

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（2020·全国专题练习（文））南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l，95，则该数列的第8项为(    )

A．99 B．131 C．139 D．141

【答案】D

【解析】所给数列为高阶等差数列

设该数列的第8项为

根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，

得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列

即得到了一个等差数列，如图：

根据图象可得：，解得

解得：

故选：D．

2．（2020·湖北宜昌·其他（文））我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是（    ）

A．五寸 B．二尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸

【答案】C

【解析】设晷影长为等差数列，公差为，，，

则，解得．

夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是五尺五寸．

故选：．

3．（2020·四川省南充高级中学高三月考（文））等差数列前项和为，若，是方程的两根，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】是方程的两根，

，

，

，故选C.

4．（2020·赤峰二中高一月考（文））等差数列和的前项和分别为与，对一切自然数，都有，则 （   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

,选B.

5．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中三模（文））已知数列，，则数列的前100项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意知， 当时，；

当时，，所以数列的前100项和

.

故选:B

6．（2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校二模（文））对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前项和为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知，，，，，累加可得，

，

.

故选：B.

7．（2020·湖南邵阳·三模（文））已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，，由题意可知，得.

，，

.

故选：C.

8．（2020·岳麓·湖南师大附中高三月考（文））数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，表示数列的前n项和．则使不等式成立的最小正整数n的值是（提示）（  ）

A．11 B．10 C．9 D．8

【答案】C

【解析】把代入），得，

故，

则，

则不等式成立，

代入计算可得，当不等式成立时．n的最小值为9．

故选C．

9．（2020·全国高三其他（文））已知数列，都是等差数列，，，设，则数列的前2020项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设等差数列的公差为，等差数列的公差为

因为，

所以，解得

所以

因为，

所以，解得

所以

所以

所以

故选：D

10．（2020·山东青州·高三三模（文））已知数列，定义数列为数列的“倍差数列”，若的“倍差数列”的通项公式为，且，若函数的前项和为，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

分析：由可得，从而得数列表示首项为，公差的等差数列，求得，再根据错位相减法即可得结果.

详解：根据题意得，

，

数列表示首项为，公差的等差数列，

，

，

，

，

，

，故选B.

11．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高三其他（文））设数列满足，若不等式对任意恒成立，则实数的最小值是_____．

【答案】3

【解析】解：数列满足，①

可得，时，，②

①②可得，即有，对也成立，

则，

即为，

可得对任意恒成立，

显然为递减数列， 取得最大值，

可得，解得，

实数的最小值为3．

故答案为：3．

12．（2020·山西其他（文））设函数，数列满足，则______.

【答案】

【解析】由题得,，

两式相加得，

考虑一般情况，设,

则

所以

故答案为：

13．（2020·全国专题练习（文））在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则a1＋a2＋…＋a51＝____．

【答案】676

【解析】

当为偶数时， ；

当为奇数时， ；

所以

14．（2020·河北桃城·衡水中学高三月考（文））在数列中，已知，，则=______．

【答案】

【解析】因为，

故可得，

累加可得，又因为，

则，

故可得，

则

.

故答案为：.

15．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高三二模（文））已知数列的各项均为正数，其前项和满足，设，为数列的前项和，则______．

【答案】

【解析】由于正项数列的前项和为，且.

当时，，得，，解得；

当时，由得，

两式作差得，可得，

，

对任意的，，则，，

所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，.

，

，

所以，可视为数列的前项和，因此，.

故答案为：.

16．（2020·全国高三其他（文））数列的前项和为，若，则________.

【答案】

【解析】因为，所以当时，，解得，

当时，

所以，即，

所以，即，

所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以，即，

又满足上式，所以，

所以

==

故答案为：

17．（2020·福建其他（文））已知公差不为0的等差数列，其前项和为，，且、、成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，

所以，

所以，

那么，

所以或（舍去）

又因为，

则

（2）由（1）得，

所以数列的前项和

①，

所以②，

由①②相减得

.

所以.

18．（2020·湖北东西湖·华中师大一附中其他（文））已知等比数列的前项和为，且，，的等差中项为10.

（1）求数列的通项公式；

（2）求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），

解得，.

所以.

（2）由（1）可知，所以，

又，

则

.

19．（2020·荆州市北门中学期末（文））已知等差数列满足（）.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，由已知得

即所以解得

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，①

，②   

得： 

所以．

20．（2020·全国专题练习（文））设，数列{bn}满足：bn+1＝2bn+2，且an+1﹣an＝bn；

（1）求证：数列{bn+2}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）证明：a1＝2，a2＝4，且an+1﹣an＝bn；∴b1＝a2﹣a1＝4﹣2＝2．

由bn+1＝2bn+2，变形为： ，

∴数列{bn+2}是等比数列，首项为4，公比为2．

（2）解：由（1）可得：bn+2＝4×2n﹣1，可得bn＝2n+1﹣2．

∴an+1﹣an＝bn＝2n+1﹣2．

∴

2n+2

＝2n+1﹣2n．

21．（2020·湖南邵阳·三模（文））设数列满足：，，.

（1）求证：数列为等比数列，并求出的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

【答案】（1）证明见解析，；（2）.

【解析】（1）∵，

∴．

∴．

∴．

∴是首项为3，公比为的等比数列．

∴，故．

（2）由（1）得

∴

．

22．（2020·广西高三其他（文））已知数列的前项和为，，.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）若，设数列的前项和为，求.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）证明：因为，，所以，所以，

所以.

所以是以为首项，以为公差的等差数列.

（2）由（1）可得，所以.

∴

∴

．