专题9 坐标系与参数方程的应用-2021年高考数学（文）尖子生培优题典

2021学年高考数学（文）尖子生同步培优题典

专题9 坐标系与参数方程应用

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

一、解答题

1．（2020·全国高三月考（文））已知曲线的直角坐标方程是，把曲线上的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.

（1）设曲线上任一点为，求的最大值；

（2），为曲线上两点，为坐标原点，若，求的值.

【答案】（1）最大值为2；（2）.

【分析】（1）：，曲线的参数方程(为参数)，

，

当时，的最大值为2.

（2），，代入得：.

故曲线的直角坐标方程为：，

对应的参数方程为：(为参数)，因此曲线上任意一点坐标为： ，对应的极坐标为：，显然有

，

所以有，因此，

因为，设，则点的坐标为，

所以

.

2．（2020·全国高三专题练习（文））已知曲线的方程为，曲线的参数方程为(为参数).

（1）求的参数方程和的普通方程；

（2）设点在上，点在上，求的最小值.

【答案】（1）的参数方程为(为参数)，的普通方程为；（2）1.

【分析】（1）曲线的参数方程为(为参数)，

曲线的普通方程为.

（2）设，

点到直线的距离为，则的最小值即为的最小值，

因为，其中，

当时，的最小值为1，此时.

3．（2020·广西北海市·高三一模（文））在平面直角坐标系xOy中，已知直线l过点且倾斜角为60°，曲线C的参数方程为（为参数）.

（1）以原点为极点，x轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；

（2）求直线l被曲线C所截得的线段的长度.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）因为曲线C的参数方程为（为参数）.

所以其普通方程为，

将，代入可得曲线C的极坐标方程为

.

（2）因为直线l过点且倾斜角为，

则直线l的参数方程为（t为参数）.

将直线的参数方程代入曲线C的方程中，可得.

设为方程的两个根，

则，.

所以直线被曲线C所截得的线段的长度为

.

4．（2020·昆明呈贡新区中学（云南大学附属中学呈贡校区）高三月考（文））在极坐标系中，已知点，B（1，π），C（1，0）.

（1）求A，B，C三点的直角坐标；

（2）已知M是△ABC外接圆上的任意一点，求|MA|2＋|MB|2＋|MC|2的值.

【答案】（1），，；（2）8.

【分析】（1）由知，，所以，，所以，

由知，，所以，，所以，

由知，，，，所以.

所以A，B，C三点的直角坐标分别为，，.

（2）因为，，，

所以是边长为2的等边三角形，故外接圆圆心坐标为，

外接圆半径为，

所以外接圆的参数方程为，

设，

所以，

，

，

所以.

5．（2020·全国高三月考（文））如图所示，已知曲线的极坐标方程为，点，以极点为原点，极轴为轴建立平面直角坐标系．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）已知直线的参数方程为，（为参数），若直线与曲线交于、两点，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】因为，故，

故，即；

（2）设直线的参数方程为（为参数），

若直线与双曲线交于，，则只能交于轴右侧部分，

将直线的参数方程代入，可得．

设，对应的参数分别为，，

故，，

故．

6．（2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考（文））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）若点，且和的交点分别为点，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由可得，可得.

（2）将带入的直角坐标方程，得

，即有，

所以，.

则.

7．（2020·榆树市第一高级中学校高二期中（文））在极坐标系中，已知直线过点，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：

（1）直线的极坐标方程；

（2）极点到该直线的距离.

【答案】（1）；（2）.

【分析】解（1）如图，由正弦定理，得

，即.

所求直线的极坐标方程为.

（2）作，垂足为，在中，

，，，

则.

即极点到该直线的距离等于.

8．（2020·江西南昌市·南昌十中高三期中（文））在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设，直线与曲线相交于M，N两点，若，，成等比数列，求实数的值．

【答案】（1）；；（2）.

【分析】

（1）由消去，可得直线l的普通方程为；

由得，

∴，

∵，，∴．

由有意义可知，∴，

∴曲线C的直角坐标方程为．

（2）由，直线的参数方程为（t为参数）．

将该方程代入曲线C的直角坐标方程中，

得．

设M，N两点对应的参数分别为，，

则，．

∵，，成等比数列，

∴，∴，

即，

∴，解得，

∵，∴．

9．（2020·广西高三一模（文））平面直角坐标系中，已知F为椭圆的右焦点，且，过F作两条互相垂直的直线交椭圆分别于A、B与C、D，以F为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求椭圆的极坐标方程与的代数表达式；

（2）求的取值范围.

【答案】（1），其中，；（2）．

【分析】由已知，

（1）设，，，

以右焦点F为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，

则椭圆的极坐标方程为，即，其中．

设，则

所以，

，即，

（2）由（1）得

，

因为，所以且，解得．

记，，

，当时，，是增函数，

所以．即．

10．（2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考（文））已知平面直角中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为,已知，若与交于A，B两点，M是线段AB的中点.

(1)求和的直角坐标方程；

(2)求线段PM的长.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），所以消去t得：的直角坐标方程为：，

将方程两边同乘以，得，再代入得，的直角坐标方程为：.

（2）设参数方程为， 代入曲线中整理得，

设A，B两点所对应的参数分别为，，据韦达定理有，，

故.