专题4.3 数列的综合应用-2021年高考数学（文）尖子生培优题典

2021学年高考数学（文）尖子生同步培优题典

专题4.3 数列综合应用

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中三模（文））“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘加，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到，得到即终止运算，己知正整数经过次运算后得到，则的值为（    ）

A．或 B．或 C． D．或或

【答案】A

【解析】设经过第次运算后变为，可知，，，，

，则，，

若为奇数，则，得，不合乎题意，所以，为偶数，且.

若为奇数，则，得，不合乎题意；

若为偶数，则.

若为奇数，则，可得；

若为偶数，则.

综上所述，或.

故选：A.

2．（2020·全国专题练习（文））公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（    ）

A．153 B．190 C．231 D．276

【答案】C

【解析】记第个六边形数为，

由题意知：，，

，，，

，

累加得，

即，

所以，

故选：C.

3．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考（文））已知等差数列的前项和为，，则（    ）

A． B．13 C．-13 D．-18

【答案】D

【解析】由，可设

∵为等差数列，∴S3，S6S3，S9S6为等差数列，

即a，6a，成等差数列，∴，即

∴

故选:D.

4．（2020·全国高三其他（文））已知数列的各项均为正数，且满足，，设为数列的前项和，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，

所以有，

所以，

因为数列的各项均为正数，所以，

即，

又因为，

所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，

所以，所以，

所以①，

②，

①-②得：，

所以，

所以，

故选：C.

5．（2020·全国高三其他（文））设是公差不为0的等差数列的前项和，，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】是公差不为0的等差数列的前项和，，

根据等差数列的求和公式及等差数列的性可得：，即，

所以

故选B

6．（2020·全国高三其他（文））已知函数（为常数），若数列，且，则数列前100项和为（    ）

A．78800 B． C．39400 D．

【答案】D

【解析】∵，解得，所以，进而.于是，

故选：D.

7．（2020·甘肃高三一模（文））《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作.其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同）.二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至后的那个节气（小暑）晷长为（    ）

A．五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸

【答案】B

【解析】：设从夏至到冬至，每个节气冕长为，即夏至时冕长为，冬至时冕长为，

由每个节气晷长损益相同可知，常数，所以 为等差数列，设公差为，

由题意知，，解得，则.

故选:B.

8．（2020·四川达州·高三其他（文））是数列的前n项和，，有且只有两个正整数n满足，则实数λ的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题可知是首项为6，公差为的等差数列，

，

，

即.

故选：C.

9．（2020·宁夏兴庆·长庆高中高三一模（文））已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】依题意，，故，故，故，故选：D．

10．（2020·全国高三二模（文））各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有（    ）

A．5项 B．6项 C．7项 D．8项

【答案】C

【解析】设等差数列为，则，

，

，

，

为了使尽量大，故，

，

，

当时， ，

当时， ，

，

故选：

11．（2020·银川唐徕回民中学高三三模（文））等差数列前项和为，若，则的值为（   ）

A．9 B．12 C．16 D．17

【答案】A

【解析】∵，∴得：，，故选A.

12．（2020·全国专题练习（文））数列满足，，且（），则__.

【答案】2020

【解析】当n为偶数时，

，

即，故数列的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，

所以，

所以.

故答案为：2020.

13．（2020·湖南衡阳·三模（文））已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前项和，则的值为__.

【答案】1010.

【解析】解：因为是奇函数，，

所以，，

，

，

，

，

如此继续，

得..

故答案为：1010.

14．（2020·湖南衡阳·三模（文））已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前n项和，则的值为______.

【答案】1010

【解析】因为是奇函数，，所以，

，，，

，，

如此继续，得，周期为4

.

故答案为：1010

15．（2020·四川广元·期末）定义：如果一个数列从第二项起，后一项与前一项的和相等且为同一常数，这样的数列叫“等和数列”，这个常数叫公和．给出下列命题：

①“等和数列”一定是常数数列；

②如果一个数列既是等差数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列；

③如果一个数列既是等比数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列；

④数列是“等和数列”且公和，则其前项之和；

其中，正确的命题为__________．（请填出所有正确命题的序号）

【答案】②

【解析】①“等和数列”不一定是常数数列,如数列是“等和数列”，但是不是常数数列，所以该命题错误；

②如果一个数列既是等差数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列.如果数列是等差数列，所以，如果数列是“等和数列”，所以

所以所以，所以，所以这个数列一定是常数列，所以该命题是正确的.

③如果一个数列既是等比数列又是“等和数列”，则这个数列一定是常数列. 如果数列是等比数列，所以，如果数列是“等和数列”，所以

所以所以，所以，所以这个数列不一定是常数列，所以该命题是错误的.

④数列是“等和数列”且公和，则其前项之和，是错误的.举例“等和数列”其，所以该命题是错误的.

故答案为：②

16．（2020·河南禹州市高级中学高三月考（文））已知数列满足，若，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】可得： ，

即： ，整理可得： ，

又 ，则数列 是首项为-10，公比为 的等比数列，

，

则： ,

很明显， 为偶数时可能取得最大值，由 可得： ，

则的最大值为.

三、解答题

17．（2020·梅河口市第五中学月考）已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，且

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，求数列的前项和

【答案】（1），；（2）

【解析】：（1）

对数列：

当时，

当时，，

当时也满足上式

（2），

而

设数列的前项和为，数列的前项和为

（1）

（2）

(1)-(2)得

当为偶数时，

当为奇数时，

由以上可知

所以，数列的前项和

18．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考（文））已知各项均为正数的数列的首项，前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；     

（2）设，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由两式相减，得：

，

又，，

当时，且，

故，得（舍去），

，

数列为等差数列，公差为，

所以 ．

（2）由（1）及题意可得，

所以

]

．

19．（2020·湖北宜昌·其他（文））数列中，，.

（1）求，的值；

（2）已知数列的通项公式是，，中的一个，设数列的前项和为，的前项和为，若，求的取值范围．

【答案】（1），（2），且是正整数

【解析】

（1）∵，

∴

∴

（2）由数列的通项公式是，，中的一个，和得数列的通项公式是

由可得

∴

∴

∵，

∴

即

由，得，解得或

∵是正整数，

∴所求的取值范围为，且是正整数

20．（2020·岳麓·湖南师大附中高三月考（文））已知递增的等比数列满足，且是，的等差中项.

（1）求的通项公式；

（2）若，求使成立的的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析（1）由已知且是的等差中项

得，解得，

代入，可得，解得或，

因为递增等比数列，所以，

因为，所以，所以，所以．

（2）由，所以，

，

，

两式相减得：，

所以，

使，整理得，

所以使成立的正整数的最小值为5．