高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念优秀学案

复习专题：平面向量及其运算

平面向量及其运算（一）

例题1  给出下列结论：

①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；

②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；

③数轴上向量的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；

④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0。

其中正确结论的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】D

【解析】①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确；

②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确；

③数轴用一个实数来表示向量，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确；

④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确。

故选：D。

总结提升：

有关平面向量概念的注意点

（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性。

（2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关。

（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量。解题时，不要把它与函数图象的移动混淆。

（4）两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小。

（5）两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件。

例题2  如图所示，在中，分别是的中点，

用表示；

【解析】

如图，延长到，使 连接，得到平行四边形。

则，

总结提升：

平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

（1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则。

（2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解。

（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；

②寻找相应的三角形或多边形；

③运用法则找关系；

④化简结果。

（4）与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值。

例题3  已知是不共线的向量，，，，则A，B，C三点共线的等价条件为（　　）

A. 　　　　　　 B.

C.    D.

【答案】D

【解析】因为A、B、C三点共线，所以，

设，所以

所以，故选D。

总结提升：

求解向量共线问题的注意事项

（1）向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用。

（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线。

（3）直线的向量式参数方程： 三点共线⇔（为平面内任一点，）。

例题4　如图在△AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点。设，。

（1）用，表示；

（2）过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F。设， ，求＋的值。

【解析】（1）设，

则，

，

，。

因为A，M，D三点共线，所以， 共线，从而 ①，

又C，M，B三点共线，所以，共线，同理可得 ②，

联立①②，解得，故。

（2）因为。

。

因为，共线，所以（－p）q＝－p，整理得＋＝5。

总结提升：

平面向量基本定理的实质及解题思路

（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。

（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。

（1）在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化。

（2）在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量。

（3）有关两向量平行问题，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来解决；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理（当 时， ⇔存在唯一实数λ，使得 ）来解决。

（4）当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量 （其中 为我们所需要的任何一个点），这个法则就是终点向量减去起点向量。

（答题时间：30分钟）

1. 设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝（　　）

A. 　　　　　　　　　　 B.

C.    D.

2. 设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的条件是（　　）

A. |a|＝|b|且a∥b   B. a＝－b

C. a∥b   D. a＝2b

3. 如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝，，则＝（　　）

A.  B.  C.  D.

4. 已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若＝λ＋μ（λ∈R，μ∈R），则λ＋μ的取值范围是（　　）

A. （0，1）　　 　　 B. （1，＋∞）

C. （1，]        D. （－1，0）

5. 如图所示，四边形是平行四边形，且，，设，，试用表示。

1.【答案】A

【解析】＋＝（＋）＋（＋）＝（＋）＝，故选A。

2.【答案】D

【解析】因为表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，

所以a与b必须方向相同才能满足＝。故选D。

3.【答案】D

【解析】连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，

得CD∥AB且，

所以。

故选：D

4. 【答案】B　

【解析】由题意可得＝k ＝kλ＋kμ（0<k<1），又A，D，B三点共线可得kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝>1，即λ＋μ的取值范围是（1，＋∞），故选B。

5. 【解析】

即：

即：

平面向量及其线性运算（二）

例题5  （1）已知向量，，若，则实数等于（   ）

A. B. C.或 D.0

（2）设向量，，若，则m=_______.

【答案】（1）C  （2）-1

【解析】（1）;

   （2）且，

，得m=-1.

例题6  在如图的平面图形中，已知OM=1.0N=2，∠MON=120°，·=，则的值为（    ）

A.     B.     C.     D. 0

【答案】C

【解析】如图所示，连结MN，

由·=可知点M，N分别为线段AB，AC上靠近点A的三等分点，

则，

由题意可知：

，，

结合数量积的运算法则可得：

。

本题选择C选项。

总结提升：计算向量数量积的三种常用方法

（1）定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即 （是与的夹角）。

（2）基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解。

（3）坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解。

例题7  已知向量求的最大值.

【解法1】（代数方法）

【解法2】（几何法）

如图，用表示，以O为圆心，2为半径作圆，则可看成以O为起点，终点在圆O上的向量，由向量减法的几何意义可知答案为4.

总结提升：

（1）求向量模的常用方法

①若向量 是以坐标形式出现的，求向量 的模可直接利用公式。

②若向量 是以非坐标形式出现的，求向量 的模可应用公式，或，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解。

（2）求向量模的最值（范围）的方法

①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解。

②几何法（数形结合法）：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解。

向量的数量积

向量的数量积是一个数量，当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积为正数；当两个向量的夹角为钝角时，它们的数量积为负数；当两个向量的夹角是90°时，它们的数量积等于0，零向量与任何向量的数量积等于0。

通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向量的长度（模）、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直。

（答题时间：30分钟）

1. 设向量＝（x－1，x），＝（－1，2），若∥，则x＝（　　）

A. －　　　　　　　　 B. －1

C.    D.

2. 已知向量＝（1，5），＝（4，－3），则下列向量中与向量＋垂直的是（　　）

A. （-5，2）  B. （2，-5）

C. （2，5）  D. （5，2）

3. △ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足＝（＋），||＝||，则向量在方向上的投影等于（　　）

A. －                                       B.

C.                                             D. 3

4. 已知向量，的夹角为，且，，则（    ）

A.  B. 3 C.  D.

5. 如图，是半圆的直径，、是弧的三等分点，，是线段的三等分点。若，则的值是（    ）

A. 12 B.  C. 26 D. 36

6. 若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知平面向量a与b的夹角为，a＝（1，），|a－2b|＝2，则|b|＝__________。

8. 已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a，b夹角的大小为________。

1. 【答案】C

【解析】∵∥，∴2（x－1）＋x＝0，∴x＝。故选C。

2. 【答案】B

【解析】+＝（5，2），又（5，2）·（2，-5）＝0，故（2，－5）与+垂直，故选B。

3. 【答案】C　

【解析】由＝（＋）可知O是BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以||＝||＝||。又因为||＝||＝1，故△OAC为等边三角形，即∠AOC＝60°，由圆周角定理可知∠ABC＝30°，且||＝，所以在方向上的投影为||·cos∠ABC＝×cos 30°＝，故选C。  

4. 【答案】C

【解析】由已知，，

∴，

∴。故选C。

5. 【答案】C

【解析】

连接，由、是弧的三等分点，得∠AOD＝∠BOC＝60°，

。

故选：C。

6. 【答案】C

【解析】将平方得：，

解得：。

。

所以向量+与-的夹角是。

7. 【答案】2　

【解析】由题意得||＝＝2，则|－2|2＝||2－4||||cos〈，〉＋4||2＝22－4×2cos||＋4||2＝12，解得||＝2（负舍）。

8. 【答案】π

【解析】|＋x|≥|+|恒成立⇒2＋2x·＋x22≥2＋2a·b＋b2恒成立⇒x2＋2a·bx－1－2a·b≥0恒成立，∴Δ＝4（a·b）2－4（－1－2a·b）≤0⇒（a·b＋1）2≤0，∴a·b＝－1，∴cos〈a，b〉＝＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，故a与b的夹角的大小为。