高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系优质导学案

空间中的平行关系同步练习

直线与直线平行同步练习

（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. 已知a，b，c是两两不同的三条直线，下列说法正确的是（    ）

A. 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面

B. 若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交

C. 若a∥b，则a，b与c所成的角相等

D. 若a⊥b，b⊥c，则a∥c

2. 已知，则等于（    ）

A.   B. 或 

C.   D. 以上答案都不对

3. 若，且，与的方向相同，则下列说法中，正确的是（    ）

A. ，且方向相同 B. ，且方向不同

C. 与不平行 D. 与不一定平行

二、填空题

4. 给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________。

①在空间，若两条直线不相交，则它们一定平行；

②平行于同一条直线的两条直线平行；

③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；

④空间四条直线 a，b，c，d，如果 a∥b，c∥d，且 a∥d，那么 b∥c。

二、解答题

5. 如图所示，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E、F、E′、F′分别是AB、BC、A′B′、B′C′的中点。

求证：EE′∥FF′。

直线与直线平行同步练习参考答案

5. 答案：C

解析：对A，若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；错误

对B，若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；错误

对C，若a∥b，则a，b与c所成的角相等；正确；

对D，若a⊥b，b⊥c，则a∥c或异面或相交，错误

2. 答案：B

解析：∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同。

∴∠PQR＝30°或150°，故选B。

3. 答案：D

解析：如图，

当∠AOB=∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，OB与O1B1是不一定平行。

4. 答案：②④

解析：①错，可以异面；②正确，公理4；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平行直线的传递性可知。

5. 证明：因为E、E′分别是AB、A′B′的中点，

所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′。

所以四边形EBB′E′是平行四边形。

所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′。

所以EE′∥FF′。

直线与平面平行同步练习

（答题时间：40分钟）

一、选择题

1. 如图，在三棱锥S­ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则（　　）

A. EF与BC相交                   B. EF∥BC

C. EF与BC异面                    D. 以上均有可能

2. 在三棱台ABC­A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是（　　）

A. 相交         B. 平行　        　

C. 在平面内　     　 D. 不确定

3. 直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有（　　）

A. 0条         B. 1条　        　

C. 0条或1条      　　 D. 无数条

二、填空题

4. 梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________。

5. 过正方体ABCD­A1B1C1D1的三顶点A1， C1， B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________。

三、解答题

6. 如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AB的中点。证明：BC1∥平面A1CD。

7. 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1延长线的交点，且PB1∥平面BDA1，求证：CD＝C1D。

8. 如图，空间几何体ABCDFE中，四边形ADFE是梯形，且EF∥AD，P，Q分别为棱BE，DF的中点。求证：PQ∥平面ABCD。

直线与平面平行同步练习参考答案

8. 答案：B

解析：因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，所以EF∥BC。

2. 答案：B

解析：因为AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1 。

3. 答案：C

解析：过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条。

4. 答案：CD∥α

解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α。

5. 答案：平行

解析：因为A1C1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1C1B，

平面ABCD∩平面A1C1B＝l，由线面平行的性质定理，所以A1C1∥l。

8. 证明：连接AC1交A1C于点F，

则F为AC1的中点。

又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF。

因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD。

8. 证明：如图，连接AB1与BA1交于点O，连接OD，

因为PB1∥平面BDA1，PB1⊂平面AB1P，

平面AB1P∩平面BDA1＝OD，所以OD∥PB1，

又AO＝B1O，所以AD＝PD，

又AC∥C1P，所以CD＝C1D。

8. 证明：法一：如图，取AE的中点G，连接PG，QG。

在△ABE中，PB＝PE，AG＝GE，所以PG∥BA，

又PG⊄平面ABCD，BA⊂平面ABCD，

所以PG∥平面ABCD。

在梯形ADFE中，DQ＝QF，AG＝GE，所以GQ∥AD，

又GQ⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

所以GQ∥平面ABCD。

因为PG∩GQ＝G，PG⊂平面PQG，GQ⊂平面PQG，

所以平面PQG∥平面ABCD。

又PQ⊂平面PQG，所以PQ∥平面ABCD。

法二：如图，连接EQ并延长，与AD的延长线交于点H，连接BH。

因为EF∥DH，所以∠EFQ＝∠HDQ，

又FQ＝QD，∠EQF＝∠DQH，

所以△EFQ≌△HDQ，所以EQ＝QH。

在△BEH中，BP＝PE，EQ＝QH，所以PQ∥BH。

又PQ⊄平面ABCD，BH⊂平面ABCD，

所以PQ∥平面ABCD。

平面与平面平行同步练习

（答题时间：40分钟）

一、选择题

1. 已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（　　）

A. α∥β B. α与β相交

C. α与β重合 D. α∥β或α与β相交

2. 如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是（　　）

A. 垂直 B. 相交不垂直

C. 平行 D. 重合

3. 若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中（　　）

A. 不一定存在与a平行的直线

B. 只有两条与a平行的直线

C. 存在无数条与a平行的直线

D. 有且只有一条与a平行的直线

二、填空题

4. 如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________。

三、解答题

5. 如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD。

求证：BC＝2EF。

6. 如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：

（1）直线EG∥平面BDD1B1；

（2）平面EFG∥平面BDD1B1。

平面与平面平行同步练习参考答案

1. 答案：D

解析：如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，…，an，…，

它们是一组平行线。这时a1，a2，…，an，…与平面β都平行，但此时α∩β＝l。另外也有可能α∥β。

2. 答案：B

解析：如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，

因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR。

3. 答案：D

解析：由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确。

5. 答案：

解析：∵α∥β，∴CD∥AB，则＝，

∴AB＝＝＝。

5. 证明：因为平面EFG∥平面BCD，

平面ABD∩平面EFG＝EG，

平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EG∥BD，

又G为AD的中点，故E为AB的中点，

同理可得，F为AC的中点，

所以BC＝2EF。

6. 证明：（1）如图，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB。

又因为SB⊂平面BDD1B1，

EG⊄平面BDD1B1，

所以直线EG∥平面BDD1B1。

（2）如图，连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD。

又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，

所以FG∥平面BDD1B1。

又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，

所以平面EFG∥平面BDD1B1。