数学必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积精品学案

立体图形的直观图及几何体的表面积与体积

立体图形的直观图

核心知识点：空间几何体的直观图

（1）斜二测画法及其规则

对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图。斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：

①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面。

②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段。

③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。

（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤

①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴使

∠xOz=90°，且∠yOz=90°。

②画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′=45°（或135°），

∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面。

③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同。

④已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半。

⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图。

（3）直观图的面积与原图面积之间的关系

①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，

②直观图面积是原图面积的倍。

例题1  按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图。

解：（1）在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H。

（2）在图②中画相应的x′轴与y′轴两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°。

（3）在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD。

（4）连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′（如图③）。

总结提升：

1. 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点。

2. 画平面图形的直观图时，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段则通过与坐标轴平行的线段来确定它的两个端点，然后连接成线段。

例题2  画棱长为2 cm的正方体的直观图。

解：如图，按如下步骤完成：

第一步：作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2 cm，AD＝1 cm。

第二步：过A作z′轴，使∠BAz′＝90°。

分别过点B，C，D作z′轴的平行线，在z′轴及这组平行线上分别截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝2 cm。

第三步：连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，并擦去多余的辅助线，得到的图形就是所求的正方体直观图。

总结提升：画简单几何体直观图的步骤

1. 画轴：通常以高所在直线为z轴建系。

2. 画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面。

3. 确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点。

4. 连接成图。

例题3　如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图。若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1。试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积。

解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2。在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2。

在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2。

连接BC，即得到了原图形。

由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2，

所以面积为S＝×2＝5。

总结提升：1. 平面图形的直观图与原图形的关系为：（1）与x轴、y轴平行线段的平行性不变。（2）长度关系的变化，与y轴平行的线段长度折半。

2. 直观图与原图面积之间的关系。

若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′。利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积。

1. 画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可。

画图时紧紧把握住一斜——在已知图形中垂直于x轴的线段，在直观图中与x′轴成45°或135°角；二测——两种度量形式，即在直观图中平行于x轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段变为原长度的一半。

2. 画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取，为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示。

3. 注意由直观图求原图形有关问题时，要把平行于y′轴的线段长度变为两倍才是原图形的长度。

（答题时间：30分钟）

1. 下列说法中正确的个数是（　　）

①水平放置的角的直观图一定是角；

②相等的角在直观图中仍然相等；

③相等的线段在直观图中仍然相等；

④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。

A. 1　　　　  B. 2　　　　  C. 3　　　　   D. 4

2. 在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于（　　）

A. 45°   B. 135°

C. 90°   D. 45°或135°

3. 已知等腰梯形，上底，腰，下底，以下底所在直线为轴，则由斜二测画法画出的直观图的面积为（    ）

A.    B.    C.     D.

4. 如图，是的直观图，其中，那么是（    ）

A. 等腰三角形                   B. 钝角三角形

C. 等腰直角三角形                D. 直角三角形

5. 若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的（    ）

A. 12倍       B. 2倍

C. 倍      D. 22倍

6. 水平放置的的直观图如图所示，已知轴，，则中边上的中线的长度为______。

7. 关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是______。（填序号）

①原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变；

②原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的；

③画与直角坐标系对应的时，必须是；

④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同。

8. 有一块四边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，，则这块菜地的面积为________。

9. 如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，C′A′＝2，B′D′∥y′轴且B′D′＝1. 5。

（1）将其恢复成原图形；

（2）求原平面图形△ABC的面积。

1. 【答案】B

【解析】水平放置的角的直观图仍然是角，①正确；利用斜二测画法画直观图，∠x′O′y′＝45°（或135°），所以直角可以变为45°或者135°，②错；因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半，所以③错；平行性不会改变，所以④正确。

2. 【答案】D

【解析】因为∠A的两边分别平行于x轴、y轴，所以∠A＝90°。在直观图中，由斜二测画法知∠x′O′y′＝45°（或135°），即∠A′等于45°或135°。

3. 【答案】C

【解析】如图所示，作出等腰梯形的直观图：

因为，所以则直观图的面积

。

4. 【答案】D

【解析】根据斜二测画法中，与横轴平行的线段长度不变，与纵轴平行的线段长度变为原来的一半，与原坐标轴平行的直线，平行关系不变，可以知道是直角三角形，且，故本题选D。

5. 【答案】C

【解析】以三角形的一边为轴，高所在的直线为轴，由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为轴，则长度减半，则直观图三角形的高为原来的，故其直观图的面积是原三角形面积的倍，故选C。

6. 【答案】

【解析】把直观图还原成，如图所示。

为直角三角形，且两条直角边的长，，

由勾股定理可得，故中边上的中线长为。

7. 【答案】③

【解析】原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变；故①正确；原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的；故②正确；画与直角坐标系对应的坐标系时，也可以是。故③错误；在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；故④正确。故答案为③

8. 【答案】

【解析】在直观图中，，，

，

原来的平面图形上底长为，下底为，高为 。

平面图形的面积为。

9. 解：（1）画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，

即CA＝C′A′；

②在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；

③连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′的原图形，如图所示。

（2）因为B′D′∥y′轴，所以BD⊥AC。

又B′D′＝1. 5且A′C′＝2，

所以BD＝3，AC＝2。

所以S△ABC＝BD·AC＝3。

简单几何体的表面积与体积

例题1  （1）底面是菱形的直棱柱，它的侧棱长是5，体对角线的长分别是9和15，则这个直棱柱的表面积是__________。

（2）已知圆台的一个底面的半径为，母线，高，则该圆台的侧面积为__________。

【答案】（1）      （2）或

【解析】（1）依题意，得直棱柱底面的一条对角线长为，底面的另一条对角线长为，则这个直棱柱的底面积

又菱形的两条对角线互相垂直平分，故底面边长为，则这个直棱柱的侧面面积

所以这个直棱柱的表面积。

（2）过A作的垂线，垂足为C，则BC=1，因此上下底半径为5，6或6，7，从而圆台的侧面积为或。

总结提升：求解几何体的表面积的两大技巧

求几何体的表面积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在。求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上。

例题2  （1）如图，一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为，则这个圆锥的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，各侧棱和底面的边长均为a，点D是CC1上任意一点，连接A1B，BD，A1D，AD，则三棱锥A-A1BD的体积为（    ）

A.         B.         C.        D.

【答案】（1）C   （2）B

【解析】（1）圆锥的展开图为扇形，半径，侧面积为为扇形的面积，所以扇形的面积，解得 ，所以弧长，所以底面周长为，由此可知底面半径，所以底面面积为，体高为，故圆锥的体积，故选C。

（2）如图，由条件可得点B到侧面ACC1A1的距离为，即三棱锥B-AA1D的高为。

。

总结提升：

（1）求正棱锥的表面积和体积时，应注意四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意高、斜高、底面边心所成的直角三角形的应用。

（2）三棱锥是一种很特殊的多面体，每个面都可作为底面，利用这一特性，经常对三棱锥进行“等积变换”（换底）。

（答题时间：30分钟）

1. 在三棱锥A—BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱锥的体积为（　　）

A.          B.             C. 6             D. 2

2. 已知一个圆柱的底面半径和高分别为和，，侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长是宽的2倍，则该圆柱的表面积与侧面积的比是（    ）

A.         B.          C.       D.

3. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2。动点E，F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上。若EF＝1，DP＝x，A1E＝y（x，y大于零），则三棱锥P－EFQ的体积（　　）

A. 与x，y都有关   B. 与x，y都无关

C. 与x有关，与y无关   D. 与y有关，与x无关

4. 一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的          倍。

5. 已知高与底面半径相等的圆锥的体积为，其侧面积与球 的表面积相等，则球的体积为         。

6. 如图，一个封闭的三棱柱容器中盛有水，且侧棱长AA1＝8。若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好经过AC，BC，A1C1，B1C1的中点。当底面ABC水平放置时，液面高度为________。

1. 【答案】B

【解析】AB·AC＝，AD·AC＝，AB·AD＝，

∴AB＝，AC＝1，AD＝。

∴V＝··1··＝。

2. 【答案】A

【解析】由题意可知，侧面积为，底面积为，所以圆柱的表面积与侧面积的比是。

3. 【答案】C

【解析】设P到平面EFQ的距离为h，则VP－EFQ＝×S△EFQ·h，由于Q为CD的中点，∴点Q到直线EF的距离为定值，又EF＝1，∴S△EFQ为定值，而P点到平面EFQ的距离，即P点到平面A1B1CD的距离，显然与x有关与y无关，故选C。

4. 【答案】

【解析】由圆锥的侧面积是其底面积的2倍得：，则圆柱的侧面积与其底面积的比为

5. 【答案】

【解析】依题意。母线，

侧面积解得，故球的体积为。

6. 【答案】6

【解析】利用水的体积相等建立方程求解。图中水的体积是S△ABC×8＝6S△ABC，当底面ABC水平放置时，水的体积不变，设液面高度为h，则6S△ABC＝S△ABCh，解得h＝6，即液面高度为6。