苏科版九年级下册6.4 探索三角形相似的条件当堂检测题

这是一份苏科版九年级下册6.4 探索三角形相似的条件当堂检测题，共8页。试卷主要包含了解得AP＝eq \f，∴AP＝6等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1、如图所示的三个三角形中，相似的是( )


A．(1)和(2) B．(2)和(3) C．(1)和(3) D．(1)和(2)和(3)





2、如图,∠AED=∠B,则下列结论正确的是( )


A. △ADE∽△ABC B. △AED∽△ABC C. △EAD∽△ABC D. △AED∽△ACB





3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列说法中错误的是( )


A．△ACD∽△CBD B．△ACD∽△ABC C．△BCD∽△ABC D．△BCD∽△BAC





4、如图，四边形ABCD是矩形，E点在AD上，F点在DC上，且∠BEF＝90°，


则三角形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ中一定相似的是( )


A．Ⅰ和Ⅲ B．Ⅰ和Ⅳ C．Ⅱ和Ⅲ D．Ⅲ和Ⅳ





5、如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB.若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是( )


A．1 B．2 C．3 D．4





6、如图,在▱ABCD 中,F 是 AD 延长线上一点,连接 BF 交 DC 于点 E,则图中相似三角形共有( )


A. 2 对 B. 3 对 C. 4 对 D. 5 对





7、如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D为AC上一点，连接BD，且BD＝BC＝4，则DC的长为( )


A．2 B.eq \f(5,2) C.eq \f(8,3) D．5





8、如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为( )


A．2 B．4 C．6 D．8





9、如图所示，AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线交AC于点D，则下列结论：①∠C＝72°；②BD平分∠ABC；③△ABD是等腰三角形；④△CBD∽△CAB.正确的有( )


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个





10、如图，正方形ABCD的边BC在等腰直角三角形PQR的底边QR上，其余两个顶点A，D分别在PQ，PR上，则PA∶AQ的值是( )


A. 1∶eq \r(2) B. 1∶2 C. 1∶3 D. 2∶3





二、填空题


11、(1)如图 1,AB 与 CD 相交于点 O,AC 与 BD 不平行,


当 =或 = 时,△AOC∽△DOB;


(2)如图 2,AD 与 BC 相交于点 O,AB∥CD,则 ∽.





12、如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是__________.(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)





13、如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD. 若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，


则 AC的长是________．





14、如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD＝________．





15、如图，在△ABC中，DE∥BC，GF∥AC，则图中与△ABC相似的三角形有 个．





16、经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，


则∠ACB的度数为__________.





17、如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，点E是DC上一点，∠DAE＝∠BAC，则EC的长为____.





18、在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有 ___条．





三、解答题


19、如图,在△ABC 中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.





20、如图,D 是线段 BC 上一点,连接 AD.若 AB=AC,∠B=∠BAD.求证:△ABC∽△DBA.





21、如图，已知△PMN是等边三角形，∠APB＝120°.求证：AM·PB＝PN·AP.











22、如图,在四边形 ABCD 中,AC 平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E 为 AB 的中点.


(1)求证:AC2=AB·AD;


(2)求证:△AFD∽△CFE.





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23、如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点Q是线段AC上异于A，C的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(图1)或线段AB的延长线(图2)于点P.


(1)求证：△AQP∽△ABC；


(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．


























24、如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F.


(1)求证：△ABD∽△DCF；


(2)除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．

































































6.4.2两角分别相等的判定方法-苏科版九年级数学下册 培优训练（答案）


一、选择题


1、如图所示的三个三角形中，相似的是( B )


A．(1)和(2) B．(2)和(3) C．(1)和(3) D．(1)和(2)和(3)





2、如图,∠AED=∠B,则下列结论正确的是(B )


A. △ADE∽△ABC B. △AED∽△ABC C. △EAD∽△ABC D. △AED∽△ACB





3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列说法中错误的是( C )


A．△ACD∽△CBD B．△ACD∽△ABC C．△BCD∽△ABC D．△BCD∽△BAC





4、如图，四边形ABCD是矩形，E点在AD上，F点在DC上，且∠BEF＝90°，


则三角形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ中一定相似的是( B )


A．Ⅰ和Ⅲ B．Ⅰ和Ⅳ C．Ⅱ和Ⅲ D．Ⅲ和Ⅳ





5、如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB.若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是( C )


A．1 B．2 C．3 D．4





6、如图,在▱ABCD 中,F 是 AD 延长线上一点,连接 BF 交 DC 于点 E,则图中相似三角形共有(B )


A. 2 对 B. 3 对 C. 4 对 D. 5 对





7、如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D为AC上一点，连接BD，且BD＝BC＝4，则DC的长为( C )


A．2 B.eq \f(5,2) C.eq \f(8,3) D．5





8、如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为( B )


A．2 B．4 C．6 D．8





9、如图所示，AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线交AC于点D，则下列结论：①∠C＝72°；②BD平分∠ABC；③△ABD是等腰三角形；④△CBD∽△CAB.正确的有(D )


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个





10、如图，正方形ABCD的边BC在等腰直角三角形PQR的底边QR上，其余两个顶点A，D分别在PQ，PR上，则PA∶AQ的值是( B )


A. 1∶eq \r(2) B. 1∶2 C. 1∶3 D. 2∶3





二、填空题


11、(1)如图 1,AB 与 CD 相交于点 O,AC 与 BD 不平行,


当 =或 = 时,△AOC∽△DOB;


(2)如图 2,AD 与 BC 相交于点 O,AB∥CD,则 ∽.





答案：(1)∠A;∠D;∠C;∠B (2)△AOB;△DOC


12、如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是_答案不唯一，如：∠B＝∠DEF_________.(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)





13、如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD. 若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，


则 AC的长是___ 2eq \r(3)_____．





14、如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD＝____4______．





15、如图，在△ABC中，DE∥BC，GF∥AC，则图中与△ABC相似的三角形有3 个．





16、经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，


则∠ACB的度数为__113°或92°________.





17、如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，点E是DC上一点，∠DAE＝∠BAC，则EC的长为__eq \f(3,2)___.





18、在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有_3 ___条．





三、解答题


19、如图,在△ABC 中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.





证明：∵DE∥BC,∴∠AED=∠C.


∵EF∥AB,∴∠A=∠FEC,∴△ADE∽△EFC.





20、如图,D 是线段 BC 上一点,连接 AD.若 AB=AC,∠B=∠BAD.求证:△ABC∽△DBA.





明：∵AB=AC,∴∠B=∠C.


∵∠B=∠BAD,∴∠BAD=∠C,


又∠B=∠B,∴△ABC∽△DBA.





21、如图，已知△PMN是等边三角形，∠APB＝120°.求证：AM·PB＝PN·AP.





证明：∵△PMN是等边三角形，∴∠PMN＝∠PNM＝∠MPN＝60°.


∴∠A＋∠APM＝60°，∠AMP＝∠PNB＝120°.


∵∠APB＝120°，∴∠APM＋∠NPB＝60°.∴∠A＝∠NPB.


又∵∠AMP＝∠PNB，∴△PMA∽△BNP.∴AM∶PN＝AP∶PB.∴AM·PB＝PN·AP.





22、如图,在四边形 ABCD 中,AC 平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E 为 AB 的中点.


(1)求证:AC2=AB·AD;


(2)求证:△AFD∽△CFE.





证明：(1)∵AC 平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB,又∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB,


∴AD∶AC=AC∶AB,∴AC2=AB·AD.


(2)∵∠ACB=90°,E 为 AB 的中点,∴CE=BE=AE,∴∠EAC=∠ECA.


∵∠DAC=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA,又∠DFA=∠EFC,∴△AFD∽△CFE.





23、如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点Q是线段AC上异于A，C的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(图1)或线段AB的延长线(图2)于点P.


(1)求证：△AQP∽△ABC；


(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．





解：(1)证明：∵PQ⊥AC，∴∠PQA＝∠CBA＝90°.又∵∠PAQ＝∠CAB，∴△AQP∽△ABC.


(2)由勾股定理得AC＝5.


分两种情况讨论：


①当点P在线段AB上时，PQ＝PB.


∵△AQP∽△ABC，∴eq \f(AP,AC)＝eq \f(PQ,BC)，即eq \f(AP,5)＝eq \f(3－AP,4).解得AP＝eq \f(5,3).


②当点P在线段AB延长线上时，BP＝BQ，∠BQP＝∠P.


∵∠PQA＝90°，∴∠PQB＋∠BQP＝∠A＋∠P＝90°.


∴∠A＝∠BQA.∴AB＝BQ. ∴AB＝BP＝3.∴AP＝6.





24、如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F.


(1)求证：△ABD∽△DCF；


(2)除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．





解：(1)证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，


∴∠ADB＋∠EDC＝∠EDC＋∠DFC＝180°－60°＝120°，


∴∠ADB＝∠DFC，∴△ABD∽△DCF


(2)除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：


△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，


△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD