初中数学苏科版九年级下册6.4 探索三角形相似的条件课后测评

2021苏科版数学九年级下学期数学6.4.3两边成比例且夹角相等的判定方法 课时作业

一、选择题

1、下列能判定△ABC∽△A′B′C′的条件是(　　)

   A.＝           B.＝且∠A＝∠A′

   C.＝且∠B＝∠C′    D.＝且∠B＝∠B′

2、如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是(    )

A．∠ADC＝∠ACB   B.＝   C．∠ACD＝∠B  D．AC2＝AD·AB

3、如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是(     )

A.＝     B.＝   C．∠B＝∠D     D．∠C＝∠AED

4、如图，在正三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，那么有(   )

A．△AED∽△BED  B．△BAD∽△BCD    C．△AED∽△ABD  D．△AED∽△CBD

5、如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(    )
 

6、如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4.沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是(   )

7、如图，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AB·AD.其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为(     )

A．1　　B．2　　 C．3　　D．4

8、如图，不等长的两条对角线AC，BD相交于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形．

若OA∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则下列关于此四个三角形的关系的说法正确的是(    )

A．甲、乙相似，乙、丁相似   B．甲、丙相似，乙、丁不相似

C．甲、丙不相似，乙、丁相似   D．甲、丙不相似，乙、丁不相似

9、如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI长为(     )

A．    B．      C．4    D. 3

二、填空题

10、如图，AB，CD交于点O，且OC＝45，OD＝30，OB＝36，当OA＝_ __  时，△AOC∽△BOD；

当OA＝_______   时，△AOC∽△DOB.

11、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且＝＝.若DE＝4，则BC＝______.

12、如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，F为BC边上一点，添加一个条件：________________，使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)

13、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位长度的3×2的方格纸中，找出一个格点三角形DEF.如果△DEF与△ABC相似(相似比不为1)，那么△DEF的面积为_______.

14、如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，且AD＝2，AC＝6，AE＝3，AB＝4，

则DE∶BC＝________．

15、如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，

当DP＝_______________时，△ADP与△BCP相似．

16、在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在如图5×5的方格纸中，以A，B为顶点作格点三角形与△OAB相似(相似比不能为1)，

则另一个顶点C的坐标为_____________________．

17、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD，若∠BFA＝90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△CFB.其中相似的有_______  .(填序号)

三、解答题

18、如图，在△ABC中，已知AB＝2，BC＝4，D是BC边上一点，BD＝1.

(1)求证：△ABD∽△CBA；

(2)作DE∥AB交AC于点E，直接写出DE的长．

19、如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF，ED，DF，DE交AF于点G，且

AE2＝EG·ED.求证：DE⊥EF.

20、如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB＝，BC＝1，连接BF分别交AC，DC，DE于点P，Q，R.

(1)求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长；

(2)观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并求解．

21、如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B.射线AG与线段DE，BC分别交于点F，G，且＝.

(1)求证：△ADF∽△ACG；

(2)若＝，求的值．

22、如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.

(1)通过计算，判断AD2与AC·CD 的大小关系；

(2)求∠ABD 的度数．

6.4.3两边成比例且夹角相等的判定方法-苏科版九年级数学下册 培优训练（答案）

一、选择题

1、下列能判定△ABC∽△A′B′C′的条件是(　B　)

   A.＝           B.＝且∠A＝∠A′

   C.＝且∠B＝∠C′    D.＝且∠B＝∠B′

2、如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是( B   )

A．∠ADC＝∠ACB   B.＝   C．∠ACD＝∠B  D．AC2＝AD·AB

3、如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是(  B   )

A.＝     B.＝   C．∠B＝∠D     D．∠C＝∠AED

4、如图，在正三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，那么有( D  )

A．△AED∽△BED  B．△BAD∽△BCD    C．△AED∽△ABD  D．△AED∽△CBD

5、如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(  C  )
 

6、如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4.沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是( B  )

7、如图，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AB·AD.其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( C   )

A．1　　B．2　　 C．3　　D．4

8、如图，不等长的两条对角线AC，BD相交于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形．

若OA∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则下列关于此四个三角形的关系的说法正确的是(   B  )

A．甲、乙相似，乙、丁相似   B．甲、丙相似，乙、丁不相似

C．甲、丙不相似，乙、丁相似   D．甲、丙不相似，乙、丁不相似

9、如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI长为(   A  )

A．    B．      C．4    D. 3

二、填空题

10、如图，AB，CD交于点O，且OC＝45，OD＝30，OB＝36，当OA＝_54__时，△AOC∽△BOD；

当OA＝___37.5  ____   时，△AOC∽△DOB.

11、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且＝＝.若DE＝4，则BC＝_10_____.

12、如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，F为BC边上一点，添加一个条件：________________，使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)

        答案不唯一，如：DF∥AC，∠DFB＝∠A，∠BDF＝∠ADE等

13、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位长度的3×2的方格纸中，找出一个格点三角形DEF.如果△DEF与△ABC相似(相似比不为1)，那么△DEF的面积为__1______.

14、如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，且AD＝2，AC＝6，AE＝3，AB＝4，

则DE∶BC＝________．

  [解析] ∵AD＝2，AC＝6，AE＝3，AB＝4，∴＝，＝， ∴＝.

又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DE∶BC＝AD∶AB＝1∶2.

15、如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，

当DP＝__1或4或2.5______________时，△ADP与△BCP相似．

16、在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在如图5×5的方格纸中，以A，B为顶点作格点三角形与△OAB相似(相似比不能为1)，

则另一个顶点C的坐标为________(5，2)或(4，4)_____________．

17、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD，若∠BFA＝90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△CFB.其中相似的有__①②③______  .(填序号)

三、解答题

18、如图，在△ABC中，已知AB＝2，BC＝4，D是BC边上一点，BD＝1.

(1)求证：△ABD∽△CBA；

(2)作DE∥AB交AC于点E，直接写出DE的长．

解：(1)证明：∵＝＝2，∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA.

(2)如图，DE＝.

19、如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF，ED，DF，DE交AF于点G，且

AE2＝EG·ED.求证：DE⊥EF.

证明：∵AF⊥BC，∴∠AFB＝90°.∵点E是AB的中点，∴AE＝FE.∴∠EAF＝∠AFE.

∵AE2＝EG·ED，∴＝.

∵∠AEG＝∠DEA，∴△AEG∽△DEA.∴∠EAG＝∠ADG.∴∠AFE＝∠ADG.

∵∠AGD＝∠EGF，∴∠DAG＝∠FEG.

∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC.∴∠DAG＝∠AFB＝90°.∴∠FEG＝90°.∴DE⊥EF.

20、如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB＝，BC＝1，连接BF分别交AC，DC，DE于点P，Q，R.

(1)求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长；

(2)观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并求解．

解：(1)证明：∵△ABC≌△DCE≌△FEG，△FEG是等腰三角形，

∴FG＝FE＝AB＝，BC＝CE＝EG＝1.  ∴BG＝BC＋CE＋EG＝3.

∴＝＝. 又∵∠BGF＝∠FGE，∴△BFG∽△FEG. ∴＝＝. ∴BF＝FE＝3.

(2)求证：PC∥RE.

证明：∵△ABC≌△DCE，∴∠PCB＝∠REB.  ∴PC∥RE(答案不唯一)．

21、如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B.射线AG与线段DE，BC分别交于点F，G，且＝.

(1)求证：△ADF∽△ACG；

(2)若＝，求的值．

解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，

∴△ADE∽△ACB，∴∠ADE＝∠C.

又∵＝，∴△ADF∽△ACG.

(2)∵△ADF∽△ACG，

∴＝＝，

∴＝1.

22、如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.

(1)通过计算，判断AD2与AC·CD 的大小关系；

(2)求∠ABD 的度数．

解：(1)∵AD＝BC＝，∴AD2＝()2＝.

∵AC＝1，∴CD＝1－＝.∴AD2＝AC·CD

(2)∵AD2＝AC·CD，∴BC2＝AC·CD，即＝.

又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.∴＝.

又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.

设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.

∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.  解得x＝36°.∴∠ABD＝36°