初中数学7.5 解直角三角形精品课后练习题

这是一份初中数学7.5 解直角三角形精品课后练习题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第5节 解直角三角形








一、单选题（共8小题）


1.如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为60°，A、B、C都是格点，则tan∠ABC＝（ ）





A．B．C．D．


【解答】解：连接DC，交AB于点E，


由题意可得：∠AFC＝30°，DC⊥AF，


设EC＝x，则EF＝＝x，


故BF＝2EF＝2x，


则tan∠ABC＝＝＝＝．


故选：A．





【知识点】等边三角形的判定与性质、解直角三角形、菱形的性质


2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为（ ）





A．2B．C．D．1


【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，


∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，


∴△ACB为等腰直角三角形，AB＝AC＝6，


∴∠A＝45°，


在Rt△ADE中，设AE＝x，则DE＝x，AD＝x，


在Rt△BED中，tan∠DBE＝＝，


∴BE＝5x，


∴x+5x＝6，解得x＝，


∴AD＝×＝2．


故选：A．





【知识点】解直角三角形、等腰直角三角形


3.如图，△ABC是半径为3的⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，若，则弦AC的长是（ ）





A．3B．2C．1D．


【解答】解：如图，连接DC，


∵∠B与∠D所对弧相同，


∴∠B＝∠D，


∴


又∵AD是直径，


∴∠ACD＝90°，


又∵半径为3


∴AD＝6，


∴在Rt△ACD中，


∴AC＝2，


故选：B．





【知识点】解直角三角形、圆周角定理、三角形的外接圆与外心


4.如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝10，∠B＝36°，D为BC的中点，则AD的长是（ ）





A．5sin36°B．5cs36°C．5tan36°D．10tan36°


【解答】解：∵AB＝AC，D为BC的中点，


∴BD＝BC＝5，AD⊥BC．


在Rt△ABD中，


∵tanB＝，


∴AD＝tanB×BD＝5tan36°．


故选：C．





【知识点】等腰三角形的性质、解直角三角形


5.如图，▱ABCO的顶点B、C在第二象限，点A（﹣3，0），反比例函数y＝（k＜0）图象经过点C和AB边的中点D，若∠B＝α，则k的值为（ ）





A．﹣4tanαB．﹣2sinαC．﹣4csαD．﹣2tanα


【解答】解：如图，过点C作CE⊥OA于E，过点D作DF⊥x轴于F，


在▱OABC中，OC＝AB，


∵D为边AB的中点，


∴OC＝AB＝2AD，CE＝2DF，


∴OE＝2AF，


设AF＝a，∵点C、D都在反比例函数上，


∴点C（﹣2a，﹣），


∵A（3，0），


∴D（﹣a﹣3，），


∴＝2×，


解得a＝1，


∴OE＝2，CE＝﹣，


∵∠COA＝∠α，


∴tan∠COA＝tan∠α＝，


即tanα＝﹣，


k＝﹣4tanα．


故选：A．





【知识点】解直角三角形、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质


6.如图，矩形ABCD长与宽的比为3：2，点E，F分别在边AB、BC上，tan∠1＝，tan∠2＝，则cs（∠1+∠2）＝（ ）





A．B．C．D．1


【解答】解：如图，连接EF





∵矩形ABCD长与宽的比为3：2


∴设AB＝CD＝3a，AD＝BC＝2a，


∵tan∠1＝＝，tan∠2＝＝


∴AE＝a，CF＝a，


∴BF＝BC﹣CF＝a，BE＝AB﹣AE＝2a，


∴AE＝BF，AD＝EB，且∠A＝∠B＝90°


∴△AED≌△BFE（SAS）


∴DE＝EF，∠1＝∠FEB


∵∠1+∠DEA＝90°


∴∠DEA+∠FEB＝90°


∴∠DEF＝90°，且DE＝EF


∴∠EDF＝45°


∴∠1+∠2＝45°


∴cs（∠1+∠2）＝


故选：B．


【知识点】解直角三角形、矩形的性质


7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA到点D，使AD＝AB，连接BD．根据此图形可求得tan15°的值是（ ）





A．2﹣B．2+C．D．


【解答】解：设AB＝AD＝2x，


在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，∠C＝90°，AB＝2x，


∴BC＝AB＝x，AC＝BC＝x，


∵AD＝AB，


∴∠D＝∠ABD＝∠BAC＝15°，


∴tanD＝＝＝2﹣，即tan15°＝2﹣；


故选：A．


【知识点】含30度角的直角三角形、解直角三角形


8.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点M，则cs∠CDM等于（ ）





A．B．C．D．


【解答】解：∵E是AB的中点，AB＝2，


∴AE＝AB＝1，


Rt△DAE中，由勾股定理得：DE＝＝＝，


∴cs∠AED＝＝＝，


∵CD∥AB，


∴∠CDM＝∠AED，


∴cs∠CDM＝；


故选：A．


【知识点】全等三角形的判定与性质、解直角三角形、正方形的性质








二、填空题（共6小题）


9.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，tanB＝，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△A1BC1，当点C1在线段CA延长线上时△ABC1的面积为 ．





【解答】解：如图，过点B作BE⊥CC'于点E，过点A作AF⊥BC于F，





∵tan∠ABC＝＝，


∴设AF＝3x，BF＝4x，


∵AF2+BF2＝AB2＝25，


∴x＝1，


∴AF＝3，BF＝4，


∵AB＝AC＝5，AF⊥BC，


∴BC＝2BF＝8，


∵S△ABC＝×BC×AF＝×AC×BE，


∴BE＝＝，


∴CE＝＝＝，


∵将△ABC绕点B逆时针旋转，


∴BC＝BC'＝8，且BE⊥CC'，


∴CC'＝2EC＝，


∴△ABC1的面积＝×AC'×BE＝×（﹣5）×＝，


故答案为：．


【知识点】旋转的性质、解直角三角形、等腰三角形的性质


10.在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，csA＝（如图），把△ABC绕着点C按照顺时针的方向旋转，将A、B的对应点分别记为点A'、B'．如果A'B'恰好经过点A，那么点A与点A'的距离为 ．





【解答】解：如图，过点C作CE⊥A'B'，





∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cs∠BAC＝，


∴AC＝6，


∵把△ABC绕着点C按照顺时针的方向旋转，


∴AC＝A'C＝6，∠A'＝∠BAC，


∵cs∠A'＝cs∠BAC＝＝，


∴A'E＝，


∵AC＝A'C，CE⊥A'B'，


∴AA'＝2A'E＝，


故答案我：．


【知识点】解直角三角形、旋转的性质


11.已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么tan∠BAE＝ ．


【解答】解；如图，





∵正方形ABCD，


∴∠ABC＝∠C＝90°，


在Rt△BCD中，DC＝BC＝2，


根据勾股定理得：BD＝＝＝2，


∵将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，


∴BE＝BD＝2，


∴tan∠BAE＝＝＝，


故答案为：．


【知识点】旋转的性质、解直角三角形、正方形的性质


12.矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为，那么该矩形的面积为 ．


【解答】解：如图所示：





∵四边形ABCD是矩形，


∴∠BAD＝90°，AC＝BD＝26，


∵tan∠DAC＝＝，


∴CD＝10，


∴AD＝＝＝24，


∴矩形的面积＝AD×CD＝24×20＝240，


故答案为：240．


【知识点】矩形的性质、解直角三角形


13.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的圆O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠A，tan∠CBF＝，则BC的长为 ．





【解答】解：连接AE，如图，


∵AB为直径，


∴∠AEB＝90°，


∵AB＝AC，


∴AE平分∠BAC，BE＝CE，


即∠BAE＝∠BAC，


∵∠CBF＝∠BAC，


∴∠CBF＝∠BAE，


∴tan∠BAE＝tan∠CBF＝，


在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，


设BE＝x，则AE＝3x，


∴AB＝＝x，


即x＝10，解得x＝，


∴BC＝2BE＝2x＝2．


故答案为2．





【知识点】解直角三角形、圆周角定理、等腰三角形的性质


14.如图，在矩形ABCD中，边AD沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，则cs∠ADF＝ ．





【解答】解：如图，连接AE，





∵把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，


∴AD＝ED＝AE，∠ADF＝∠EDF＝ADE，


∴△DAE的等边三角形，


∴∠ADE＝60°，


∴∠ADF＝30°，


∴cs∠ADF＝，


故答案为：．


【知识点】矩形的性质、解直角三角形、中心对称、翻折变换（折叠问题）








三、解答题（共6小题）


15.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE．


（1）求证：四边形ACED是平行四边形；


（2）若BO＝，sin∠CAD＝，请求出平行四边形ACED的周长和面积．





【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，


∴AD∥BC，AD＝BC，


∵CE＝BC，


∴AD＝CE，


∴AD＝CE，AD∥CE，


∴四边形ACED是平行四边形；


（2）解：∵四边形ABCD是矩形，


∴AC＝BD＝2OB＝5，∠ADC＝90°，


∵sin∠CAD＝，


∴CD＝AC＝4，


∴AD＝＝3，


∴平行四边形ACED的周长＝2×（3+5）＝16，


平行四边形ACED的面积＝3×4＝12．


【知识点】平行四边形的判定与性质、矩形的性质、三角形的面积、解直角三角形


16.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是过点A的⊙O的切线上一点，连接OC，过点A作OC的垂线交OC于点D，交⊙O于点E，连接CE．


（1）求证：CE与⊙O相切；


（2）连结BD并延长交AC于点F，若OA＝5，sin∠BAE＝，求AF的长．





【解答】解：（1）证明：连接OE，





∵OA＝OE，OD⊥AE，


∴∠AOD＝∠EOD，


∵OC＝OC，


∴△AOC≌△EOC（SAS），


∴∠CAO＝∠CEO，


∵CA为⊙O的切线，


∴∠CAO＝90°，


∴∠CEO＝90°，


即OE⊥CE，


∴CE与⊙O相切；


（2）过点D作DH⊥AB于点H，





∵OA＝5，sin∠BAE＝，


∴在Rt△ADO中，sin∠DAO＝，


∴OD＝


∴AD＝＝2，


∵S△ADO＝×OD×AD＝OA×OH，


∴DH＝＝2，


∴OH＝＝1，


∴BH＝5+1＝6，


∵DH⊥AB，AF⊥AB，


∴DH∥AF，


∴△BDH∽△BFA，


∴，


∴，


∴AF＝．


【知识点】切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆周角定理


17.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tanB＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．


（1）求证：DE＝CF；


（2）求：直径AB的长．





【解答】（1）证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H．


∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC，


∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．


∴AD∥OH∥BC．


又∵OA＝OB．


∴DH＝HC．


∵OH⊥DC，OH过圆心，


∴EH＝HF，


∴DH﹣EH＝HC﹣HF．


即：DE＝CF．





（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB＝90°，


∵∠AGB＝∠BCN＝90°，


∴AG∥DC．


∵AD∥BC，


∴AD＝CG．


∵AD＝2，BC＝4，


∴BG＝BC﹣CG＝2．


在Rt△AGB中，∵tanB＝3，


∴AG＝BG•tanB＝2×3＝6．


在Rt△AGB中，AB2＝AG2+BG2


∴AB＝．





【知识点】圆周角定理、解直角三角形、直角梯形


18.如图，已知△OAB中，OA＝OB＝10，sinB＝，以点O为圆心，12为直径的⊙O交线段OA于点C，交直线OB于点E、D，连接CD，EC．


（1）求证：AB为⊙O的切线；


（2）在（l）的结论下，连接点E和切点，交OA于点F，求CF的长．





【解答】（1）证明：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，


∴∠OGA＝∠OGB＝90，


∵OA＝OB，sinB＝＝，


∴OG＝＝6，


∵⊙O的直径为12，


∴半径r为6，


∴OG＝r＝6，又OG⊥AB，


∴AB为⊙O的切线；


（2）解：∵DE为⊙O的直径，


∴∠ECD＝90°，


∵CD∥AB，


∴∠CDE＝∠ABD，


∴，


∴，


∴，


∵OA＝OB，AG＝BG，


∴∠AOG＝∠BOG，


∵OE＝OC，


∴∠OEC＝∠OCE，


∵∠AOB＝∠OEC+∠OCE，


∴∠AOG＝∠OCE，


∴OG∥EC，


∴△FOG∽△FCE，


∴，


∴OF•CE＝OG•CF，


设CF＝x，则，


解得：x＝．


∴CF＝．


【知识点】切线的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形


19.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O、D分别为AB、BC的中点，做⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO．


（1）求证：DF是⊙O切线；


（2）若sinB＝，CF＝2，求⊙O的半径．





【解答】证明：作OG⊥DF于G．连接OE．


∵BD＝DC，BO＝OA，


∴OD∥AC，


∴∠ODG＝∠DFC，


∵∠OGD＝∠DCF＝90°，OD＝DF，


∴△OGD≌△DCF（AAS），


∴OG＝CD，


∵AC是⊙O的切线，


∴OE⊥AC，


∴∠AEO＝∠C＝90°，


∴OE∥BC，


∵OD∥CE，


∴四边形CDOE是矩形，


∴CD＝OE，


∴OG＝OE，


∴DF是⊙O的切线．


（2）设OE＝x，则BD＝DC＝OE＝x，


∵sinB＝，


∴∠B＝60°，


∴在Rt△OBD中，OD＝BD，


在Rt△DCF中，


∵DF2＝CF2+DC2，


∴，


解得，x＝，


∴⊙O的半径为．


【知识点】切线的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形、三角形中位线定理


20.如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE＝DB．


（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由．


（2）若CD＝15，BE＝10，tanA＝，求⊙O的直径．





【解答】解：（1）BD是⊙O的切线．


理由如下：


连接OB，∵OB＝OA，DE＝DB，


∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠ABD，


又∵CD⊥OA，


∴∠A+∠AEC＝∠A+∠DEB＝90°，


∴∠OBA+∠ABD＝90°，


∴OB⊥BD，


∴BD是⊙O的切线．


（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G，


∵DE＝DB，


∴EG＝BE＝5，


∵∠ACE＝∠DGE＝90°，∠AEC＝∠GED，


∴∠GDE＝∠A，


∴△ACE∽△DGE，


∴tan∠EDG＝tanA＝，即DG＝12，


在Rt△EDG中，


∵DG＝＝12，


∴DE＝13，∵CD＝15，∴CE＝2，


∵△ACE∽△DGE，


∴，


∴AC＝•DG＝，


∴⊙O的直径为2OA＝4AC＝．








【知识点】直线与圆的位置关系、线段垂直平分线的性质、垂径定理、解直角三角形、圆周角定理、勾股定理