初中数学苏科版九年级下册7.6 用锐角三角函数解决问题精品课时训练

这是一份初中数学苏科版九年级下册7.6 用锐角三角函数解决问题精品课时训练，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第6节 用锐角三角函数解决问题








一、单选题（共8小题）


1.下列说法正确的是（ ）


A．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形


B．坡面的水平宽度与铅直高度的比称为坡度


C．两个相似图形也是位似图形


D．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧


【解答】解：A、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故此选项错误；


B、坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度，故此选项错误；


C、两个相似图形不一定位似图形，故此选项错误；


D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，正确．


故选：D．


【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题、正方形的判定、位似变换


2.在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（ ）米．





A．10B．10﹣12C．12D．10+12


【解答】解：如图，延长AB交DC的延长线于点E，


，


由BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．


设BE＝x米，CE＝2x米．


在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，


即x2+（2x）2＝（12）2，


解得x＝12（米），


∴BE＝12（米），CE＝24（米），


DE＝DC+CE＝6+24＝30（米），


由tan30°＝，得


，


解得AE＝10（米）．


由线段的和差，得


AB＝AE﹣BE＝（10﹣12）（米），


故选：B．


【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题


3.河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（ ）





A．12米B．4米C．5米D．6米


【解答】解：∵BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：，


∴AC＝6（米），


∴AB＝＝12（米）．


故选：A．


【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题


4.跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是（ ）


A．200米B．400米C．米D．米


【解答】解：根据题意，此时小李离着落点A的距离是＝，


故选：D．


【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题


5.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ）





A．3米B．2米C．米D．9米


【解答】解：∵BC：AC＝1：3，


∴3：AC＝1：3，


∴AC＝9，


∴AB＝＝＝3，


∴物体从A到B所经过的路程为3，


故选：A．


【知识点】轨迹、解直角三角形的应用-坡度坡角问题


6.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC＝6米，CD＝4米，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为（ ）





A．B．C．D．


【解答】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，


∵∠BCD＝150°，


∴∠DCF＝30°，又CD＝4，


∴DF＝2，CF＝，


由题意得∠E＝30°，


∴EF＝，


∴BE＝BC+CF+EF＝6+4，


∴AB＝BE×tanE＝（6+4）×＝（2+4）米，


故选：B．





【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、平行投影


7.一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（m）与时间t（s）之间的关系为s＝8t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为（ ）





A．16mB．32mC．32mD．64m


【解答】解：设斜坡的坡角为α，


当t＝4时，s＝8×4+2×42＝64，


∵斜坡的坡比1：，


∴tanα＝，


∴α＝30°，


∴此人下降的高度＝×64＝32（m），


故选：B．


【知识点】二次函数的应用、解直角三角形的应用-坡度坡角问题


8.一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A点仰角为37°（身高忽略不计）．已知斜坡CD坡度i＝1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB所在旗台高度EF为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB为（ ）米．


（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）





A．10.2B．9.8C．11.2D．10.8


【解答】解：如图，作DH⊥FC交FC的延长线于H，延长AB交CF的延长线于T，作DJ⊥AT于J．





由题意四边形EFTB四边形DHTJ是矩形，


∴BT＝EF＝1.4米，JT＝DH，


在Rt△DCH中，∵CD＝2.6米，＝，


∴DH＝1（米），CH＝2.4（米），


∵∠ACT＝45°，∠T＝90°，


∴AT＝TC，


设AT＝TC＝x．则DJ＝TH＝（x+2.4）米，AJ＝（x﹣1）米，


在Rt△ADJ中，∵tan∠ADJ＝＝0.75，


∴＝0.75，


解得x＝11.2，


∴AB＝AT﹣BT＝AT﹣EF＝11.2﹣1.4＝9.8（米），


故选：B．


【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、解直角三角形的应用-坡度坡角问题








二、填空题（共6小题）


9.如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来，在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是 米．





【解答】解：如图，过点B作BH⊥AE于点H，BF⊥CE于点F，





根据题意可知：


∠BAH＝30°，


AB＝AE＝10，


∴BH＝5，AH＝5，


∵CE⊥AE，


∴四边形BHEF是矩形，


∴EF＝BH＝5，


BF＝HE＝AH+AE＝5+10，


∵∠DAE＝60°，


∴DE＝AE•tan60°＝10，


∴DF＝DE﹣EF＝10﹣5，


∵∠CBF＝45°，


∴CF＝BF＝5+10，


∴CD＝CF﹣DF＝5+10﹣（10﹣5）＝15﹣5（米）．


所以标识牌CD的高度是（15﹣5）米．


故答案为：（15﹣5）．


【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、解直角三角形的应用-坡度坡角问题


10.如图，在坡度为1：2.4的斜坡上有一棵与水平面垂直的树BC，在斜坡底部A处测得树顶C的仰角为30°，AB的长为65米，那么树高BC等于 米（保留根号）．





【解答】解：如图，延长CB交水平面于点D，





根据题意可知：


CD⊥AD，


∴∠ADC＝90°，


在Rt△ADB中，AB＝65，


∵BD：AD＝1：2.4，


∴AD＝2.4BD，


根据勾股定理，得


AD2+BD2＝AB2，


即BD2+（2.4BD）2＝652，


解得BD＝25，


∴AD＝60，


在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，


∴tan30°＝，


即＝，


解得CB＝20﹣25（米）．


答：树高BC等于（20﹣25）米．


故答案为：（20﹣25）．


【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题、解直角三角形的应用-仰角俯角问题


11.七宝琉璃玲珑塔（简称七宝塔），位于上海市七宝古镇的七宝教寺内，塔高47米，共7层．学校老师组织学生利用无人机实地勘测，如果无人机在飞行的某一高度时传回数据，测得塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，那么此时无人机距离地面的高度为 米．（结果保留根号）


【解答】解：如图所示：设无人机所在位置为点A，





根据题意可知：


∠BAD＝60°，∠DAC＝45°，BC＝47（米），


设此时无人机距离地面的高度为x米，


则CD＝x，则BD＝47﹣x，AD＝CD＝x，


在Rt△ADB中，tan60°＝，


即＝，


解得x＝（米）．


答：此时无人机距离地面的高度为米．


故答案为：．


【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题


12.一山坡的坡度i＝1：3，小刚从山坡脚下点P处上坡走了50米到达点N处，那么他上升的高度是 米．


【解答】解：设坡面的铅直高度为x米，


∵山坡的坡度i＝1：3，


∴坡面的水平宽度为3x米，


由勾股定理得，（3x）2+x2＝（50）2，


解得，x＝50，


则他上升的高度是50米，


故答案为：50．


【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题


13.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为 ．





【解答】解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，


故答案为：1：1.5．


【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题


14.如图所示，小亮家在点O处，其所在学校的校园为矩形ABCD，东西长AD＝1000米，南北长AB＝600米．学校的南正门在AD的中点E处，B为学校的西北角门．小亮从家到学校可以走马路，路线O→M→E（∠M＝90°）；也可以走沿河观光路，路线O→B．小亮在D处测得O位于北偏东30°，在B处测得O位于北偏东60°小亮从家到学校的两条路线中，长路线比短路线多 ﹣ 米．（结果保留根号）





【解答】解：如图，由题意得，∠OBF＝30°，DOM＝30°，FM＝AB＝600，


设DM＝CF＝x，


则BF＝1000+x，


在Rt△BOF中，∵∠OBF＝30°，


∴OF＝BF＝，OB＝＝＝（1000+x），


在Rt△ODM中，DM＝x，


∴OM＝x，


∴OF＝OM﹣FM＝x﹣600，


∴＝x﹣600，


解得：x＝500+300，


∴OF＝500+300，


∴BO＝2OF＝1000+600，


∴路线O→M→E的长度＝500+x+x＝500+500+300+500+900＝1900+800，


∴长路线比短路线多（1300﹣200）米，


故答案为：1300﹣200．





【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题、矩形的性质








三、解答题（共6小题）


15.如图，某居民楼AB的前面有一围墙CD，在点E处测得楼顶A的仰角为25°，在F处测得楼顶A的仰角为45°，且CE的高度为2米，CF之间的距离为20米（B，F，C在同一条直线上）．


（1）求居民楼AB的高度．


（2）请你求出A、E两点之间的距离．


（参考数据：sin25°≈0.42，cs25°≈0.91，tan25°≈0.47，结果保留整数）





【解答】解：（1）如图，过点E作EM⊥AB，垂足为M，


∴四边形ECBM为矩形，


∴EM＝BC，BM＝CE＝2．


设AB为x，


在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，


∴BF＝AB＝x，


∴BC＝EM＝BF+FC＝x+20．


在Rt△AEM中，∠AEM＝25°，AM＝AB﹣BM＝AB﹣CE＝x﹣2，


∵tan∠AEM＝，


∴≈0.47，


解得，x≈22，


答：居民楼的高约为22米；





（2）由（1）可知，ME＝BC＝x+20≈22+20＝42，


在Rt△AME中，cs∠AEM＝，


∴≈0.91，


解得，AE≈46，


答：A、E之间的距离约为46米．





【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题


16.如图1，大桥桥型为低塔斜拉桥，图2是从图1抽象出的平面示意图．现测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离AC为4米，两拉索底端距离BD为20米，试求立柱AE的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）





【解答】解：设DE＝x，


∵∠CDE＝60°，∠E＝90°，


∴CE＝DE•tan60°＝x，


∴AE＝AC+CE＝4+x，


∵∠B＝30°，


∴BE＝AE＝4+3x，


∴4+3x＝20+x，


解得：x＝10﹣2，


∴AE＝4+（10﹣2）


＝10﹣2


≈15.3


答：AE的长度为15.3米


【知识点】解直角三角形的应用


17.某公园内有一如图所示地块，已知∠A＝30°，∠ABC＝75°，AB＝BC＝8米，求C点到人行道AD的距离（结果保留根号）．





【解答】解：过点B作BE⊥AD于E，作BF∥AD，过C作CF⊥BF于F，


在Rt△ABE中，∠A＝30°，AB＝8m，


∴BE＝4m，


∵BF∥AD，


∴∠ABF＝30°，


∵∠ABC＝75°，


∴∠CBF＝45°，


在Rt△BCF中，CB＝8m，


∴CF＝4m，


∴C点到人行道AD的距离为4+4米；





【知识点】解直角三角形的应用


18.某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求此时轮船与小岛P的距离．





【解答】解：过P作PD⊥AB于点D，


∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°


且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90﹣75＝15°


∴∠PAB＝∠APB，


∴BP＝AB＝7（海里）．


答：此时轮船与小岛P的距离是7海里．





【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题


19.地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．（参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cs14°≈0.97）





【解答】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，


由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，


则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，


∵tan∠BQD＝，


∴tan14°＝，


即0.25＝，


解得ED＝18，


∴AC＝ED＝18，


∵BC＝7.5，


∴tan∠BAC＝＝，


即电梯AB的坡度是5：12，


∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，


∴AB＝＝19.5（米）．


即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．





【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、解直角三角形的应用-坡度坡角问题


20.某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即AD＝BE＝1米），两台测角仪相距50米（即AB＝50米）．在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°．（参考数据：≈1.41，≈1.73，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）


（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）


（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）





【解答】解：（1）如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，


∵∠CBA＝45°，


∴BH＝CH，


设CH＝x，则BH＝x．


∵在Rt△ACH中，∠CAB＝30°，


∴．


∴．


解得：，


∴18+1＝19．


答：计算得到的无人机的高约为19m；


（2）过点F作FG⊥AB，垂足为点G，


在Rt△AGF中，，


∴，


又．


∴，或


答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒．





【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题