数学必修 第二册第13章 立体几何初步13.1 基本立体图形精品同步达标检测题

这是一份数学必修 第二册第13章 立体几何初步13.1 基本立体图形精品同步达标检测题，共7页。

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一、选择题


1．利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是( )


A．正三角形的直观图仍然是正三角形


B．平行四边形的直观图一定是平行四边形


C．正方形的直观图是正方形


D．圆的直观图是圆


B [由斜二测画法可知，平面图形中的垂直关系变成相交关系，故A、C错误；又圆的直观图为椭圆，故D错误．]


2．如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是( )








A B C D


C [根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直．]


3．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )





A．AB B．AD C．BC D．AC


D [由题图可知，在△ABC中，AB⊥BC，AC为斜边，AD为直角边上的一条中线，显然斜边AC最长．]


4．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为( )





A．2B．2eq \r(2)


C．4 D．4eq \r(2)


D [由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝2eq \r(2)S直观图，得eq \f(1,2)·OB·h＝2eq \r(2)×eq \f(1,2)×2×O′B′，∵OB＝O′B′，∴h＝4eq \r(2).]


5．如图所示，为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为( )





A．eq \f(\r(2),2)B．1


C．eq \r(2)D．2


A [在直观图中，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为eq \f(\r(2),2).]


二、填空题


6．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________cm.





8 [由于平行性不变，O′A′∥B′C′，故在原图形中，OABC，∴四边形OABC为平行四边形，且对角线OB⊥OA，对角线OB＝2eq \r(2)，则AB＝eq \r(12＋2\r(2)2)＝3.


∴原图形的周长为l＝3×2＋1×2＝8.]


7．如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′，则△AOB的面积是________．





16 [由题图易知△AOB中，底边OB＝4，


又因为底边OB的高线长为8，


所以面积S＝eq \f(1,2)×4×8＝16.]


8．如图所示，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．





10 [由四边形OPQR的直观图可知该四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.]


三、解答题


9．用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD­A′B′C′D′的直观图．


[解] 画法：第一步，画轴，如图(1)，画x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.





(1) (2)


第二步，画底面，以点O′为中点，在x′轴上取线段MN，使MN＝4 cm；


在y′轴上以点O′为中点，取线段PQ，使PQ＝eq \f(3,2) cm，分别过点M和N作y′轴的平行线，过点P和Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面；


第三步，画侧棱，过A，B，C，D各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′；


第四步，成图，顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就可以得到长方体的直观图(如图(2))．


10．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图所示，∠A′B′C′＝45°，D′C′⊥A′D′，A′B′＝A′D′＝1，D′C′⊥B′C′，求这块菜地的面积．





[解] 在直观图①中，过点A′作A′E′⊥B′C′，垂足为E′，





①


则在Rt△A′B′E′中，A′B′＝1，


∠A′B′E＝45°，


∴B′E′＝eq \f(\r(2),2)，而四边形A′E′C′D′为矩形，A′D′＝1，


∴E′C′＝A′D′＝1.


∴B′C′＝B′E′＋E′C′＝eq \f(\r(2),2)＋1.


由此可得原图形如图②，在原图形中，AD＝1，AB＝2，BC＝eq \f(\r(2),2)＋1，且AD∥BC，AB⊥BC，





②


∴这块菜地的面积S＝eq \f(1,2)(AD＋BC)·AB＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq \f(\r(2),2).





1．(多选题)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是( )


A．三角形的直观图仍然是一个三角形


B．90°的角的直观图会变为45°的角


C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半


D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同


ACD [对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B,90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B错误；C，D显然正确．故选ACD．]


2．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是( )





A．△ABC是钝角三角形


B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形


C．△ABC是等腰直角三角形


D．△ABC是等边三角形


C [将其恢复成原图，设A′C′＝2，则可得OB＝2O′B′＝1，AC＝A′C′＝2，故△ABC是等腰直角三角形．


]


3.eq 一题两空如图，在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中原四边形OABC为________(填具体形状)，面积为________ cm2.





矩形 8 [由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．]


4．在平面直角坐标系xOy中，O(0,0)，B(4,0)，C(0,2eq \r(2))，用斜二测画法把△OBC画在对应的x′O′y′中时，B′C′的长是________．


eq \r(10) [由题设知OB＝4，OC＝2eq \r(2)，∠COB＝90°.根据斜二测画法的规则可得O′B′＝4，O′C′＝eq \f(2\r(2),2)＝eq \r(2)，


∠C′O′B′＝45°，在△C′O′B′中，由余弦定理，


得B′C′＝eq \r(\r(2)2＋42－2×\r(2)×4×\f(\r(2),2))＝eq \r(10).]


5．已知△ABC的面积为eq \f(\r(6),2)a2，它的水平放置的直观图为△A′B′C′是一个正三角形，根据给定的条件作出△A′B′C′的原图形，并计算△A′B′C′的面积．


[解] (1)取B′C′所在的直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，建立坐标系x′O′y′；


(2)过A′点作A′M′∥y′轴交x′轴于M′点，在△A′B′C′中，设它的边长为x，∵O′A′＝eq \f(\r(3),2)x，∠A′M′O′＝45°，∴O′A′＝O′M′＝eq \f(\r(3),2)x，故A′M′＝eq \f(\r(6),2)x；





(3)在直角坐标系xOy中，在x轴上O点左右两侧，


取到点O距离为eq \f(x,2)的点B，C，


在x轴O点左侧取到原点O距离为eq \f(\r(3),2)x的点M，过M在x轴上方作y轴的平行线并截取MA＝eq \r(6)x，连接AB，AC，则△ABC为△A′B′C′的原图形，由S△ABC＝eq \f(\r(6),2)a2，得eq \f(1,2)x×eq \r(6)x＝eq \f(\r(6),2)a2，∴x＝a，故△A′B′C′的面积为eq \f(\r(3),4)a2.