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高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.1 基本立体图形评优课ppt课件
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.1 基本立体图形评优课ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，一边所在的直线，一直角边所在的直线，垂直于底边的腰，直径所在的直线，定直线，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。
1.圆柱的结构特征(1)定义:将矩形绕着它的_______________旋转一周,形成的空间图形叫作圆柱.如图所示,这条直线叫作圆柱的轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面,不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫作母线. (2)表示方法:用表示轴的字母表示,可记作圆柱OO′.
【思考】圆柱的母线有什么特点?提示:圆柱有无数条母线,所有的母线平行,圆柱的母线也是圆柱的高.
2.圆锥的结构特征(1)定义:将直角三角形绕着它的___________________旋转一周,形成的空间图形叫作圆锥.如图所示,这条直线叫作圆锥的轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面,不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫作母线.
(2)表示方法:用表示轴的字母表示,可记作圆锥SO.
【思考】圆锥的母线有什么特点,它是圆锥的高吗?提示:圆锥有无数条母线,它们交于圆锥的顶点,母线不是圆锥的高,圆锥的母线、高和底面半径构成直角三角形.
3.圆台的结构特征(1)定义:将直角梯形绕着它_______________所在的直线旋转一周,形成的空间图形叫作圆台.如图所示,这条直线叫作圆台的轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面,不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫作母线.
(2)表示方法:用表示轴的字母表示,可记作圆台OO′.
【思考】圆台的母线有什么特点?提示:圆台有无数条母线,它们延长之后交于一点,母线不是圆台的高,圆台的母线、高和底面半径的差构成直角三角形.
4.球的结构特征(1)定义:半圆绕着它的_______________旋转一周所形成的曲面叫作球面,球面围成的空间图形叫作球体,简称球.如图所示,半圆的圆心叫作球的球心,连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径,连接球面上两点并且经过球心的线段叫作球的直径.
(2)表示方法:用表示球心的字母来表示,如球O.
【思考】球和球面一样吗?提示:球面与球是两个不同的概念,球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面,也可以看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合.而球体不仅包括球的表面,同时还包括球面所包围的空间.
5.旋转体的定义一般地,一条平面曲线绕它所在平面内的一条_______旋转所形成的曲面叫作旋转面,封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.
【思考】旋转体最大的特点是什么?提示:旋转体不同于多面体,一定有一个面是曲面.
6.简单组合体的结构特征由简单空间图形组合而成的复杂的空间图形称为简单组合体,构成简单组合体的两种基本形式:①由简单几何体拼接而成;②由简单几何体裁去或挖去一部分组成.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)圆锥有无数条母线,它们有公共点即圆锥的顶点,且长度相等.( )(2)过圆锥的轴的截面是全等的等边三角形.( )(3)圆台有无数条母线,且它们长度相等,但延长后不相交于一点.( )(4)过圆台任意两条母线的截面是等腰梯形.( )
提示:(1)√.(2)×.不一定是等边三角形,但一定是等腰三角形.(3)×.延长后相交于一点.(4)√.
2.下列几何体中不是旋转体的是( ) 【解析】选D.由旋转体的概念可知,选项D不是旋转体.
3.(教材二次开发:习题改编)指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的. 【解析】①是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的;②是由一个圆柱和两个圆台组合而成的;③是由一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的.
类型一 旋转体的结构特征(数学抽象)【题组训练】1.给出下列命题:①圆柱的母线与它的轴可以不平行;②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形;③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.②④
2.下列说法正确的是________(填序号). ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴,其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥;⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内;⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.
3.给出下列说法:①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;②圆台的任意两条母线的延长线,可能相交,也可能不相交;③夹在圆柱的两个截面间的几何体是一个旋转体.其中说法正确的是__________.(填序号)
【解析】1.选D.由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确,①③错误.2.①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥;②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台;③它们的底面为圆面;④正确;作球的一个截面,在截面的圆周上任意取四个不同的点,则这四点就在球面上,故⑤错误;根据球的半径定义,知⑥正确.答案:④⑥
3.①正确,如图所示,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面; ②不正确,圆台的母线延长后必相交于一点;③不正确,圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.答案:①
【解题策略】由简单旋转体判断问题的解题策略(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.(2)解题时要注意两个明确:①明确由哪个平面图形旋转而成;②明确旋转轴是哪条直线.
【补偿训练】 下列几何体是台体的是( ) 【解析】选D.台体包括棱台和圆台两种,A的错误在于四条侧棱没有交于一点;B的错误在于截面与圆锥底面不平行;C是棱锥;结合圆台的定义可知D正确.
类型二 简单组合体的结构特征(数学抽象、直观想象)【典例】已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰,如图所示.分别以AB,BC,CD,DA所在的直线为轴旋转,试说明所得几何体的结构特征.【思路导引】在进行旋转时,一定要紧扣旋转体的定义.
【解析】(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台,如图①所示.(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体:下部为圆柱,上部为圆锥,如图②所示.(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体:上部为圆锥,下部为圆台,再挖去一个小圆锥,如图③所示.(4)以AD边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体:一个圆柱上部挖去一个圆锥,如图④所示.
【解题策略】1.平面图形绕某条直线旋转时,要过有关顶点向轴作垂线,然后分析旋转体的结构特征.2.不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略(1)分割:对原平面图形适当分割,一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等图形.(2)定形:结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析.
【跟踪训练】1.如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而成的 ( )
【解析】选A.该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成,结合选项可知A选项正确.
2.指出图中三个空间图形的构成.
【解析】图①中的几何体由一个圆锥和一个四棱柱组合而成,其中上面是圆锥,下面是四棱柱.图②中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱而得到,其中四棱柱内接于圆锥.图③中的几何体由一个球挖去一个三棱锥而得到,其中三棱锥内接于球.
3.如图(1),(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体分别是由哪些简单几何体组成的?
【解析】旋转后的图形分别如图①②所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O3O4组成的;图②是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.
类型三 旋转体的计算问题(数学运算)角度1 与旋转体轴截面有关的计算问题 【典例】如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台的上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O′O的母线长.
【思路导引】求圆台的母线长,需要建立圆台母线和上、下底面半径的关系,而截去圆锥的母线和圆台的母线之和为原来圆锥的母线长,因此需要将空间图形中的计算问题转到平面图形中,所以作轴截面图.
【解析】设圆台的母线长为l cm,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面,如图所示.则△SO′A′∽△SOA,SA′=3 cm.所以 所以 解得l=9,即圆台的母线长为9 cm.
【变式探究】本例的条件“截去的圆锥的母线长是3 cm”,若改为“截得圆台的圆锥的母线长为12 cm”,求圆台O′O的母线长.
【解析】设圆台的母线长为l cm,由截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面,如图所示.则△SO′A′∽△SOA,SA=12 cm.所以 所以 解得l=9,即圆台的母线长为9 cm.
角度2 旋转体的侧面展开图问题 【典例】如图,底面半径为1,高为2的圆柱,在点A处有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B,问蚂蚁爬行的最短距离是多少?
【思路导引】求蚂蚁爬行的最短路程,受到平面内两点之间线段最短的启发,需要将圆柱进行展开,使蚂蚁爬行的路线是一条线段即可.
【解析】把圆柱的侧面沿AB剪开,展开成为平面图形——矩形,示意图如图,连接AB′,则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离. 因为AB=A′B′=2,AA′为底面圆的周长,且AA′=2π×1=2π,所以AB′= 故蚂蚁爬行的最短距离为2
【解题策略】一般地,沿多面体或旋转体的表面最短距离(路程)问题,用侧面展开解决.
【题组训练】1.轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r,则其轴截面面积为________. 【解析】由圆锥的结构特征可知,轴截面为等腰直角三角形,其高为r,所以S= ×2r2=r2.答案:r2
2.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同侧,且距离等于1,求这个球的半径.
【解析】如图,设这两个截面圆的半径分别为r1,r2,球心到截面的距离分别为d1,d2,球的半径为R,则π =5π,π =8π,所以 =5, =8,
又因为R2= 所以 =8-5=3,即(d1-d2)(d1+d2)=3.又d1-d2=1,所以 解得 所以R= =3,即球的半径等于3.
3.如图,圆柱形玻璃杯,高为12 cm,底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜在轴截面相对的点A处,则蚂蚁经过上沿一点到达蜂蜜的最短距离为多少?
【解析】沿过A的圆柱的母线剪开,得出矩形EFGH,过C作CQ⊥EF于Q,作A关于EH的对称点A′,连接A′C交EH于P,连接AP,则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离.因为AE=A′E,A′P=AP,所以AP+PC=A′P+PC=A′C.又因为CQ= ×18=9,A′Q=12-4+4=12(cm),在Rt△A′QC中由勾股定理得A′C= =15(cm).
备选类型 旋转体的轴截面图(直观想象、逻辑推理、数学运算)【典例】圆台的两底面面积分别为1,49,平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和,求圆台的高被截面分成的两部分的比.【思路导引】求圆台的高被截面分成的两部分的比就是求在轴截面图中两段线段的比,利用比例求解.
【解析】将圆台还原为圆锥,如图所示.O2,O1,O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心,V是圆锥的顶点,令VO2=h,O2O1=h1,O1O=h2,则 所以 即h1∶h2=2∶1.故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.
【解题策略】旋转体的轴截面中有母线、底面半径、高等主要元素,因而,在涉及这些元素的计算时,通常利用轴截面求解.在圆台的轴截面中,将等腰梯形的两腰延长,在三角形中可借助相似求解.这种立体问题平面化是解答旋转体中计算问题最常用的方法.
【跟踪训练】已知一个圆锥的底面半径为r,高为h,在此圆锥内有一个内接正方体,这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上,求此正方体的棱长.
【解析】作出圆锥的一个轴截面如图所示:其中AB,AC为母线,BC为底面直径,DG,EF是正方体的棱,DE,GF是正方体的上、下底面的对角线.设正方体的棱长为x,则DG=EF=x,DE=GF= x.依题意,得△ABC∽△ADE,所以 所以x= ,即此正方体的棱长为
1.下面空间图形的截面一定是圆面的是( ) A.圆台B.球C.圆柱D.棱柱【解析】选B.截面可以从各个不同的部位截取,截得的截面都是圆面的几何体只有球.
2.(教材二次开发:练习改编)以钝角三角形的较小边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得到的几何体是( )A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
【解析】选D.如图,以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.
3.一个圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高h为________cm. 【解析】h=20cs 30°=20× =10 (cm).答案:10
1.圆柱的结构特征(1)定义:将矩形绕着它的_______________旋转一周,形成的空间图形叫作圆柱.如图所示,这条直线叫作圆柱的轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面,不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫作母线. (2)表示方法:用表示轴的字母表示,可记作圆柱OO′.
【思考】圆柱的母线有什么特点?提示:圆柱有无数条母线,所有的母线平行,圆柱的母线也是圆柱的高.
2.圆锥的结构特征(1)定义:将直角三角形绕着它的___________________旋转一周,形成的空间图形叫作圆锥.如图所示,这条直线叫作圆锥的轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面,不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫作母线.
(2)表示方法:用表示轴的字母表示,可记作圆锥SO.
【思考】圆锥的母线有什么特点,它是圆锥的高吗?提示:圆锥有无数条母线,它们交于圆锥的顶点,母线不是圆锥的高,圆锥的母线、高和底面半径构成直角三角形.
3.圆台的结构特征(1)定义:将直角梯形绕着它_______________所在的直线旋转一周,形成的空间图形叫作圆台.如图所示,这条直线叫作圆台的轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面,不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫作母线.
(2)表示方法:用表示轴的字母表示,可记作圆台OO′.
【思考】圆台的母线有什么特点?提示:圆台有无数条母线,它们延长之后交于一点,母线不是圆台的高,圆台的母线、高和底面半径的差构成直角三角形.
4.球的结构特征(1)定义:半圆绕着它的_______________旋转一周所形成的曲面叫作球面,球面围成的空间图形叫作球体,简称球.如图所示,半圆的圆心叫作球的球心,连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径,连接球面上两点并且经过球心的线段叫作球的直径.
(2)表示方法:用表示球心的字母来表示,如球O.
【思考】球和球面一样吗?提示:球面与球是两个不同的概念,球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面,也可以看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合.而球体不仅包括球的表面,同时还包括球面所包围的空间.
5.旋转体的定义一般地,一条平面曲线绕它所在平面内的一条_______旋转所形成的曲面叫作旋转面,封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.
【思考】旋转体最大的特点是什么?提示:旋转体不同于多面体,一定有一个面是曲面.
6.简单组合体的结构特征由简单空间图形组合而成的复杂的空间图形称为简单组合体,构成简单组合体的两种基本形式:①由简单几何体拼接而成;②由简单几何体裁去或挖去一部分组成.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)圆锥有无数条母线,它们有公共点即圆锥的顶点,且长度相等.( )(2)过圆锥的轴的截面是全等的等边三角形.( )(3)圆台有无数条母线,且它们长度相等,但延长后不相交于一点.( )(4)过圆台任意两条母线的截面是等腰梯形.( )
提示:(1)√.(2)×.不一定是等边三角形,但一定是等腰三角形.(3)×.延长后相交于一点.(4)√.
2.下列几何体中不是旋转体的是( ) 【解析】选D.由旋转体的概念可知,选项D不是旋转体.
3.(教材二次开发:习题改编)指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的. 【解析】①是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的;②是由一个圆柱和两个圆台组合而成的;③是由一个三棱柱和一个四棱柱组合而成的.
类型一 旋转体的结构特征(数学抽象)【题组训练】1.给出下列命题:①圆柱的母线与它的轴可以不平行;②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形;③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.②④
2.下列说法正确的是________(填序号). ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴,其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥;⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内;⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.
3.给出下列说法:①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;②圆台的任意两条母线的延长线,可能相交,也可能不相交;③夹在圆柱的两个截面间的几何体是一个旋转体.其中说法正确的是__________.(填序号)
【解析】1.选D.由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确,①③错误.2.①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥;②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台;③它们的底面为圆面;④正确;作球的一个截面,在截面的圆周上任意取四个不同的点,则这四点就在球面上,故⑤错误;根据球的半径定义,知⑥正确.答案:④⑥
3.①正确,如图所示,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面; ②不正确,圆台的母线延长后必相交于一点;③不正确,圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.答案:①
【解题策略】由简单旋转体判断问题的解题策略(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键.(2)解题时要注意两个明确:①明确由哪个平面图形旋转而成;②明确旋转轴是哪条直线.
【补偿训练】 下列几何体是台体的是( ) 【解析】选D.台体包括棱台和圆台两种,A的错误在于四条侧棱没有交于一点;B的错误在于截面与圆锥底面不平行;C是棱锥;结合圆台的定义可知D正确.
类型二 简单组合体的结构特征(数学抽象、直观想象)【典例】已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰,如图所示.分别以AB,BC,CD,DA所在的直线为轴旋转,试说明所得几何体的结构特征.【思路导引】在进行旋转时,一定要紧扣旋转体的定义.
【解析】(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台,如图①所示.(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体:下部为圆柱,上部为圆锥,如图②所示.(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体:上部为圆锥,下部为圆台,再挖去一个小圆锥,如图③所示.(4)以AD边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一个组合体:一个圆柱上部挖去一个圆锥,如图④所示.
【解题策略】1.平面图形绕某条直线旋转时,要过有关顶点向轴作垂线,然后分析旋转体的结构特征.2.不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略(1)分割:对原平面图形适当分割,一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等图形.(2)定形:结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析.
【跟踪训练】1.如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而成的 ( )
【解析】选A.该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成,结合选项可知A选项正确.
2.指出图中三个空间图形的构成.
【解析】图①中的几何体由一个圆锥和一个四棱柱组合而成,其中上面是圆锥,下面是四棱柱.图②中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱而得到,其中四棱柱内接于圆锥.图③中的几何体由一个球挖去一个三棱锥而得到,其中三棱锥内接于球.
3.如图(1),(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的几何体分别是由哪些简单几何体组成的?
【解析】旋转后的图形分别如图①②所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O3O4组成的;图②是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.
类型三 旋转体的计算问题(数学运算)角度1 与旋转体轴截面有关的计算问题 【典例】如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台的上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3 cm,求圆台O′O的母线长.
【思路导引】求圆台的母线长,需要建立圆台母线和上、下底面半径的关系,而截去圆锥的母线和圆台的母线之和为原来圆锥的母线长,因此需要将空间图形中的计算问题转到平面图形中,所以作轴截面图.
【解析】设圆台的母线长为l cm,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面,如图所示.则△SO′A′∽△SOA,SA′=3 cm.所以 所以 解得l=9,即圆台的母线长为9 cm.
【变式探究】本例的条件“截去的圆锥的母线长是3 cm”,若改为“截得圆台的圆锥的母线长为12 cm”,求圆台O′O的母线长.
【解析】设圆台的母线长为l cm,由截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面,如图所示.则△SO′A′∽△SOA,SA=12 cm.所以 所以 解得l=9,即圆台的母线长为9 cm.
角度2 旋转体的侧面展开图问题 【典例】如图,底面半径为1,高为2的圆柱,在点A处有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B,问蚂蚁爬行的最短距离是多少?
【思路导引】求蚂蚁爬行的最短路程,受到平面内两点之间线段最短的启发,需要将圆柱进行展开,使蚂蚁爬行的路线是一条线段即可.
【解析】把圆柱的侧面沿AB剪开,展开成为平面图形——矩形,示意图如图,连接AB′,则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离. 因为AB=A′B′=2,AA′为底面圆的周长,且AA′=2π×1=2π,所以AB′= 故蚂蚁爬行的最短距离为2
【解题策略】一般地,沿多面体或旋转体的表面最短距离(路程)问题,用侧面展开解决.
【题组训练】1.轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r,则其轴截面面积为________. 【解析】由圆锥的结构特征可知,轴截面为等腰直角三角形,其高为r,所以S= ×2r2=r2.答案:r2
2.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同侧,且距离等于1,求这个球的半径.
【解析】如图,设这两个截面圆的半径分别为r1,r2,球心到截面的距离分别为d1,d2,球的半径为R,则π =5π,π =8π,所以 =5, =8,
又因为R2= 所以 =8-5=3,即(d1-d2)(d1+d2)=3.又d1-d2=1,所以 解得 所以R= =3,即球的半径等于3.
3.如图,圆柱形玻璃杯,高为12 cm,底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜在轴截面相对的点A处,则蚂蚁经过上沿一点到达蜂蜜的最短距离为多少?
【解析】沿过A的圆柱的母线剪开,得出矩形EFGH,过C作CQ⊥EF于Q,作A关于EH的对称点A′,连接A′C交EH于P,连接AP,则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离.因为AE=A′E,A′P=AP,所以AP+PC=A′P+PC=A′C.又因为CQ= ×18=9,A′Q=12-4+4=12(cm),在Rt△A′QC中由勾股定理得A′C= =15(cm).
备选类型 旋转体的轴截面图(直观想象、逻辑推理、数学运算)【典例】圆台的两底面面积分别为1,49,平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和,求圆台的高被截面分成的两部分的比.【思路导引】求圆台的高被截面分成的两部分的比就是求在轴截面图中两段线段的比,利用比例求解.
【解析】将圆台还原为圆锥,如图所示.O2,O1,O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心,V是圆锥的顶点,令VO2=h,O2O1=h1,O1O=h2,则 所以 即h1∶h2=2∶1.故圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1.
【解题策略】旋转体的轴截面中有母线、底面半径、高等主要元素,因而,在涉及这些元素的计算时,通常利用轴截面求解.在圆台的轴截面中,将等腰梯形的两腰延长,在三角形中可借助相似求解.这种立体问题平面化是解答旋转体中计算问题最常用的方法.
【跟踪训练】已知一个圆锥的底面半径为r,高为h,在此圆锥内有一个内接正方体,这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上,求此正方体的棱长.
【解析】作出圆锥的一个轴截面如图所示:其中AB,AC为母线,BC为底面直径,DG,EF是正方体的棱,DE,GF是正方体的上、下底面的对角线.设正方体的棱长为x,则DG=EF=x,DE=GF= x.依题意,得△ABC∽△ADE,所以 所以x= ,即此正方体的棱长为
1.下面空间图形的截面一定是圆面的是( ) A.圆台B.球C.圆柱D.棱柱【解析】选B.截面可以从各个不同的部位截取,截得的截面都是圆面的几何体只有球.
2.(教材二次开发:练习改编)以钝角三角形的较小边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得到的几何体是( )A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
【解析】选D.如图,以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.
3.一个圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高h为________cm. 【解析】h=20cs 30°=20× =10 (cm).答案:10
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