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高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.1 基本立体图形精品课件ppt
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.1 基本立体图形精品课件ppt，共45页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，互相垂直，°或135°，长度不变，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则:(1)建系:在已知图形中取__________的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′=_____,它们确定的平面表示水平面.(2)平行不变:已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成_____于x′轴或y′轴的线段.(3)长度规则:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度_____,平行于y轴的线段,长度为原来的_____.
2.用斜二测画法画空间图形的直观图,其规则是:上面画直观图的方法叫作斜二测画法,其规则是:(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴交于O点,再取z轴,使∠xOz=90°,∠yOz=90°.(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴,它们相交于点O′,并使∠x′O′y′=______________,∠x′O′z′=_____,x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面.(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成_____于x′轴、y′轴或z′轴的线段.(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段,在直观图中保持原_________,平行于y轴的线段,长度为原来的_____.
【思考】1.斜二测画法中“斜”“二测”怎样理解?提示:“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段,在直观图中均与x′轴成45°或135°;“二测”是指两种度量形式,即在直观图中,平行于x′轴或z′轴的线段长度不变;平行于y′轴的线段长度变为原来的一半.斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点,并在直观图中画出.
2.在直观图中有哪些“变”的量与“不变”的量?提示:(1)平面图形用其直观图表示时,一般平行关系不变;(2)点的共线性不变,线的共点性不变,但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化);(3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x轴和y轴,且∠A=90°,则在直观图中,∠A=45°.( )(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时,平行的线段在直观图中仍平行,且长度不变.( )(3)在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.( )提示:(1)×.也可能有∠A=135°.(2)×.平行的线段在直观图中仍平行,但长度可能改变.(3)×.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.
2.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图,正确的是图中的( )【解析】选C.正方形的直观图应是平行四边形,且相邻两边的边长之比为2∶1.
3.(教材二次开发:习题改编)已知两个圆锥,底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,且两顶点不同侧,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A.2 cmB.3 cmC.2.5 cmD.5 cm【解析】选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2+3=5(cm),在直观图中与z′轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.
类型一 水平放置的平面图形的直观图(直观想象)【题组训练】1.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中∠A′等于( )A.45°B.135°C.90°D.45°或135°2.如图所示为水平放置的正方形ABCO,它在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的它的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为_________。
3.画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
【解析】1.选D.因∠A的两边分别平行于x轴、y轴,故∠A=90°,在直观图中,按斜二测画法规则知∠x′O′y′=45°或135°,即∠A′=45°或135°.2.画出直观图,BC对应B′C′,且B′C′=1,∠B′C′x′=45°,故顶点B′到x′轴的距离为 .答案:
3.画法:(1)如图所示,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立平面直角坐标系xOy,画对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′= OE,以E′为中点画C′D′∥x′轴,并使C′D′=CD.(3)连接B′C′,D′A′,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
【解题策略】画水平放置的平面图形的直观图的技巧(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.(2)在直观图中,确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易,但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上,就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段,将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定.(3)同一个图形选取坐标系的角度不同,得到的直观图可能不同.
类型二 空间图形直观图的画法(直观想象)【典例】已知一个正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为6,高为4,用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.【思路导引】严格按照斜二测画法的要求和步骤进行作图.【解析】(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画下底面.以O为中点,在x轴上取线段EF,使得EF=6,在y轴上取线段GH,使得GH=3,再过G,H分别作AB?EF,CD?EF,且使得AB的中点为G,CD的中点为H,连接AD,BC,这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.(3)画上底面.在z轴上截取线段OO1=4,过O1作O1x′∥Ox,O1y′∥Oy,使∠x′O1y′=45°,建立坐标系x′O1y′,在x′O1y′中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图.(4)连接AA1,BB1,CC1,DD1,擦去辅助线,得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②).
【解题思略】画空间图形的直观图的原则 (1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系,并且把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面,再作z′轴与平面x′O′y′垂直.(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变.(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段,且线段长度画成原来的一半.(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变.
【跟踪训练】用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.
【解析】画法步骤:(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=4 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ= cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′.(4)成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.
【拓展延伸】圆的直观图水平放置的平面图形的直观图,可以采用斜二测画法,那在画圆的直观图时该怎么进行呢?我们可以用正等测画法画圆的直观图.正等测画法圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆,在画直观图时一般不用斜二测画法,而采用正等测画法,正等测画法的规则是:(1)如图,取互相垂直的直线Ox,Oy作为图形☉O所在平面内的直角坐标系的x轴和y轴,画直观图时将它们画成对应的x′轴和y′轴,并使∠x′O′y′=120° (或60°),x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面;
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段; (3)平行于x轴或y轴的线段,在直观图中保持长度不变.这样得到的圆的直观图是椭圆,圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面,在画底面时就要画成椭圆.但是画这种椭圆的方法比较麻烦,在实际画水平放置的圆的直观图时,可以用椭圆模板.
【拓展训练】1.一个机器部件,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3 cm,高为3 cm,圆锥的高为3 cm,画出此机器部件的直观图.
【解析】 (1)如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°, ∠xOz=90°. (2)画圆柱的两底面.在xOy平面上画出底面圆O,使直径为3 cm,在z轴上截取OO′,使OO′=3 cm,过O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出底面圆O′,使其直径为3 cm.
(3)画圆锥的顶点.在z轴上画出点P,使PO′等于圆锥的高3 cm.(4)成图.连接A′A,B′B,PA′,PB′,擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得到此几何体(机器部件)的直观图,如图②.
2.画一个正四棱锥(底面为正方形,侧面为全等的等腰三角形)的直观图(尺寸自定).【解析】步骤:(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画底面.以O为中心,在xOy平面内,画出正方形的直观图ABCD.(3)画顶点.在Oz轴上截取OS,使OS等于已知正四棱锥的高.(4)画棱.连接SA,SB,SC,SD,擦去辅助线(坐标轴),得到正四棱锥S-ABCD的直观图,如图②所示.
类型三 直观图的还原与计算(直观想象、数学运算)角度1 直观图还原为原图形 【典例】如图所示,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′,A1B1∥C1D1,A1B1= C1D1=2,A1D1=O′D1=1.试画出原四边形.
【思路导引】由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段,且平行于x′轴的线段还原时长度不变,平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.【解析】如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O′D1=1,OC=O′C1=2.在过点D与y轴平行的直线上截取DA=2D1A1=2.在过点A与x轴平行的直线上截取AB=A1B1=2.连接BC,便得到了原图形(如图).
【变式研究】 本例的条件“A1D1∥O′y′”若改为“A1D1⊥O′x′”,试画出原四边形.【解析】如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O′D1=1,OC=O′C1=2.经过计算,O′B1= .在y轴上截取OB=2 .在过点B与x轴平行的直线上截取AB=A1B1=2.连接BC,AD,便得到了原图形(如图).
角度2 直观图和原图形的计算问题 【典例】已知等边三角形ABC的边长为a,那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为( )A. a2B. a2C. a2D. a2
【思路导引】求直观图的面积,第一种方法:根据原图形画出直观图,在直观图中求面积.第二种方法:求原图形的面积之后利用公式S′= S进行求解.
【解析】选D.方法一:建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.
如图②所示,建立坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°,由直观图画法,知A′B′=AB=a,O′C′= OC= a.过点C′作C′D′⊥O′B′于点D′,则C′D′= O′C′= a.所以△A′B′C′的面积S= ·A′B′·C′D′= ·a· a= a2.方法二:S△ABC= a2,而 = ,所以S△A′B′C′= S△ABC= × a2= a2.
【解题策略】直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S′,则有S′= S或S=2 S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.
【题组训练】1.如图,Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图,若O′B′= ,则这个平面图形的面积是( )A.1B. C.2 D.4
【解析】选C.由题图知,平面图形△OAB为直角三角形.因为O′B′= ,所以A′B′= ,O′A′=2.所以在原△OAB中,OB= ,OA=4,所以S△OAB= × ×4=2 .
2.直观图(如图)中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm,则在xOy坐标中原四边形OABC为________(填形状),面积为________cm2.
【解析】由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA=2 cm,OC=4 cm,所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2).答案:矩形 8
3.如图,一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,求原图形的面积.【解析】一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,所以其直观图的面积S′= ×(1+1+ )× = .因此可得原平面图形的面积S= =2+ .
1.下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )【解析】选C.可分别画出各组图形的直观图,观察可得结论.
2.如图所示为某一平面图形的直观图,则此平面图形可能是( )【解析】选C.根据斜二测画法可知,此直观图的平面图形可能是C.
3.(教材二次开发:练习改编)如图所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在原△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( )A.ABB.ADC.BCD.AC【解析】选D.还原△ABC,即可看出△ABC为直角三角形,故其斜边AC最长.
4.如图所示为一个平面图形的直观图,则它的原图形四边形ABCD的形状为________.
【解析】因为∠D′A′B′=45°,由斜二测画法知∠DAB=90°,又因为四边形A′B′C′D′为平行四边形,且A′B′=2B′C′,所以AB=BC,所以原四边形ABCD为正方形.答案:正方形
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则:(1)建系:在已知图形中取__________的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′=_____,它们确定的平面表示水平面.(2)平行不变:已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成_____于x′轴或y′轴的线段.(3)长度规则:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度_____,平行于y轴的线段,长度为原来的_____.
2.用斜二测画法画空间图形的直观图,其规则是:上面画直观图的方法叫作斜二测画法,其规则是:(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴交于O点,再取z轴,使∠xOz=90°,∠yOz=90°.(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴,它们相交于点O′,并使∠x′O′y′=______________,∠x′O′z′=_____,x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面.(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成_____于x′轴、y′轴或z′轴的线段.(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段,在直观图中保持原_________,平行于y轴的线段,长度为原来的_____.
【思考】1.斜二测画法中“斜”“二测”怎样理解?提示:“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段,在直观图中均与x′轴成45°或135°;“二测”是指两种度量形式,即在直观图中,平行于x′轴或z′轴的线段长度不变;平行于y′轴的线段长度变为原来的一半.斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点,并在直观图中画出.
2.在直观图中有哪些“变”的量与“不变”的量?提示:(1)平面图形用其直观图表示时,一般平行关系不变;(2)点的共线性不变,线的共点性不变,但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化);(3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x轴和y轴,且∠A=90°,则在直观图中,∠A=45°.( )(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时,平行的线段在直观图中仍平行,且长度不变.( )(3)在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.( )提示:(1)×.也可能有∠A=135°.(2)×.平行的线段在直观图中仍平行,但长度可能改变.(3)×.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.
2.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图,正确的是图中的( )【解析】选C.正方形的直观图应是平行四边形,且相邻两边的边长之比为2∶1.
3.(教材二次开发:习题改编)已知两个圆锥,底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,且两顶点不同侧,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A.2 cmB.3 cmC.2.5 cmD.5 cm【解析】选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2+3=5(cm),在直观图中与z′轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.
类型一 水平放置的平面图形的直观图(直观想象)【题组训练】1.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中∠A′等于( )A.45°B.135°C.90°D.45°或135°2.如图所示为水平放置的正方形ABCO,它在平面直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的它的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为_________。
3.画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
【解析】1.选D.因∠A的两边分别平行于x轴、y轴,故∠A=90°,在直观图中,按斜二测画法规则知∠x′O′y′=45°或135°,即∠A′=45°或135°.2.画出直观图,BC对应B′C′,且B′C′=1,∠B′C′x′=45°,故顶点B′到x′轴的距离为 .答案:
3.画法:(1)如图所示,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立平面直角坐标系xOy,画对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′= OE,以E′为中点画C′D′∥x′轴,并使C′D′=CD.(3)连接B′C′,D′A′,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
【解题策略】画水平放置的平面图形的直观图的技巧(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.(2)在直观图中,确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易,但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上,就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段,将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定.(3)同一个图形选取坐标系的角度不同,得到的直观图可能不同.
类型二 空间图形直观图的画法(直观想象)【典例】已知一个正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为6,高为4,用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.【思路导引】严格按照斜二测画法的要求和步骤进行作图.【解析】(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画下底面.以O为中点,在x轴上取线段EF,使得EF=6,在y轴上取线段GH,使得GH=3,再过G,H分别作AB?EF,CD?EF,且使得AB的中点为G,CD的中点为H,连接AD,BC,这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.(3)画上底面.在z轴上截取线段OO1=4,过O1作O1x′∥Ox,O1y′∥Oy,使∠x′O1y′=45°,建立坐标系x′O1y′,在x′O1y′中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图.(4)连接AA1,BB1,CC1,DD1,擦去辅助线,得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②).
【解题思略】画空间图形的直观图的原则 (1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系,并且把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面,再作z′轴与平面x′O′y′垂直.(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变.(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段,且线段长度画成原来的一半.(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变.
【跟踪训练】用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.
【解析】画法步骤:(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=4 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ= cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′.(4)成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.
【拓展延伸】圆的直观图水平放置的平面图形的直观图,可以采用斜二测画法,那在画圆的直观图时该怎么进行呢?我们可以用正等测画法画圆的直观图.正等测画法圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆,在画直观图时一般不用斜二测画法,而采用正等测画法,正等测画法的规则是:(1)如图,取互相垂直的直线Ox,Oy作为图形☉O所在平面内的直角坐标系的x轴和y轴,画直观图时将它们画成对应的x′轴和y′轴,并使∠x′O′y′=120° (或60°),x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面;
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段; (3)平行于x轴或y轴的线段,在直观图中保持长度不变.这样得到的圆的直观图是椭圆,圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面,在画底面时就要画成椭圆.但是画这种椭圆的方法比较麻烦,在实际画水平放置的圆的直观图时,可以用椭圆模板.
【拓展训练】1.一个机器部件,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3 cm,高为3 cm,圆锥的高为3 cm,画出此机器部件的直观图.
【解析】 (1)如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°, ∠xOz=90°. (2)画圆柱的两底面.在xOy平面上画出底面圆O,使直径为3 cm,在z轴上截取OO′,使OO′=3 cm,过O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出底面圆O′,使其直径为3 cm.
(3)画圆锥的顶点.在z轴上画出点P,使PO′等于圆锥的高3 cm.(4)成图.连接A′A,B′B,PA′,PB′,擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得到此几何体(机器部件)的直观图,如图②.
2.画一个正四棱锥(底面为正方形,侧面为全等的等腰三角形)的直观图(尺寸自定).【解析】步骤:(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画底面.以O为中心,在xOy平面内,画出正方形的直观图ABCD.(3)画顶点.在Oz轴上截取OS,使OS等于已知正四棱锥的高.(4)画棱.连接SA,SB,SC,SD,擦去辅助线(坐标轴),得到正四棱锥S-ABCD的直观图,如图②所示.
类型三 直观图的还原与计算(直观想象、数学运算)角度1 直观图还原为原图形 【典例】如图所示,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′,A1B1∥C1D1,A1B1= C1D1=2,A1D1=O′D1=1.试画出原四边形.
【思路导引】由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段,且平行于x′轴的线段还原时长度不变,平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.【解析】如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O′D1=1,OC=O′C1=2.在过点D与y轴平行的直线上截取DA=2D1A1=2.在过点A与x轴平行的直线上截取AB=A1B1=2.连接BC,便得到了原图形(如图).
【变式研究】 本例的条件“A1D1∥O′y′”若改为“A1D1⊥O′x′”,试画出原四边形.【解析】如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O′D1=1,OC=O′C1=2.经过计算,O′B1= .在y轴上截取OB=2 .在过点B与x轴平行的直线上截取AB=A1B1=2.连接BC,AD,便得到了原图形(如图).
角度2 直观图和原图形的计算问题 【典例】已知等边三角形ABC的边长为a,那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为( )A. a2B. a2C. a2D. a2
【思路导引】求直观图的面积,第一种方法:根据原图形画出直观图,在直观图中求面积.第二种方法:求原图形的面积之后利用公式S′= S进行求解.
【解析】选D.方法一:建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.
如图②所示,建立坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°,由直观图画法,知A′B′=AB=a,O′C′= OC= a.过点C′作C′D′⊥O′B′于点D′,则C′D′= O′C′= a.所以△A′B′C′的面积S= ·A′B′·C′D′= ·a· a= a2.方法二:S△ABC= a2,而 = ,所以S△A′B′C′= S△ABC= × a2= a2.
【解题策略】直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S′,则有S′= S或S=2 S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.
【题组训练】1.如图,Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图,若O′B′= ,则这个平面图形的面积是( )A.1B. C.2 D.4
【解析】选C.由题图知,平面图形△OAB为直角三角形.因为O′B′= ,所以A′B′= ,O′A′=2.所以在原△OAB中,OB= ,OA=4,所以S△OAB= × ×4=2 .
2.直观图(如图)中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm,则在xOy坐标中原四边形OABC为________(填形状),面积为________cm2.
【解析】由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA=2 cm,OC=4 cm,所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2).答案:矩形 8
3.如图,一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,求原图形的面积.【解析】一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,所以其直观图的面积S′= ×(1+1+ )× = .因此可得原平面图形的面积S= =2+ .
1.下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )【解析】选C.可分别画出各组图形的直观图,观察可得结论.
2.如图所示为某一平面图形的直观图,则此平面图形可能是( )【解析】选C.根据斜二测画法可知,此直观图的平面图形可能是C.
3.(教材二次开发:练习改编)如图所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在原△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( )A.ABB.ADC.BCD.AC【解析】选D.还原△ABC,即可看出△ABC为直角三角形,故其斜边AC最长.
4.如图所示为一个平面图形的直观图,则它的原图形四边形ABCD的形状为________.
【解析】因为∠D′A′B′=45°,由斜二测画法知∠DAB=90°,又因为四边形A′B′C′D′为平行四边形,且A′B′=2B′C′,所以AB=BC,所以原四边形ABCD为正方形.答案:正方形
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