数学必修 第二册13.2 基本图形位置关系精品测试题

这是一份数学必修 第二册13.2 基本图形位置关系精品测试题，共6页。

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1．下面是四个命题的叙述(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)，其中叙述方式和推理都正确的是( )


A．A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α


B．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α


C．∵A∉α，a⊂α，∴A∉a


D．∵AB⊄α，∴A∉α


C [A错，应写为A∈α，B∈α；B错，应写为AB⊂α；C对．D错，A有可能在α内．]


2．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中( )


A．必有三点共线 B．必有三点不共线


C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线


B [如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A，B，D不共线．





(1) (2)]


3．如图所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是( )





A．A，M，O三点共线


B．A，M，O，A1四点共面


C．A，O，C，M四点共面


D．B，B1，O，M四点共面


D [因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知A、B、C均正确．]


4．下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是( )





A B C D


[答案] D


5．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是( )





A B C D


A [图形A中，连接MN，PQ(图略)，则由正方体的性质得MN∥PQ.根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形A正确．分析可知图形B、C、D中这四点均不共面．]


二、填空题


6．经过空间任意三点可以作________个平面．


一个或无数 [若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数个平面．]


7．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.


∈ [因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.]


8．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．





共线 [∵AC∥BD，


∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，


则α∩β＝CD．


∵l∩α＝O，∴O∈α.


又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，


∴O，C，D三点共线．]


三、解答题


9．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.





(1)求证：E，F，G，H四点共面；


(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．


[证明] (1)因为E，F分别为AB，AD的中点，


所以EF∥BD．


在△BCD中，eq \f(BG,GC)＝eq \f(DH,HC)，


所以GH∥BD，所以EF∥GH.


所以E，F，G，H四点共面．


(2)因为EG∩FH＝P，所以P∈EG，


又因为EG⊂平面ABC，


所以P∈平面ABC，


同理P∈平面ADC，


所以P为平面ABC与平面ADC的一个公共点．


又平面ABC∩平面ADC＝AC．


所以P∈AC，所以P，A，C三点共线．


10．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B共面．





[证明] 因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α.由题意得，D1E与DA共面于平面A1D且不平行，如图．


分别延长D1E与DA相交于G，所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.同理设直线D1F与DC的延长线交于H，则H∈平面α.





又点G，B，H均在平面AC内，且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB，所以△AGB为等腰直角三角形，所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.又∠ABC＝90°，所以G，B，H共线于GH，又GH⊂平面α，所以B∈平面α，所以D1，E，F，B共面．





1．下列命题中是假命题的是( )


A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α


B．若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB


C．若l⊄α，A∈l，则A∈α


D．若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合


C [C中A是l和α交点时，A∈α.]


2．(多选题)正方体被平面所截得的图形可能是( )


A．正三角形 B．正方形


C．正五边形 D．正六边形


ABD [如图所示，平面与正方体相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形，故选ABD．


]


3．如图所示，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．





P∈DE [因为D，E两点都在α内，也都在平面ABC内，


故DE是平面ABC与平面α的交线．


又∵P点在α内，也在平面ABC内，


故P点在平面ABC与平面α的交线DE上．]


4．正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过P，Q，R的截面图形是________．


正六边形 [如图所示，取C1D1的中点E，连接RE，REPQ，∴P，Q，E，R共面．





再取BB1，DD1的中点F，G.


∵PF∥AB1∥QR且GE∥C1D∥QR，∴GE∥PF，综上E，G，F，P，Q，R共面，


又∵QP＝PF＝FR＝ER＝EG＝GQ＝eq \f(\r(2),2)AB，


∴截面图形为正六边形．]


5．在棱长是a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.


(1)画出交线l；


(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长；


(3)求点D1到l的距离．


[解] (1)如图，延长DM交D1A1的延长线于点Q，则点Q是平面DMN与平面A1B1C1D1的一个公共点．连接QN，则直线QN就是两平面的交线l.





(2)∵M是AA1的中点，MA1∥DD1，


∴A1是QD1的中点．


又∵A1P∥D1N，∴A1P＝eq \f(1,2)D1N.


∵N是D1C1的中点，∴A1P＝eq \f(1,4)D1C1＝eq \f(a,4)，


∴PB1＝A1B1－A1P＝eq \f(3,4)a.


(3)过点D1作D1H⊥PN于点H，则D1H的长就是点D1到l的距离．


∵QD1＝2A1D1＝2a，D1N＝eq \f(a,2)，


∴QN＝eq \r(QD\\al(2,1)＋D1N2)＝eq \f(\r(17),2)a，


∴D1H＝eq \f(D1Q·D1N,QN)＝eq \f(2a·\f(a,2),\f(\r(17),2)a)＝eq \f(2\r(17),17)a，


即点D1到l的距离是eq \f(2\r(17),17)a.