高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第13章 立体几何初步13.1 基本立体图形教案配套课件ppt

13.1　基本立体图形

13.1.1　棱柱、棱锥和棱台

知识点1　棱柱的相关概念及特点

(1)棱柱的相关概念

一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱．平移起止位置的两个面叫作棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫作棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫作侧棱．

(2)棱柱的特点

棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．

1．如图所示的几何体中，为棱柱的是________．(填写所有正确的序号)

①　　　②　　　③　　 ④　　　⑤

③⑤　[棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是平行四边形；(3)侧棱相互平行．故答案是③⑤．]

知识点2　棱锥的概念及特点

(1)棱锥的相关概念

当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥．

顶点：由棱柱的一个底面收缩而成的点；

侧棱：相邻侧面的公共边；

底面：棱柱的未收缩为一个点的底面；

(2)棱锥的特点

棱锥的底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．

2．如图所示的几何体中，为棱锥的是(　　)

①　　②　　 　③　　　 　④

A．①③  B．①③④  C．①②④  D．①②

C　[棱锥的特征是有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．根据棱锥的结构特征可以判断，①②④是棱锥；③侧棱没有交于一点，不是棱锥．故选C．]

知识点3　棱台的概念及特点

(1)棱台的相关概念

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台．

侧棱：相邻侧面的公共边．

(2)棱台的特点

棱台的两个底面是相似的多边形，侧面都是梯形，侧棱延长后都相交于一点．

3．如图所示的几何体中，为棱台的是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

C　[棱台的特征是两底面互相平行且相似，侧棱延长后相交于一点．A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个底面不平行，不是棱台；只有C符合棱台的特征，故选C．]

知识点4　多面体的概念

棱柱、棱锥和棱台都是由一些平面多边形围成的空间图形．由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体．

多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥是四面体．

4．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)棱柱的侧面是平行四边形． (　　)

(2)棱台的侧棱延长后不一定交于一点． (　　)

(3)棱台的侧面是梯形． (　　)

(4)面数最少的多面体是四面体． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

类型1　棱柱、棱锥和棱台的概念

【例1】　(1)下列命题中，正确的是________．

①五棱柱中五条侧棱长度相同；

②三棱柱中底面三条边长度都相同；

③三棱锥的四个面可以都是钝角三角形；

④棱台的上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1．

(2)下列说法正确的是________．

①棱锥的侧面不一定是三角形；②棱锥的各侧棱长一定相等；③棱台的各侧棱的延长线交于一点．

(3)下列三个命题，其中不正确的是________．

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；

②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．

(1)①③④　(2)③　(3)①②③　[(1)由棱柱的特点知命题①正确；三棱柱的底面不一定为等边三角形，所以命题②不正确；如图所示，取以点O为端点的三条线段OA，OB，OC，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝100°，且OA＝OB＝OC，这时△AOB，△BOC，△COA都是钝角三角形，只有△ABC为等边三角形，可让点C沿OC无限靠近点O，则∠ACB就可趋近于100°，所以每个面都可以是钝角三角形，故命题③正确；由棱台的定义知，棱台是由棱锥截得的，截面是棱台的上底面，故上底面的面积一定小于下底面的面积，所以命题④正确．

综上所述，可知①③④正确．

(2)棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故①②不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各个侧棱的延长线一定交于一点，③正确．

(3)必须用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故①不正确；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体并不能说明各条侧棱是否交于一点，故不能判定②正确；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，③不正确．]

对于判定关于棱柱、棱锥、棱台的命题真假的问题，求解的关键是抓住棱柱、棱锥、棱台的概念与特征.除此之外，还可以利用举例或找反例的方法来判断.

[跟进训练]

1．给出下列命题，其中真命题是________．

①棱柱的侧面不可能是三角形；

②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；

③多面体至少有4个面；

④将一个正方形沿不同方向平移得到的空间图形都是正方体．

①②③　[①②均为真命题；对于③，一个图形要成为空间图形，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故③也是真命题；对于④，当正方形沿与其所在平面垂直的方向平移，且平移的长度恰好等于正方形的边长时，得到的空间图形才是正方体，故④不正确．故填①②③．]

类型2　简单多面体的结构特点及截面

【例2】　如图，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个空间图形是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的空间图形的特征，在立体图中画出截面．

[解]　(1)因为这个空间图形的所有面中没有两个互相平行的面，所以这个空间图形不是棱柱．

(2)在四边形ABB1A1中，在AA1上取E点，使AE＝2；

在BB1上取F点，使BF＝2；

连接C1E，EF，C1F，

则过C1，E，F的截面将空间图形分成两部分，其中一部分是三棱柱ABC­EFC1，其侧棱长为2；

截去部分是一个四棱锥C1­EA1B1F．

认识一个空间图形，需要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些空间图形组成的组合体，并能用平面分割开.

[跟进训练]

2．如图所示，已知长方体ABCD­A1B1C1D1．

(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的空间图形是棱柱吗？如果是，是几棱柱？并指出底面．如果不是，请说明理由．

[解]　(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为它可以看成由四边形ADD1A1沿AB方向平移至四边形BCC1B1形成的空间图形，符合棱柱的定义．

(2)截面BCFE右边的部分是三棱柱BEB1­CFC1，其中△BEB1与△CFC1是底面．截面BCFE左边的部分是四棱柱ABEA1­DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．

类型3　多面体及多面体的表面展开

【例3】　画出如图所示的空间图形的表面展开图．

(1)　　　　　　　(2)

结合图形，以多面体的棱为切入点，剪开，想象，得空间图形的表面展开图.

[解]　表面展开图如图所示．

(1)　　　　　　 　　(2)

多面体表面展开图问题的解题策略

(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．

(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个空间图形的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．

[跟进训练]

3．给出如图所示的正三角形纸片，要求剪拼成一个正三棱柱模型，使它的表面积与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标在图中，并写出简要说明．

[解]　如图，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，

其较长的一组邻边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下的部分沿虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好可以拼成这个正三棱柱的上底．

1．下列四个命题中正确的是(　　)

A．棱柱的底面一定是平行四边形

B．棱锥的底面一定是三角形

C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥

D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

D　[A中棱柱的底面可以是任何平面多边形，B中棱锥的底面可以是任何平面多边形，C中棱锥被经过顶点和底面的平面分成的两部分都是棱锥，D中棱柱被平行于底面的平面分成两个棱柱．]

2．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是(　　)

A．棱柱的侧棱长都相等

B．四棱锥有五个顶点

C．三棱台的上、下底面是相似三角形

D．有的棱台的侧棱长都相等

B　[由棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点．故选B．]

3．如图所示的空间图形中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．

①③④　⑥　⑤　[由棱柱、棱锥和棱台的定义知，①③④符合棱柱的定义，⑥符合棱锥的定义，②是一个三棱柱被截去了一段，⑤符合棱台的定义．故①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．]

4．下列叙述是棱台性质的是________．

①两底面相似；

②侧面都是梯形；

③侧棱都平行；

④侧棱延长后交于一点．

[答案]　①②④

5．如图所示，不是正四面体的展开图的是________．

①　　　　②　　　　③　　　　④

③④　[可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．观察下面四个空间图形，这些空间图形都是多面体吗？怎样定义多面体？

(1)　　 　(2)　　　　(3)　　　　　(4)

[提示]　这四个空间图形都是多面体，多面体是由若干个平面多边形围成的空间图形．

2．棱柱有哪些结构特征？

[提示]　棱柱的结构特征：

①有两个面互相平行；

②其余各面都是四边形，且相邻两个四边形的公共边都互相平行．

3．棱柱、棱台、棱锥之间有什么关系？

[提示]　

正方体的截面形状的探究

①截面可以是三角形：一般三角形、等腰三角形、等边三角形．

②截面一定是锐角三角形，不可能是直角三角形、钝角三角形．

③截面可以是四边形：等腰梯形、平行四边形、矩形、正方形等．截面为四边形时，至少有一组对边平行．

④截面不能是直角梯形．

⑤截面可以是五边形，截面为五边形时必有两组分别平行的边，同时有两个角相等，截面五边形不可能是正五边形．

⑥截面可以是六边形，截面为六边形时必有三组分别平行的边，同时有三组对角分别相等．截面六边形可以是等角的六边形．特别地，可以是正六边形．

对应的截面图形如图所示．