高中数学苏教版 (2019)必修 第二册13.1 基本立体图形达标测试

直观图的斜二测画法

【概念认知】

1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则：

(1)建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平面．

(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．

(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

2．用斜二测画法画空间图形的直观图，其规则是：

(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝90°，∠yOz＝90°.

(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于点O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．

(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．

(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．

【自我小测】

1．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是(　　)

【解析】选C.可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．

2．如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC是(　　)

A．等腰三角形        B．直角三角形

C．等腰直角三角形       D．钝角三角形

【解析】选B.由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC＝2AB.

3．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，且两顶点不同侧，则其直观图中这两个顶点之间的距离为(　　)

A．2 cm      B．3 cm       C．2.5 cm       D．5 cm

【解析】选D.圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，

故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z′轴平行的线段长度不变，仍为5 cm.

4．如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形的形状是________．

【解析】如图所示，在原图形OABC中，应有OABC，OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，所以OC＝＝＝6(cm)，因为OA＝O′A′＝6 cm，所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形．

答案：菱形

5．利用斜二测画法得到：

①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④菱形的直观图是菱形．

以上结论中，正确的是________(填序号).

【解析】斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．

答案：①②

6．用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．

【解析】(1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.

(2)画底面：在面x′O′y′内，画出正六边形的直观图ABCDEF.

(3)画侧棱：过A，B，C，D，E，F分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长．

(4)成图：顺次连线A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)就得到正六棱柱的直观图，如图所示．

【基础全面练】

一、单选题

1．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是(　　)

A．直角三角形的直观图仍是直角三角形

B．梯形的直观图是平行四边形

C．正方形的直观图是菱形

D．平行四边形的直观图仍是平行四边形

【解析】选D.由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．

2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于(　　)

A．45°      B．135°      C．90°      D．45°或135°

【解析】选D.因∠A的两边分别平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.

3．已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为(　　)

A．a2      B．a2      C．a2      D．a2

【解析】选D.方法一：建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.

如图②所示，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法，知A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a.过点C′作C′D′⊥O′B′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以△A′B′C′的面积S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2.

方法二：S△ABC＝a2，而＝，

所以S△A′B′C′＝S△ABC＝×a2＝a2.

二、填空题

4．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．

【解析】由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，

所求中线长为2.5.

答案：2.5

5．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________cm2.

【解析】该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S′＝S＝5(cm2).

答案：5

三、解答题

6．如图，A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．

【解析】由已知中A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示：

这是一个底边长为2，高为的平行四边形．故原图形的面积为2.

7．用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD­A′B′C′D′的直观图．

【解析】画法步骤：

(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图．

(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.

(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．

【综合突破练】

一、选择题

1．如图，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是(　　)

A．1      B．      C．2       D．4

【解析】选C.由题图知，平面图形△OAB为直角三角形．

因为O′B′＝，所以A′B′＝，O′A′＝2.

所以在原△OAB中，OB＝，OA＝4，

所以S△OAB＝××4＝2.

2．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为(　　)

A．36       B．36

C．18       D．18

【解题指南】将直观图进行还原，得到原图形，进而求面积．

【解析】选A.在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3，

所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，

所以其面积为6×6＝36.

二、填空题

3．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________．

【解析】按斜二测画法，得梯形的直观图O′A′B′C′，如图所示，

原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直于x′轴于E′，

则C′E′＝C′D′·sin 45°＝.

答案：

4．在斜二测画法中，若一个正三角形的边长为2，则它的直观图的面积为________．

【解析】正三角形的面积S＝×22＝，＝，所以S′＝×＝.

答案：

5．在斜二测画法中，若一个平面图形的直观图是一个上底为1，下底为3，直角边长为2的直角梯形，则原平面图形的面积是____________．

【解析】直观图的面积S′＝×2＝4，又＝，所以S＝＝＝8.

答案：8

三、解答题

6．如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．

【解析】由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．

7．用斜二测画法画出图中正五边形ABCDE的直观图．

【解析】画法：(1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.

(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.

(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝

GA，H′D′＝HD.

(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).

【素养培优练】

(25分钟　45分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

1．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦．弦者，葛之长”．意思是：今有2丈长木，其横截面周长3尺，葛藤从木底端绕木7周至顶端，问葛藤有多长？(注：1丈＝10尺)(　　)

A．21尺    B．23尺    C．27尺    D．29尺

【解析】选D.如图，一条直角边(即木棍的高)长20尺，

另一条直角边长7×3＝21(尺)，因此葛藤长＝29 (尺).

2．如图，平行四边形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝4，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°则下列叙述正确的是(　　)

A．原图形是正方形

B．原图形是非正方形的菱形

C．原图形的面积是8

D．原图形的面积是8

【解析】选C.过点C′作y′轴的平行线交x′轴于点D′如图(1)，

O′C′＝2，∠C′O′D′＝30°，∠C′D′O′＝135°，∠D′C′O′＝15°，由正弦定理可得＝＝，

可得O′D′＝－1，D′C′＝，将直观图还原为平面图形，并过点C作OA的垂线，垂足为D，如图(2)，

则OD＝O′D′＝－1，CD＝2C′D′＝2，OC＝＝，OA＝O′A′＝4，

显然OC≠OA，即原图形既不是正方形又不是菱形，原图形的面积为4×2＝8.

3．若三棱锥P­ABC满足，PA＝BC，PB＝AC，PC＝AB，则该三棱锥可能是(　　)

A.AB＝2，BC＝3，CA＝4      B．AB＝3，BC＝4，CA＝5

C．AB＝4，BC＝5，CA＝6      D．以上选项都不可能

【解析】选C.在三棱锥P­ABC中，由PA＝BC，PB＝AC，PC＝AB，将此三棱锥P­ABC放置入长方体中，如图，设该长方体的长宽高分别为a，b，c，

则AB2＝b2＋c2，CB2＝b2＋a2，AC2＝a2＋c2，

在△ABC中，cos ∠BAC＝＝>0，角∠BAC为锐角．同理可得∠ABC，∠ACB均为锐角．则△ABC为锐角三角形．

由cos ∠ABC＝＝<0，为钝角，故A不正确．AB2＋BC2＝CA2，为直角，故B不正确．

AB2＋BC2－CA2＝16＋25－36>0，AB2＋CA2－BC2＝16＋36－25>0，AC2＋BC2－BA2＝36＋25－16>0，

由余弦定理可得△ABC的三个内角均为锐角，满足条件，故C正确，则D不正确．

4．(多选)正方体的截面可能是(　　)

A．钝角三角形       B．直角三角形

C．菱形         D．正六边形

【解析】选CD.

如图所示截面为三角形ABC，OA＝a，OB＝b，OC＝c，

所以AC2＝a2＋c2，AB2＝a2＋b2，BC2＝b2＋c2，

所以cos ∠CAB＝

＝>0，

所以∠CAB为锐角，同理∠ACB与∠ABC也为锐角，即△ABC为锐角三角形，

所以正方体的截面若是三角形，则一定是锐角三角形，不可能是钝角三角形和直角三角形，A，B错误；

若是四边形，则可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形，C正确；

正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，如图截面过棱的中点时，则可以是正六边形，D正确．

二、填空题

5．(5分)正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为2，E是线段CD1上的动点，则|AE|＋|DE|的最小值是________．

【解析】如图，取CD1的中点为P，连接AP，DP

则由AC＝AD1，DC＝DD1知，AP⊥CD1, DP⊥CD1，

所以|AE|≥|AP|，|DE|≥|DP|，

所以|AE|＋|DE|≥|AP|＋|DP|，

在正方体中，棱长为2，所以AP＝××2＝， DP＝××2＝，故当E在线段CD1上运动，E与P重合时，|AE|＋|DE|有最小值＋.

答案：＋

三、解答题(每小题10分，共20分)

6．如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5)试用斜二测画法画出四边形ABCD的直观图．

【解析】(1)如图(1)所示，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为E，G，H，F，在图(2)中画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°；

(2)在x′轴上截取O′E′＝OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′＝EA，确定点A′.同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′＝BG，C′H′＝CH，D′F′＝DF；

(3)顺次连接A′，B′，C′，D′，去掉辅助线，得到四边形ABCD的直观图如图(3)所示．

7．如图，圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．

(1)求绳子的最短长度；

(2)在绳子最短时，求上底面圆周上的点到绳子的最短距离．

【解析】(1)如图，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度．

因为圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，

所以＝，母线长AB＝20 cm，代入可得OB＝20 cm，所以OA＝

40 cm，OM＝30 cm.∠BOB′＝θ，

由2×5π＝OB·θ，解得θ＝.

所以AM＝＝50.

即绳子的最短长度为50 cm.

(2)过点O作OQ⊥AM于点Q，交于点P，

则PQ的长度为所求最短距离．

因为OA·OM＝AM·OQ，所以OQ＝24 cm.

故PQ＝24－20＝4(cm)，

即上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.