人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步本章综合与测试当堂达标检测题

八　空间几何体与斜二测画法

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

1.(多选题)关于利用斜二测画法画直观图有下列结论,

其中正确的是 (　　)

A.三角形的直观图是三角形

B.平行四边形的直观图是平行四边形

C.正方形的直观图是正方形

D.菱形的直观图是菱形

【解析】选AB.斜二测画法保持平行性和相交性不变,即平行直线的直观图还是平行直线,相交直线的直观图还是相交直线,故A,B正确;但是用斜二测画法画直观图时平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半,则正方形的直观图不是正方形,菱形的直观图不是菱形,所以C,D错误.

2.如图所示,△A′B′C′是△ABC的直观图,图中B′O′=O′C′=C′A′,C′A′∥O′y′,则原图△ABC是              (　　)

A.等边三角形   B.等腰非直角三角形

C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形

【解析】选D.建立平面直角坐标系,在x轴上截取BO=B′O′,OC=O′C′,过C作y轴的平行线并在上面截取AC=2A′C′,连接AB,

则得到△A′B′C′的原图△ABC,如图所示,因为AC⊥BC,且AC=BC,所以△ABC是等腰直角三角形.

3.如图所示,直观图△A′B′C′(其中A′C′∥O′y′,B′C′∥O′x′)所表示的平面图形是(　　)

A.正三角形  B.锐角三角形

C.钝角三角形 D.直角三角形

【解析】选D.由A′C′∥O′y′,B′C′∥O′x′,∠A′C′B′=45°知,在原图形中,AC⊥CB,故对应的平面图形为直角三角形.

【补偿训练】

水平放置的△ABC有一边在水平线上,它的直观图是正三角形,则△ABC是 (　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.任意三角形

【解析】选C.根据斜二测画法作平面图形的直观图的原理,可得△ABC中有一个角为钝角.

4.如图所示,为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是 (　　)

【解析】选C.按斜二测画法的规则,平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变,在y轴上或平行于y轴的线段长度在新坐标系中变为原来的,并注意到∠xOy=90°,∠x′O′y′=45°,将图形还原成原图形知选C.

5.如图所示的是水平放置的三角形的直观图,D是BC边的中点,AB,BC分别与y′轴、x′轴平行,则原图形中的三条线段AB,AD,AC中              (　　)

A.最长的是AB,最短的是AC

B.最长的是AC,最短的是AB

C.最长的是AB,最短的是AD

D.最长的是AC,最短的是AD

【解析】选B.根据直观图还原后的△ABC中,AB⊥BC,因此AB<AD<AC.

【补偿训练】

　　　如图所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是              (　　)

A.AB B.AD C.BC D.AC

【解析】选D.△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,则AC>AB,AC>AD,AC>BC.

6.如图所示,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为(　　)

A.6 cm   B.8 cm

C.(2+3)cm  D.(2+2)cm

【解析】选B.

如图所示,原图形为四边形OABC,且OA=O′A′=1 cm,OB=2O′B′=2cm,于是OC=AB==3(cm),

故四边形OABC的周长为2×(1+3)=8(cm).

二、填空题(每小题4分,共8分)

7.若已知△ABC的直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形,则原△ABC的面积为________. 

【解析】如图所示是△ABC的直观图△A′B′C′.

作C′D′∥y′轴交x′轴于点D′,则C′D′对应△ABC的高CD,所以CD=2C′D′=2××C′O′=2·a=a,而AB=A′B′=a,所以S△ABC=a·a=a2.

答案:a2

8.已知菱形ABCD的边长是4,∠DAB=60°,则菱形ABCD的斜二测直观图的面积是__________. 

【解析】由已知得BD=4,AC=4,且AC⊥BD,

所以其斜二测直观图的面积为S=×4×4××sin 45°=2.

答案:2

三、解答题(每小题14分,共28分)

9.画出如图所示的Rt△ABC的直观图.

【解析】画法:(1)画x′轴和y′轴,使∠x′O′y′=45°(如图②所示).

(2)在原图中作BD⊥x轴,垂足为D(如图①所示).

(3)在x′轴上截取O′A′=OA,O′D′=OD,

在y′轴上截取O′C′=OC,

过D′作B′D′∥y′轴,使D′B′=BD.

(4)连线成图(擦去辅助线),即△A′B′C′为Rt△ABC的直观图(如图③所示).

10.如图所示,△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其还原成平面图形.

【解题指南】由直观图还原平面图形的关键

(1)平行于x′轴的线段长度不变,平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍.

(2)对于相邻两边不与x′,y′轴平行的顶点可通过作x′轴,y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置.

【解析】①画出直角坐标系xOy,在x轴的正方向上取OA=O′A′,即CA=C′A′;

②过B′作B′D′∥y′轴,交x′轴于点D′,在OA上取OD=O′D′,过D作DB∥y轴,且使DB=2D′B′;

③连接AB,BC,得△ABC.则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形,如图所示.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)

1.(多选题)下面说法不正确的是 (　　)

A.水平放置的正方形的直观图可能是梯形

B.两条相交的直线的直观图可能是两条平行直线

C.互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直

D.平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴

【解析】选ABC.正方形的直观图中对应边互相平行,不可能是梯形,A错;两条相交的直线的直观图仍然相交,不可能平行,B错;互相垂直的两条直线的直观图可能不垂直,C错,根据斜二测画法的规则知D正确.

2.已知两个圆锥的底面相同且重合在一起,其中一个圆锥的顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥的顶点到底面的距离为3 cm,则在直观图中这两个顶点之间的距离为              (　　)

A.2 cm B.3 cm C.2.5 cm  D.5 cm

【解析】选D.因为这两个顶点的连线与z轴平行或重合,现在距离为5 cm,而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变,仍为5 cm.

3.如图所示,每个选项的两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是 (　　)

【解析】选C.分别画出各图形的直观图,比较即可看出.

4.已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC中∠ABC的大小是              (　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

【解析】选C.根据斜二测画法可知△ABC中,BC=2,AO=,AO⊥BC,所以AB=AC==2,故△ABC是等边三角形,则∠ABC=60°.

二、填空题(每小题4分,共16分)

5.在棱长为4 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1在x轴上,棱AD在y轴上,则在其直观图中,对应棱A′D′的长为________cm,棱A′A1′的长为________cm. 

【解析】画直观图时,在x轴上的线段长度保持不变,故A′A1′=4 cm,在y轴上的线段长度变为原来的一半,故A′D′=2 cm.

答案:2　4

6.如图,△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图,B′在x′轴上,A′O′和x′轴垂直,且A′O′=2,则△AOB的边OB上的高为________. 

【解析】由直观图与原图形中与x轴平行或重合的线段长度不变,且S原=2S直观,设OB边上的高为h,

则·OB·h=2××2O′B′.

因为OB=O′B′,所以h=4.

答案:4

【补偿训练】

如图,△A′B′C′是△ABC的直观图(斜二测画法),其中A′与O′重合,C′在y′轴上,且B′C′∥x′轴,A′C′=2,B′C′=3,则△ABC的最长边长为__________. 

【解析】由斜二测画法可知△ABC是直角三角形,且AC=2A′C′=4,BC=B′C′=3,则最长边(斜边)AB=5.

答案:5

7.如图所示,四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0),A(2,4),B(4,0),C(4,-2),则该图形直观图的面积为________. 

【解析】S原=×4×(4+2)=12,

由S直=S原=×12=3.

答案:3

8.有一块多边形菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为__________. 

【解析】在直观图中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,则在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,BE=,而四边形AECD为矩形,AD=1,

则EC=AD=1,故BC=BE+EC=+1.

由此可还原原图形如图所示.在原图形中,

A′D′=1,A′B′=2,B′C′=+1,且A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′,故这块菜地的面积为S=(A′D′+B′C′)·A′B′=××2=2+.

答案:2+

三、解答题(共38分)

9.(12分)一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3 cm,高为4 cm,圆锥的高为3 cm,画出此几何体的直观图.

【解析】(1)画轴.如图①所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.

(2)画圆柱的两底面,在x轴上取A,B两点,使AB的长度等于3 cm,且OA=OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O′,使OO′=4 cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.

(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO′等于圆锥的高3 cm.

(4)成图.连接A′A,B′B,PA′,PB′,整理得到此几何体的直观图.如图②所示.

10.(12分)已知水平放置的△ABC是正三角形,其直观图的面积为a2,求△ABC的周长.

【解析】画出△ABC的平面图与直观图如图所示,则△ABC是△A′B′C′的平面图形.

设△ABC的边长为x,由斜二测画法,

知A′B′=AB=x,O′C′=OC=x.

作C′D′⊥A′B′,垂足为点D′.因为∠C′O′D′=45°,

所以C′D′=O′C′=×x=x,

所以S△A′B′C′=A′B′·C′D′=x·x=x2.

所以x2=a2,所以x=2a,

所以△ABC周长为3×2a=6a.

11.(14分)如图,菱形ABCD的一边长为2,∠A=45°,且它是一个水平放置的四边形利用斜二测画法得到的直观图,请画出这个四边形的原图形,并求出原图形的面积.

【解析】(1)画轴:在菱形ABCD中,分别以AB,AD所在的直线为x′轴、y′轴建立坐标系x′O′y′(A与O′重合),如图①,

另建立平面直角坐标系xOy(A′与O重合),如图②.

(2)取点:在坐标系xOy中,分别在x轴、y轴上取点B′,D′,使A′B′=AB,A′D′=2AD.过点D′作D′C′∥x轴,且D′C′=DC.

(3)连接:连接B′C′,得到的矩形A′B′C′D′即为这个四边形的原图形.原图形的面积S=2×4=8.