高中数学苏教版 (2019)必修 第二册10.1 两角和与差的三角函数教学课件ppt

10.1.3　两角和与差的正切

知识点　两角和与差的正切公式

T(α＋β)：tan(α＋β)＝．

T(α－β)：tan(α－β)＝．

公式T(α±β)有何结构特征和符号规律？

[提示]　(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．

(2)符号规律：分子同，分母反．

1．tan 15°＝________；tan 75°＝________．

2－　2＋　[tan 15°＝tan(45°－30°)

＝

＝＝＝2－．

tan 75°＝

＝

＝2＋．]

2．设α，β为锐角，且tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的根，则tan(α＋β)＝________．

1　[tan α＋tan β＝，tan α·tan β＝．

tan(α＋β)＝＝1．]

类型1　条件求值问题

【例1】　已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan．

2α＝α＋β＋α－β，2β＝α＋β－α－β，tan可以用tan 2α表示出来.

[解]　tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]

＝＝＝－，

tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]

＝

＝＝，

tan＝＝＝．

求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来繁杂的运算.

[跟进训练]

1．(1)已知α∈，sin α＝，求tan的值；

(2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算tan(α＋β)的大小．

[解]　(1)因为sin α＝，且α∈，所以cos α＝－，所以tan α＝＝＝－，

故tan＝＝＝．

(2)由题图可知tan  α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，所以tan(α＋β)＝＝＝1．

类型2　给值求角

【例2】　已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，求α＋β．

利用根与系数的关系求tan α＋tan β及tan αtan β的值，进而求出tanα＋β的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值.

[解]　因为tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－3＜0，tan αtan β＝4＞0，

所以tan α＜0，tan β＜0．又因为α，β∈，

所以α，β∈，所以－π＜α＋β＜0．

又因为tan(α＋β)＝＝＝，

所以α＋β＝－．

1．给值求角的一般步骤

(1)求角的某一三角函数值；

(2)确定角的范围；

(3)根据角的范围写出所求的角．

2．选取函数时，应遵照以下原则

(1)已知正切函数值，选正切函数；

(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．

[跟进训练]

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．

求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．

[解]　由已知得cos α＝，cos β＝，又α，β是锐角，

则sin α＝＝，sin β＝＝．

所以tan α＝＝7，tan β＝＝．

(1)tan(α＋β)＝＝＝－3．

(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]

＝＝＝－1，

又α，β是锐角，则0＜α＋2β＜，所以α＋2β＝．

类型3　T(α±β)公式的变形及应用

【例3】　已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．

当一个代数式中同时出现“tan α＋tan β”及“tan α tan β”两个团体时，我们可以联想哪些公式解题？

[解]　∵tan A＋ tan B＝tan Atan B－1，

∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，

∴＝－，∴tan(A＋B)＝－．

又∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝．

∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝，

∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝，

∴B＝，∴A＝，∴△ABC为等腰三角形．

1．公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．

2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．

提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．

[跟进训练]

3．(1)化简：tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°；

(2)若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，求α＋β的值．

[解]　(1)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝．

(2)∵(1＋tan α)(1＋tan β)

＝1＋(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，

∴tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)，

∴tan(α＋β)＝＝．

又∵α，β均为锐角，

∴0°<α＋β<180°，∴α＋β＝60°．

1．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α等于(　　)

A．  B．－  C．1  D．－1

A　[∵tan(α－β)＝＝－2，tan β＝3，

∴＝－2，∴tan α＝，故选A．]

2．＝(　　)

A．tan 57°  B．－tan 57°  C．1  D．－1

C　[原式＝tan(51°－6°)＝tan 45°＝1．]

3．若tan＝2，则＝(　　)

A．  B．  C．  D．1

C　[由tan＝＝2，得tan  α＝，

∴＝＝＝．]

4．求值：tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°＝________．

1　[tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°＝tan(15°＋30°)·(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝tan 45°(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1－tan 15°tan 30°＋tan 15°tan 30°＝1．]

5．已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－，则tan(α＋β)的值为________；2α－β的值为________．

　－　[∵cos β＝－，β∈(0，π)，

∴sin β＝＝＝，

∴tan β＝＝＝－．

∴tan(α＋β)＝＝＝．

∴tan 2α＝＝＝－．

∴tan(2α－β)＝

＝＝－1．

∵tan α＝2，α∈(0，π)，∴α∈，∵tan β＝－＜0，且β∈(0，π)，

∴β∈，∴2α－β∈，

∵tan(2α－β)＝－1，∴2α－β＝－．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．试写出T(α±β)的公式，你能结合T(α±β)的公式完成下列空格．

(1)T(α＋β)的变形：

tan α＋tan β＝____________________．

tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝________．

tan αtan β＝______________．

(2)T(α－β)的变形：

tan α－tan β＝______________．

tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________．

tan αtan β＝______________．

[提示]　(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，

tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)，

tan αtan β＝1－；

(2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，

tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)，

tan αtan β＝－1．

2．当α＋β＝kπ＋，k∈Z时，(1＋tan α)(1＋tan β)是定值吗？

[提示]　当α＋β＝＋kπ，k∈Z时，tan(α＋β)＝＝1，∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β，

∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，

即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2．